Kreisfläche Multisumme
Kreisfläche mit Multisummen - Grenzprozess berechnen
[ nach Antiphon (5 Jh. v.u.Z.) / Schleicher]
Historisches
Auch wenn es heute nicht ausreichend gewürdigt wird, hat Antiphon der Sophist ( 5 Jh. v.u.Z.) einen fundamentalen Vorschlag zur Berechnung der Kreisfläche gemacht, der bis heute tragfähig ist und quasi in allen modernen Berechnungen der Kreisfläche mehr oder minder direkt eingegangen ist. Antiphon schlug vor, die Kreisfläche mit elementar berechenbaren Dreiecken auszufüllen und die Flächen zur Gesamtfläche zu summieren. Das Ausfüllen gelingt hierbei immer vollständiger, wenn die Anzahl der kleinen Dreiecke immer weiter erhöht wird, bis quasi nicht ausgefüllte Flächen nicht mehr erkannt werden können.
1. Konstruktionsaufgabe
Die Gesamtfläche als Multisumme mit immer kleineren Dreiecken erzeugen
Der Grenzprozess der Multisummation strebt mit endlos gross werdender Eckenzahl der Viertelgrösse bzw. der Achtelgrösse der Kreisfläche und des Kreisumfang als Grenzwert zu. Mit der Notation π/2 wird dieser Grenzwert für das Verhältnis "Hallbkreisfläche/Quadratfläche über dem Radius" symbolisiert bzw. mit π/4 für das Verhältnis "Viertelkreisfläche/Quadratfläche über dem Radius". Das Zeichen π symbolisiert hier ein Verhältnis und keine Zahl.
2. Konstruktionsaufgabe
Gesamtfläche als Multisumme mit weniger Dreiecken bei verbesserter Konvergenz erzeugen [nach Schleicher]
Der der Zeitschienen-Punkt kann durch Anklicken angehalten werden. Er kann auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.
Beschreibung
Das gezeichnete Berechnen für die den Kreis ausfüllenden Vielecke beginnt mit einem violetten 4-Eck=Quadrat, dann folgt ein blaues 8-Eck, ein grünes 16-Eck und ein rotes 32-Eck. Deutlich zu erkennen ist, mit der doppelten Anzahl der Ecken schrumpft die nicht ausgefüllte Kreisfläche überproportional, also auf immer weniger als die Hälfte von vorher.
Mit dem roten 64-Eck wird hier der endlose Berechnungsprozess willkürlich abgebrochen, was nicht notwendig ist. Mit einem Berechnen mittels 4- und 8-Eck wird ein π2= 3,14 errechnet. Mit einem Berechnen mittels 4-,8 und 16-Eck wird ein π3= 3,1415 errechnet. Mit einem Berechnen mittels 8- , 16- und 32-Eck wird ein π4=3,141592 berechnet.
Verbesserung der Konvergenz und Effizienz des Berechnens durch verkürzten Grenzprozess
Die Steigerung der Effizienz des Berechnens wird mit einem verkürzten Grenzprozess erreicht. Möglich wird dieser, indem der stetige Trend des Anwachsens der Multisumme abhängig zur Anzahl der Summanden genutzt wird. Da für den nicht verkürzten und auch für den verkürzten Grenzprozess der gezeichnete Rechengang als Rechenplan für alle Schritt bzw, zu zeichnende Objekte bis ins Endlose vollständig bekannt ist, kann bei Bedarf nach noch höherer Ergebnisgenauigkeit endlos weiter gerechnet werden, zumindest theoretisch.
Vergleich der Genauigkeit und Effizienz für πZahl - Berechnungen
Archimedes - Berechnug Gezeichnete Cohaerentic-Kalkulation mit
verkürztem Grenzprozess
Archimedes Antiphon-Schleicher
- 8-Eck -> 3,14
- 16-Eck -> 3,1415
- 32-Eck -> 3,141592
- 64-Eck -> 3,14159265
96-Eck -> 3,14
256- Eck -> 3,1415
Der Vergleich zeigt deutlich den Fortschritt durch den verbesserten Grenzprozess bei der Cohaerentic Kalkulation.
