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Die cohaerentische Geometrie ist kein etablierter Begriff in der Mathematik, sondern ein impulsgebender Ansatz, der dazu einlädt, geometrisches Denken neu zu überdenken. Diese Publikation ist keine fertige Theorie, sondern ein impulsgebender Denkanstoß:
Die cohaerentische Geometrie fragt: Wie sieht Geometrie aus, wenn die zwei wesentlichen Beschränkungen der klassichen Geometrie
Etwas ausführlicher
Die folgenden zentralen Motive (also Beweggründe, Ausgangsprobleme und Intentionen) beschreiben, wie es zur Entwicklung cohaerentischer Geometrie kommt. Wesentliche Beweggründe für die
cohaerentische Geometrie gehen aus der Kritik am Primat der Zahl & Algebra hervor. Die klassische (euklidisch / algebraisch gefasste) Geometrie basiert auf der Annahme, dass geometrische Objekte
und Relationen über Zahlen, Maße und algebraische Strukturen exakt darstellbar sein müssen. Dieser „Zahl-Formalismus“ ist Ausgangspunkt euklidischer, klassischer Geoemtrie.
Bei cohaerentischer Geoemtrie wird hinterfragt, ob diese Fokussierung auf Zahl und Zahlensystem tatsächlich naturgemäß oder notwendig ist? Oder ob sie nicht vielmehr eine künstliche Beschränkung/
Eischränkung darstellt?
Das zentrale Motiv ist also: Geometrie nicht auf Zahl und Maß zurückzuführen, sondern geometrische Relationen, Abhängigkeiten und Prozesse als primär zu sehen, und Zahl nur als abgeleitetes,
sekundäres Abbild einer geoemetrischen Rechegröße Vor dem Berechnen mit Zahlen ein ursprünglicheres konstruiertes Berechnen ohne Zahlen zu sehen..
• Aufheben, Ignorieren der methodischen Einschränkungen klassischer Geometrie
In der klassischen Geometrie werden aus historischen und methodischen Gründen
nur Konstruktionen erlaubt, die mit Zirkel und Lineal in endlich vielen
Schritten realisierbar sind. Es domnieren die Kurven Kreis und Gerade.
Diese künstlichen Beschränkungen führen dazu, dass viele elementaren Kurven (z. B. Parabeln,
andere Potenzkurven) oder Grenzprozesse (z. B. unendliche Konstruktionen)
von vornherein als „nicht-legitim“ gelten — auch wenn sie geometrisch kohärent
sein können.
Ein Motiv von cohaerentischer Geometrie ist deshalb, diese benachteiligende Ungleichbehandlung
bzw. methodische Engführung aufzuheben: Kurventypen und Konstruktionen, die
bisher ausgeschlossen waren, swerden als vollwertige geometrische Objekte
anerkannt, sofern sie durch geometrisch sinnvolle Relationen und
Prozesse definiert sind.
• Integration von Grenzprozessen / Unendlichkeit als konstruktives Element
Viele klassische „Unmöglichkeitsbeweise“ (beispielsweise im Zusammenhang mit
den antiken Problemen wie Winkeldritteln, Kreisquadratur, Würfelverdoppelung)
beruhen auf dem algebraisch-arithmetischen Modell und dessen
Einschränkungen.
Die cohaerentische Geometrie sieht das „Unmöglich“ dieser Probleme nicht unbedingt
als Aussage über Geometrie an sich — sondern als Folge der methodischen Beschränkung
auf endliche Zahlensysteme und endliche Konstruktionen.
Deshalb ist ein zentrales Motiv: Kein Ausschließen inhärenter Möglivhkeiten,
wie unendliche, autokonvergente Grenzprozesse, die geometrisch exakte Wege zur
Konstruktion auch solcher Figuren oder Kurven sind, klassisch aber als unkonstruierbar
gelten.
• Rückbesinnung auf Geometrie als anschauliche, prozesshafte Erkenntnisform
Der Ansatz möchte Geometrie nicht primär als abstraktes Zahlenspiel sehen, sondern als
visuelle, räumliche, nachvollziehbare Erfahrung aus konstruierten Relationen und
Prozessgeschehen
Damit verbunden ist auch ein pädagogisches bzw. erkenntnistheoretisches Motiv:
Geometrie soll lebendiger, intuitiver und „verständlicher“ gelehrt und gedacht werden,
nicht als abstraktes algebraisches Konstrukt, sondern als etwas, das aus dem Raum,
der Form und dem Prozess selbst erwächst.
