Bewegungskopplung von Translation und Rotation

Klassiche Konstruktion zur linearen (proportionalen) Bewegungskopplung von Translation und Rotation

Gegeben:

Ein Kohärenzsystem Kreis k mit kartesischen Achsen durch den Kreismittelpunkt M(x=0; y=0) und einem Radius r=|MB(x=0;y=1)|. Auf der Radiusstrecke liegt ein bewegbarer Punkt C und auf dem Kreisbogen des 1. Quadranten zwischen den Punkten A und B ein sich abhängig zu C bewegender Punkt D.

Gesucht:

Eine DGS-Zeichnung, die als klassische Konstruktion erstellt ist, bei der nur mit den gezeichneten Urkurven Kreis und Gerade die gesuchte lineare Kopplung erzeugt wird, so dass das lineale (traslatorische) Verhältnis quasi gleich gross zum rotatorische Verhältnis (Kreisbogen-Verhältnis) ist und |MC| / |MB| = |AD| / |AB| praktisch erfüllt ist. Die Kopplung soll auch noch, befriedigend funktionieren, wenn der Punkt C in Bereiche verschoben wird, für die, |MC| ist deutlich grösser als |MB|, gilt.

Kurven-Transformation lin<->rot

Klassich konstruierte Kurven-Transformationen von Translation nach Rotation (lin<->rot) sind seit Hippias (5.JH.v.u.Z.) und auch seit Tschirnhaus (17.Jh.) bekannt und genutzt. Sie sind theoretisch möglich, wenn dafür die erforderlichen transzendenten Kohärenzkurve "Quadratrix" schon gezeichnet als durchgehende Spurkurven vorliegen. Dies ist aber real nie zu erreichen. So gibt es immer nur Punktekurven mit Kurvenlücken zwischen den Punkten. Exakte Transformationen sind damit nur an den Positionen der bekannten und dargestellten Kurvenpunkte möglich. Allgemein gilt hier, je enger die verfügbaren Kurvenpunkte benachbart sind, um so genauer fällt die Transformation aus.

Für weitere Verbesserungen setze ich hier auf die Kontinuität räumlicher Zusammenhänge. Damit wird das Problem der Kurvenlücken zwischen den benachbart erzeugten Punkten der Kohärenzkurve entschärft. Um die Lücken zu schliessen, lege ich durch drei benachbarte Punkte einen Kreisbogen. Die ist sinnvoll, da im Ergebnisbereich der erzeugte Punkteverlauf einer Kreiskurve sehr ähnlich ist. Wird zudem die Transformation in den Bereich immer kleinerer Drehungen verlegt, weil hier der Zuammenhang zwischen Rotation und Translation in eine immer bessere Proportionaltät (Linearisierung) übergeht, ergibt sich eine weitere Verbessereung und damit ein befriedend genaues Ergebnis schon mit deutlich weniger Schritten als ohne diese Massnahme.

Mein dazu klsssisch konstruiertes Kohärenzsystemen ist ein Schritt um Schritt nachvollziehbar gezeichneter Rechengang/ Rechenzusammenhang. Es wird stringent, ohne Schritte des Probierens, zu einer zweifelsfrei zutreffenden Zusammenhang-Darstellung (=Rechengang) bis zur Ergebnisgrösse gelangt.

Lösungsidee 1: Mit fixer Kohärenzkurve "K r e i s" transformieren

Die nachfolgende Beschreibung ist nur in Bezug auf die nachfogenden beiden Bilder zu versten. Ausgehend vom grossen Kreisbogen DC bzw. bei der anderen Richtung der Transformation von der grossen Strecke AH wird mittels multifacher Halbierungen ein kleiner Kreisbogen mit Punkt E nahe bei Punkt D bzw. eine kleine Strecke mit Punkt G auf der Y-Achse bei Punkt A erzeugt. (Die Buchstaben der Punkte E und G sind hier nicht in den Bildern eingezeichnet) Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten A und E bzw. den Punkten D und G erzeugen an der zwischenliegenden Kohärenzkurve Kreis jeweils einen Schnittpunkt. Wird ausgehend von Drehpunkt D bzw. von Drehpunkt A eine Strahl durch den Schnittpunkt der Kohärenzkurve gezeichnet, so erzeugt dieser Strahl jeweils auf der anderen Seite der Kohärenzkurve einen Schnittpunkt auf der Y-Achse bzw. auf dem Kreis durch Punkt D. Um nun in den Bereich der realen Grössen zurück zu kehren, erfoglt jeweils ein multifaches Verdoppeln mit der gleichen Zahl der besagten Halbierungen.

Lösungsidee 2: Bewegte Kohärenzkurve

Eine Verschiebung erzeugt eine proportionale Drehung, die gemessen wird.