1er Duplikate und 2er Potenzen
Für Lernende sind die Potenzdarstelllungen 20 =30=40=...=1 eine gewisse Verständnishürde. Diese Zuordnungen können nicht elementar nachvollzogen werden. Genau so dann bei √2=20,5 = 1,4142135... und 2=21 usw. Eine solche Hürde gibt es beim Betrachten der Binär-Logarithmen nicht, wenn sie als Duplikate betrachtet werden. Als Basis-Duplikand dB wird vorzugsweise die Recheneinheit 1 und ein Basis-Duplikator dB zwischen d=-1, Null und d=+1 gewählt. Darüber hinaus wird mit Viefach-Doppelungen und Halbierungen gearbeitet. Die Recheneinheit 1 bleibt beim Doppeln mit Duplikator d=0 unverändert beim Duplikat-Wert 1. Wird der Duplikand 1 mit einem Basis-Duplikator dB=0,5 gedoppelt, ergibt sich: 1^^(0,5)=(√2 =1,4142... ). Das Zeichen "^^" wird hier für den Operator "Doppeln" verwendet. Die Einser-Duplikate stimmen mit ihren Zuordnungspaaren von Duplikator und Duplikat mit den Zuordnungspaaren von Exponent und Potenz der Zweierpotenzen überein. Diese spielen heute bei der Zahlendarstellung in modernen Rechenmaschinen eine dominierende Rolle. Die Notation wird hier zu 1^^1=21 und 1^^1,5=21,5=2,82842... und 1^^2 =22= 4 usw. gewählt.
Duplikate sind mit ihrer Verwandtschaft zu Zweierpotenzen für Lernende interessant, da es hierzu nachvollziehbare klassisch konstruierte Kohärenz-Modelle gibt.
Kohärenz-Modell für ganzfache Doppelungen
Das folgende Kohärenz-Modell zur Duplikation ist für ganze Duplikatoren gezeichnet. Da kommt sofort die Frage auf, wie werden die zwischenliegenden Duplikate mit gebrochenen Duplikatoren berechnet?
Die Duplikate |AB|^^N wachsen/ schrumpfen hier sprunghaft, so wie die Duplikator-Grösse von N zu den benachbarten N+1 und N-1 springt. Dieses Kohärenzmodell legt es nahe, danach zu fragen, warum Duplikate bisher nur für ganzvielfache und nicht auch für die zwischenliegenden Duplikator-Grössen berechnet werden? Eine gleichhohe Bedeutung hat hier auch die Anti-Duplikation. Bei dieser wird zu einer gegebenen Duplikat-Grösse diezugehörige Duplikator-Grösse berechnet. Hat ein solches Berechnen überhaupt einen Sinn? Ja, hat es. Durch die Verwandschaft von Einer-Duplikationen zu Zweierpotenzen werden fundamentale natürliche Zusammenhänge des Berechnens verständlich. Diese werden durch die Gleichung 1^^d=2^d beschrieben.
Wie wird zu den gezeichneten bildlichen Kohärennzsystemen gelangt? Der erste Schritt dazu setzt voraus, die Erwartung muss positiv sein, dass für die fundamentalen Urberechnungen auch natürlich erfahrbare Rechenzusammenhänge gefunden werden können, die mit Sequenzen zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von Kreis und Gerade zugänglich werden.
Kohärenz-Modell für nichtganzfache Doppelungen
In der historischen und auch heutigen Mathematik endet die Betrachtung zu Duplikationen (Doppeln und Halbieren) mit ganzzahligen positiven und negativen Duplikatoren. Im Internet sind bislang keine Betrachtungen zu klassisch gezeichneten Berechnungen für die Duplikation zu finden, bei der auch mit gebrochenen und beliebigen Duplikator-Grössen gerechnet wird. Mit den Cohaerentic Kalkulationen zur Duplikation werden nun auch zwischenliegende Duplikator-Grössen betrachtet. Die folgenden Beispiel bringen hier schnell mehr Klarheit. Als Basiszahl = Basisduplikand wählen wir vorzugsweise die Einheit = 1. Für den Zusammenhang zur Zweierpotenz gilt
Duplikat D = 1^^(±d) = 2±d
Das Neue bei einer gezeichneten Cohaerentic Kalkulation "Duplikation" ist, die Kohärenzgrundlage ist hier keine numerische Reihen-Formel sondern ein erfundenes klassisch gezeichnetes Kohärenzsystem. Mit diesem kann anschaulich nachvollziehbar erkannt werden, wie die niederen und höheren Rechenoperationen und trigonometrischen Kohärenzen mit den Urkurven Kreis, Gerade, Hyperbel und Rechteck mit seiner symmetrischen Ausprägung Quadrat zusammenhängen und durch diese geprägt werden.