• Erweiterung des geometrischen Denkens — neue Möglichkeiten, altbekannte Probleme
neu zu denken
Durch die Kombination der vorgenannten Punkte öffnet cohaerentische Geometrie den
Blick auf geometrische Möglichkeiten, die in traditionellen Systemen verborgen oder
ausgeschlossen sind, z. B. andere Kurventypen, neue Transformations- und
Konstruktionsprinzipien, Konstruktionen über unendliche Prozesse usw.
Damit will der Ansatz nicht — in erster Linie — eine Konkurrenz zur etablierten
Mathematik sein, sondern ein alternatives Paradigma, das dazu anregt, alte Dogmen und
vermeintliche Grenzen zu hinterfragen und Geometrie insgesamt weiterzudenken.
Wissenschaftlicher & konzeptioneller Status
Die cohaerentische Geometrie ist nicht Teil der standardmäßig anerkannten, peer-
reviewten mathematischen Theorien — der Begriff taucht im etablierten Lehrbuch- und
Forschungskanon nicht auf.
Der Ansatz ist demnach eher als konzeptueller / philosophischer Denkanstoß zu verstehen
— als Vorschlag, Geometrie anders zu denken und mögliche methodische
Einschränkungen zu hinterfragen.
Daher sind die „Motive“ oft philosophisch oder methodisch, weniger formal-
mathematisch. Der Ansatz erhebt nicht unbedingt Anspruch auf formale Axiome oder auf
die gleiche streng-logische Struktur wie klassische Geometrie.
Warum diese Motive relevant sind?
Bedeutung der Neuorientierung
Diese Beweggründe machen die cohaerentische Geometrie zu einem interessanten
Denkprojekt, weil:
- sie die Begrenzungen der klassischen Geometrie reflektiert, und zeigt, wie viele Ausschlüsse (z. B. von Kurven, unendlichen Prozessen) historisch und methodisc motiviert sind, nicht unbedingt philosophisch oder geometrisch notwendig.
- sie ein alternatives Paradigma anbietet, in dem Geometrie nicht auf diskrete Maße und Zahlen fixiert ist — was insbesondere in Kontexten relevant sein kann, in denen Kontinuität, Prozess oder visuelle Anschaulichkeit eine größere Rolle spielen.
- sie kritisch gegenüber dem Dogma der endlichen Konstruktion und der Zahl als Fundament ist — und damit einen Schritt zurück zum ursprünglichen, anschaulichen, konstruktiven Geometrieverständnis wagt.
- sie Impulse gibt für neues geometrisches Denken, das offen ist für Formen, Kurven und Prozesse, die außerhalb des traditionellen Blickfelds liegen — mit möglichen Anwendungen, seien sie theoretisch, didaktisch oder philosophisch.
G1.1.2 Grundprinzipien bzw. „Axiome“, denen die cohaerentische Geometrie folgt:
1. Fundament: geometrische Relationen statt Zahl als Primat
In der cohaerentischen Geometrie bilden geometrische Relationen und Abhängigkeiten das Fundament. Nicht Länge als Zahl, Maß oder Koordinate.
Zahlen, Maßzahlen oder Koordinaten sind nur abgeleitete Repräsentationen — nicht das konstruierende Prinzip.
2. Zulassung von unendlichen Grenzprozessen und autokonvergenten Konstruktionen
Im Unterschied zur klassischen, euklidischen Geometrie, bei der nur endliche Zirkel-und-Lineal-Konstruktionen erlaubt sind, gestattet die cohaerentische Geometrie unendliche Prozesse — soweit sie geometrisch kohärent und konvergent sind.
Jeder Zwischenschritt eines solchen Prozesses gilt bereits als „Teilrealisation“ einer exakten geometrischen Figur — nicht bloße numerische Approximation.
Der sogenannte Begriff „Autokonvergenz“ bezeichnet einen Prozess, der ohne probierende bzw. korrigierende Schritte, sondern durch eine feste, gesetzmäßige Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten auf einen Grenzwert zustrebt.