Kreisumfang als Grenzprozess Multisumme nach Antiphon und Bryson (5 Jh. v.u.Z.) und Archimedes (3.Jh.vu.Z.)
Von Antiphon und Bryson (5.Jh.v.u.Z.) ist nur die Idee, aber kein realer Rechengang überliefert. Von Archimedes (3.Jhv.u.Z.) sind die Ergebnisse eines konkreten Berechnens überliefert. Er hat die Kreisfläche bzw. den Halbkreisumfang nach der Idee des Antiphon und Bryson mit zwei 96-Vielecken berechnet. Eines umschliesst den Kreis und das andere Vieleck wird vom Kreis eingeschlossen. Archimedes reicht die dabei mit 96 Ecken erreichte Genauigkeit aus. Ob er den für das hier gezeichnete Berechnen gewählten Berechnungszusammenhnag mit den Halbseiten auch wählte, ist nicht überliefert.
Das obere Bild zeigt wie von 60° ausgehend noch 16-fach unterteilt wird. Das untere vergrösserte Bild zeigt die halbe innen liegende blaue Vieleckseite und die halbe aussen liegende rote Vieleckseite, sowie die dazu ausgemessenen Grössen (schwarz Zahlen) und ihre auf den gesamten Aussenumfang und Innenumfang hoch gerechneten Grössen.
Der Grenzprozess der Multisummation strebt mit endlos gross werdender Eckenzahl der Viertelgrösse bzw. der Achtelgrösse der Kreisfläche und des Kreisumfang als Grenzwert (=Limes) zu. Mit der Notation π/2 wird dieser Grenzwert für das Verhältnis "Halbkreisumfang/Durchmesser" symbolisiert bzw. mit π/4 für das Verhältnis "Viertelkreisumfang/Durchmesser". Das Zeichen π symbolisiert hier ein Verhältnis und keine Zahl.
Kreisumfang als Multisumme-Grenzprozess (Vieleckseiten)
mit verbesserter Konvergenz / Effizienz [nach Schleicher]
Beschreibung
Das gezeichnete Berechnen für die den Kreis ausfüllenden Vieleckseiten beginnt mit violetten 4-Eckseiten, dann folgen blaue 8-Eckseiten, grüne 16-Eckseiten, rote 64-Eckseiten. Deutlich zu erkennen ist, mit der doppelten Anzahl der Ecken schrumpft die Längendifferenz zwischen Eckseite zugehörigem Kreisbogen überproportional, also auf immer weniger als die Hälfte von vorher.
Mit der roten 64-Eck wird hier der endlose Berechnungsprozess willkürlich abgebrochen, was nicht notwendig ist. Mit einem Berechnen von 4- und 8-Eck wird ein π2= 3,14 errechnet. Mit einem Berechnen von 4-, 8- und 16-Eck wird ein π3= 3,1415 errechnet. Mit einem Berechnen von 8-, 16- und 32-Eck wird ein π4=3,141592 berechnet.
Verbesserung der Konvergenz und Effizienz des Berechnens durch verkürzten Grenzprozess
Die Steigerung der Effizienz des Berechnens wird mit einem verkürzten Grenzprozess erreicht. Möglich wird dieser, indem eine Raumgesetzmässigkeit genutzt wird, die sich im stetigen Anwachsen der Multisumme abhängig zur Anzahl der Summanden zeigt. Da für den nicht verkürzten und auch für den verkürzten Grenzprozess der gezeichnete Rechengang als Rechenplan für alle Schritt bzw. zu zeichnende Objekte bis ins Endlose vollständig bekannt ist, kann bei Bedarf nach noch höherer Ergebnisgenauigkeit endlos weiter gerechnet werden, zumindest theoretisch.
Vergleich der Genauigkeit und Effizienz für π - Berechnungen
Archimedes - Berechnug Gezeichnete Cohaerentic-Kalkulation mit
verkürztem Grenzprozess
Archimedes Antiphon-Schleicher
- 8-Eck -> 3,14
- 16-Eck -> 3,1415
- 32-Eck -> 3,141592
- 64-Eck -> 3,14159265
96-Eck -> 3,14
256- Eck -> 3,1415
Der Vergleich zeigt deutlich den Fortschritt durch den verkürzten Grenzprozess der Cohaerentic Kalkulation.