Um mit der Rechenart Duplikation vorteihaft Divisionen und Potenzen und Wurzeln berechnen zu können, muss immer erst zu einer gegebenen Duplikat-Grösse die zugehörige Duplikator-Grösse ±d berechnet werden, was ähnlich dem Berechnen des Exponenten zu einer gegebenen Potenz ist. Formeln zu Rechengängen mit Zahlen sind hierzu bekannt. Diese Berechnungen sind aber nicht sehr effizient. Hier stellt sich die Frage, kann die Grössenermittlung des Duplikators ±d auch durch klassisch gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen erreicht werden? Das hier vorgezeigten gezeichnete Kohärenzsystem zur Duplikation reicht hierzu noch nicht aus. Es fehlt eine Kohärenzkurve (Siehe Abschnitt "Kohärenz-Kurven"), die Duplikator- und Duplikat-Grösse eindeutig miteinander verknüpft.
Im Buch Cohaerentic sind hierzu verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt.
Kassisch konstruierte Kohärenz-Modelle
Variante 1: Ellipse als genäherte Kohärenzkurve
Die blaue Strecke ist die Ergebinis-Strecke zum Duplikat D=1^^d bzw. zur gleich großen Binärpotenz D=2^d.
Die rote Strecke ist die Strecke für den Duplikator = Dopplungsfaktor, die, wie das konstruierte Kohärenz-System zeigt, die Basis Einheit=1 zu D doppelt. Für d=0 ergibt sich D=1 und für d=0,5 ergibt sich D=√2, sowie für d=1 ergibt sich D=2.
Variante 2: Kreis als genäherte Kohärenzkurve
Hier wird im nächsten bildlichen Kohärenzsystem zur Duplikation mit einer ausserhalb der Kreiskurve liegenden Kohärenz-Kurve (unten links) gearbeitet wird.
Die Punkte der dup-Kohärenz-Kurve, unten links, entstehen als Schnittpunkte der Strahlen, die von den dup-Teilungspunkten auf der Kreiskurve ausgehen und durch die zugegeordneten lin-Teilungspunkte gelegt sind. Die dup-Teilingspunkte sind das Ergebnis einer Unterteilungssequenz, wie sie das vorhergehende Bild mit der roten Hyperbelkurve ziegt. Die lin-Teilungspunkte werden durch fortfolgendes Halbieren erzeugt und markieren die Grösse der jeweiligen Duplikator-Grösse, dargestellt als rote Strecke p2. Wie das gezeichnete Kohärenzsystem zeigt, wächst mit der Duplikator-Grösse d von Null bis Eins die Duplikat-Grösse von 1 bis 2 und umgekehrt. Mit der Duplikatorgrösse 1/2 hat das Duplikat die Grösse 1, 4142...= 2^0,5. Hier ist diese dup-Kohärenzkurve einer Kreiskurve sehr ähnlich und kann daher abschittsweise gut durch eine Kreiskurve ersetzt werden, was ein schnelles Berechnen gegenüber anderen Kurventypen ermöglicht. Die bei einem solchen Duplikator-Rechnen geforderte Genauigkeit entscheidet über den zu treibenden Aufwand., sprich die erforderliche Anzahl der Punkte für die dup-Kohärenzkurve. Der spezielle Zusammenhang zur dup-Kohärenz-Kurve stützt sich besonders auf Symmetrie. Der mit dem gezeichneten dup-Kohärenzsystem dargestellte Berechnungszusammenhang ermöglicht ein exaktes Berechnen der Dupliakat-Grösse bei vorgegebener Duplikator-Grösse und umgekehr, da theoretisch endlos viele dup-Kohärenzkurven-Punkte gezeichnet berechnet werden können.
Das nachfolgende Video unterstützt anschaulich das Verstehen des elementar gezeichneten dup- Kohärenzsystems zur stetigen Duplikation.