3. Erweiterter Kurventypenkatalog: Nicht nur Kreis & Gerade, sondern auch andere Kurven
Anders als in der klassischen Geometrie, die oft nur Kreise und Geraden als „exakte“ Kurven ansieht, erkennt die cohaerentische Geometrie auch andere Kurventypen (z. B. Parabeln, Potenzkurven) als legitime geometrische Objekte an.
Diese Kurven entstehen nicht als algebraische „Funktion + Zahl“, sondern als Spur eines geometrischen Prozesses — z. B. als Folge von konstruierten Punkten, die durch Kreis- und Geradeoperationen erzeugt werden.
4. Neue Definitionen von Punkt und Linie — als Kohärenzobjekte, nicht als Punktmengen
Die klassischen Definitionen werden bewusst hinterfragt:
Begriff Klassisch (z. B. euklidisch / Mengenlehre) Cohaerentisch Punkt Ein Punkt ist „was keine Teile hat“ — Grundbaustein ohne Ausdehnung. Ein Punkt ist Ergebnis eines Schnittes cohaerentischer Linien, ohne eigene materielle Existenz; kein Baustein, der durch Aneinanderreihung Langes erzeugt.
Linie Eine Linie = eine Menge von Punkten (Punkt → Menge → Linie → Fläche …). Eine Linie ist ein „Kohärenzobjekt“, entsteht aus dem Verhältnis zweier Medien, nicht durch Aneinanderreihung von Punkten; man denkt nicht in Punktmengen, sondern in Relation und Kontinuum.
So gesehen: Es gibt keinen Aufbau wie „Punkt → Linie → Fläche“ über abzählbare Punktmengen — stattdessen direkte Kohärenzobjekte und (eventuell unendliche) Prozesse.
5. Paradigmenwechsel: Geometrie als Prozess und Kontinuum statt diskreter Zahlstruktur
Ziel ist nicht eine diskrete, algebraisch-arithmetische Darstellung, sondern eine anschauliche, prozesshafte, kontinuierliche Geometrie.
Das, was in der klassischen Geometrie als „Unmöglichkeit“ für bestimmte Konstruktionen gilt (z.B. Winkeldritteln, Kreisquadratur, Würfelverdoppelung), wird hier nicht notwendigerweise als geometrisch unmöglich angesehen — sondern als unmöglich unter dem Zahl-Paradigma.
In der cohaerentischen Sicht sind solche Konstruktionen durch gut definierte unendliche, konvergente Grenzprozesse möglich, mit kohärenter geometrischer Struktur, nicht bloß numerischer Approximation.
Problematik / wissenschaftlicher Status
Der Begriff „cohaerentische Geometrie“ taucht nicht in der etablierten mathematischen Literatur auf. Es existieren keine peer-reviewten Publikationen oder formalen Axiomensysteme, wie sie z. B. bei euklidischer oder nichteuklidischer Geometrie Standard sind.
In dem Sinne handelt es sich um ein konzeptionelles / philosophisches Modell, nicht um eine anerkannte mathematische Theorie.
Die „Axiome“ sind teilweise eher Grundannahmen oder Prinzipien — nicht als formal-logisch abgeleitete Axiomensysteme mit Strukturtheorie formuliert, wie man es im modernen Mathe-Kanon gewohnt ist.
Zusammenfassung zu Motiven und Grundproinzipien
Die cohaerentische Geometrie basiert auf einem radikalen Paradigmenwechsel: Statt Zahl und diskreter Konstruktion steht geometrische Relation, Prozess und Kontinuität im Zentrum. Die „Axiome“ sind nicht klassische Axiome im streng formalen Sinn, sondern Grundprinzipien:
- Geometrische Relationen sind primär; Zahl ist abgeleitet.
- Unendliche, autokonvergente Grenzprozesse sind zulässig und legitim.
- Kurventypen über Kreis und Gerade hinaus sind ebenso gültig.
- Punkt und Linie werden neu definiert — als Kohärenzobjekte, nicht als Punktmengen.
- Geometrie wird verstanden als kontinuierlicher, prozesshafter Raum — nicht als diskrete Zahlengeometrie.
Wenn diese beiden wesentlichen willkürlich eingeführt Restriktionen ignoriert werden, entsteht eine neue Perspektive mit neuen Paradigmen und weiteren Verschiedenheiten, beispielsweis bei Linie und Punkt:
Cohaerentische Geometrie zeigt sich nicht als Sammlung fertiger Figuren, sondern als System von Kohärenzregeln, nach denen die gezeichneten Konstruktionen erzeugt werden.
