Umfang= rektifizierter Kreisbogen 

Fontana (1784) und weitere

Th.Vahlen hat in seinem Buch, Theodor Vahlen,  Konstruktionen und Approximationen, Verlag G.B.Teibner Leipzig und Berlin 1911,  die nachfolgende  klassische  Konstruktion  zur Rektifikation eines Kreisbogens  aufgenommen, die wohl erstmals  im Jahre 1784 der italienischer Mathematiker   Fontana veröffentliche.

 

Die Erklärung der wesentlichen Zusammenhänge für die Rektifikation fallen bei Vahlen  nicht gerade einfach aus.  Die betrachtete systematische Kohärenz wird anhand von schon bekannten Formeln und nicht anhand der anschaulich nachvollziehbaren  Zusammenhänge erklärt.  

 

 

Beschreibung der klassischen Konstruktion  

Diese klassisch konstruierte Cohaerentic-Kalkulation erzeugt mit jedem Doppeln des Radius und dem quasi simultanen Halbieren der Drehung (Winkel) einen neuen Endpunkt eines  weniger gekrümmten Kreisbogens gleicher Länge. Mit jedem Doppeln-Halbieren-Zyklus strebtdas Zwischenergebnis  des Verhältnisses   πgeo,  immer mehr  dem Grenzwert zu, der mit  π=(gestreckter Kreisumfang) / Kreisdurchmesser  definiert ist.

Es ist ist leicht einzusehen, dieses klassisch konstruierte Berechnen geschieht allein mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von Kreis- und Gerade. Zum leichteren Verfolgen der Abfolge der Schritte sind die gezeichneten Objekte mit laufenden Nummern und Buchstaben, K für  Kreis, G für Gerade und S für Schnittpunkt versehen. Anschaulich nachvollziehbar wird der Halbkreisbogen bei Erhalt der  ursprünglichen Bogenlänge immer weiter aufgebogen. Der Grenzwert ist dann erreicht, wenn keine Krümmung mehr erkannt werden kann. Jeder neue  jeweils gleichlange  Bogen hat einen doppelt grossen  Radius  und einen halb so grossen  Zetriwinkel. 

 

Verkürzter  klassisch konstruierter  Grenzprozess für ein πgeo

Prinzipieller Darstellungsfehler

Bei einer gezeichneten und auch bei einer numerischen π-Berechnung   bleibt vom Prinzip her, nach einem willkürlich gewähltem  letzten Rechenschritt, von den endlos viel möglichen Schritten,  immer  ein  mehr oder minder kleiner nicht in der Ergebnis-Darstellung   berücksichtigter Restfehler. Ein solcher prinzipieller Fehler bleibt somit auch bei  einer gezeichneten Cohaerentic Kalkulation.    Allerdings wird hier mit einer besonderen  Massnahme, welche den kontinuierlichen Raumzusammenah ausnutzt, zu einer verbesserten Konvergenz gelangt. Der Umfang an notwendigen Schritten, der   für eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit (Anzahl  wahrer Nachkommastellen) erforderlich sind, reduziert sich dabei.  Die Massnahme  zur Verbesserung der Konvergenz  wird  im folgenden   Video gezeigt.

 

Video

Das folgende Bild macht deutlich, die Summe der roten und schwarzen  Kreisbögen gleicher Krümmung ist immer gleich gross, unabhängig  von der Drehungsgrösse  der roten Radiusstrecke, die den Kreisumfang unterteilt..

 

 

 

 

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