Geometrische Relationen sind grundlegende Beziehungen zwischen Punkten z.B. y=x2, Kurvenlinien (bewegtes y=x2 ), aber auch Nähe, Richtung, Gestaltzusammenhang oder die Kohärenz eines fortlaufenden Prozesses. Diese Beziehungen existieren unabhängig von Zahlen. Eine Gerade bleibt eine Gerade und kann auch ohne Längenmaß eine geometrische (natürliche) Rechengröße sein. Eine Kreislinie bleibt eine Kreislinie, auch ohne Maßzahl für den Radius oder den Umfang. Von einem bewegten Punkt auf der Kreislinie gibt es eine Relation zu mindestens einem Punkt auf einer quadratischen oder kubischen Parabel. Die beschreibende Gleichung hierzu ist nicht das Primäre, sonder das aus der besagten Relation abgeleitet.
Solche Relationen bilden den eigentlichen inneren Zusammenhang einer Gestalt, einer Kurve. Sie zeigen, wie Punkte zueinander stehen und wie sich eine Form im Raum entwickelt. Zahlen können diese Beziehungen zwar beschreiben, doch sie erzeugen sie nicht. Deshalb sind geometrische Relationen grundlegender als jede arithmetische Erfassung: Sie machen die Form sichtbar, bevor irgendeine Zahl ins Spiel kommt.
In der cohaerentischen Sicht sind diese Relationen das Fundament der Geometrie. Die Zahl ist hier ein abgeleitetes Abbild — nicht das konstruierende Prinzip.
„Die klassische Geometrie erbte aus der griechischen Tradition die Forderung nach endlichen Zirkel- und Lineal-Operationen. Mit dem Aufkommen der Algebra verschob sich der Fokus zusätzlich auf das Zahlensystem: Als geometrisch gültig galt fortan nur noch, was sich auf Zahlen zurückführen und innerhalb dieses Systems lösen ließ. Dadurch entstand eine methodische Reduktion, die Kreis und Gerade privilegiert. Kurven wie Parabel, Hyperbel oder kubische Kurven fielen aus der ‚Exaktheit‘ heraus — nicht aus Mangel an geometrischer Kohärenz, sondern aufgrund einer willkürlichen Ungleichbehandlung, die erst das einengende arithmetische Modell hervorbrachte.
Diese Anforderungen schließen von vornherein eine Ungleichbehandlung für die exakten Kurven Kreis und Gerade ein, deren geometrischen Entstehungsprozesse keine anderen sind als bei Parabel und Hyperbel usw. Ausgeschlossen wird Alles was nicht im Zahlensystem abgebildet oder in endlicher Schrittzahl realisiert werden kann. Selbst, wenn es geometrisch sinnvoll, kohärent und sogar autokohärent (ohne probierende Schritte) ist.
Die cohaerentische Geometrie fügt der klassischen Geometrie nichts Beliebiges hinzu — sie ignoriert vielmehr die künstlichen Beschränkungen:
In dieser Sichtweise ist die klassische Geometrie lediglich eine reduzierte Teilmenge einer viel umfassenderen Geometrie, welche nicht durch die Zahl definiert ist, sondern durch geometrische Kohärenz.
Dadurch kann einiges „Unmögliche“ neu gedacht werden: Winkelteilungen, Kurvenkonstruktionen, Kreis‑ und Flächenprobleme — nicht als abstrakte Zahlrätsel, sondern als geometrische Prozesse.
Die cohaerentische Geometrie erhebt nicht den Anspruch, ein abgeschlossenes System zu sein — sondern will zum Nachdenken und Weiterentwickeln anregen. Sie lädt ein, Geometrie als etwas zu begreifen, das jenseits der Zahl, auch jenseits der endlichen Konstruktion existiert — als Ort unendlicher, kohärenter Prozesse, die unsere klassische Sicht auf die Möglichkeit geometrischer Formen radikal erweitern können.
Die nachfolgende Tabelle und alle nachfolgenden Darlegungen stellt etwas zusammenfassend dar, was vom Leser erst wirklich ganz verstanden werden kann, wenn er diese Arbeit zur cohaerentischen Geometrie vollständig durchgearbeitet hat. Die Tabelle und das nachfolgend Dargelete ist als eine einführende orientierende Verständnishilfe zu verstehen.
