Zweifel am Unmöglich-Beweis fürs Winkeldritteln

Einführung
Bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels lesen wir zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns,
"Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen". 
Offenbar kannte Wantzel das im Jahr 1647 veröffentlichte Buch "La Geometrie" von Rennè Descartes (1596-1650) nicht, das etwas im Widerspruch zu seiner Beweis-Einsicht steht.    Nach den descartschen Lösungsansätzen wird mit Hilfe einer gegebenen quadratischen Parabel nach endlich vielen Schritten  zur  vollständigen Größendarstellung des Winkeldrittels gelangt. Im Buch  des Autors "Cohaerentic, ISBN 9783982026216 ist deshalb auf Seite 302 geschrieben:  
"Wir erkennen hierzu, dass der Unmöglich.Beweis von P. Wantzel (1818-1848) nicht so allgemein gültig ist, wie es heute erwartet wird. Das bewiesene "Unmöglich" trifft dann zu, wenn eine gezeichnete Winkeldreiteilung von der Kohärenzgrundlage ausgeht, die  beim "Unmöglich-Beweis" zugrunde gelegt wurde.
 
Wanzel nimmt für das Problem des    konstruierten Winkeldrittelns   die Gleichungen vom 3.Grad   
cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α)  bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) -  4 sin3(α)  zur Grundlage der Zusammenhänge. Mit diesen Kohärenzen kann ausgehend vom gegebenen Winkel α bzw. cos α bzw.  sin α die  exakte Lösungsgröße mit einer Sequenz  endlich viel konstruierter Kreis-Gerade-Objekte  vollständig und nachvollziehbar konstruiert werden. Dies zeigt  unser nachfolgendes Bild,  mit  der blau gezeichneten  Lösungs-Objekte-Sequenz   für die (sin 3α) - Kohärenz und mit der  magenta gezeichneten Lösumgs-Objekte-Sequenzn für die (cos 3α) -Kohärenz.
 
 
 
 
Unmöglich ist es mit den Zusammenhängen     
         cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α)  bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) -  4 sin3(α)      für ein beliebig gegebenes β   bzw.  sin β oder cos β   dann die  die vollständige   Größendarstellung  für α=β/3   mit  endlich viel konstruierten Objekten zu konstruieren.
Wanzels Erwartung war, sein hier betrachter Zusammenhang ist exakt und einzigartig, was Betrachtungen zu    noch anderen eventuell  möglichen Kohärenzen nicht mehr erfordert. 
Heute ist in  der  verfügbaren Literatur  für ein konstruiertes Winkeldritteln zwar einerseits allgemein akzeptiert, dass das   bewiesene "Unmöglich"  generell   zutrifft.  Andererseits liefert aber die    historische und nun auch neuere Fachliteratur einige  Beispiele, die zum erweiterten   wanzelschen "Unmöglich" im Widerspruch stehen.  Wir erkennen, durch diese "Gegenbeispiele" wird  der  beanspruchte Geltungsbereich für den wanzelschen Unmöglichbeweis zum Winkedrittlen auf Gleichungen vom 3.Grad eingeschränkt. Das von Wanzel bewiesene "Unmöglich"  trifft deshalb nur dann zu, wenn das konstruierte Winkeldritteln auf der Grundlage der   3er-Zusammenhänge
                 cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α)  bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) -  4 sin3(α)  
konstruiert wird.   Für andere eventuell noch mögliche 3er-Zusammenhänge zum Winkeldritteln trifft der wanzelsche "Unmöglich-Beweis" nicht zu, Dies zeigen unsere nachfolgenden  genannten   Gegenbeispiele.  
 
Erstes Gegenbeispiel  - klassisch konstruiertes Winkeldritteln mit quadratischer Parabel
 
Ein Ansatz zum  klassisch konstruierten Winkeldritteln mit quadratischer Parabel findet sich im Buch von René Descartes (1596-1650), "La Geometrie", das im Jahre 1647 veröffentlicht wurde. 
Die Fachwelt sieht die descartsche Lösung nur als Näherung. Deshalb abstrahiert das KI-Portal "frage.de" aus dem angelernten Wissen, 09.11.2024,:
Ja, das Descartes-Winkeldritteln kann nur genähert mit einer quadratischen Parabel gelöst werden. Laut Wantzel ist es nicht möglich, Winkel mit nur einem Zirkel und einem Lineal exakt zu dritteln, da dies eine Lösung einer Gleichung dritten Grades erfordert. Die Verwendung einer quadratischen Parabel ermöglicht lediglich eine Annäherung an die Lösung, jedoch keine exakte Lösung des Problems. [x]
 
Pierrè Wanzel (1818-1848) kannte offenbar das im Jahr 1847 veröffenntlichte Buch von Descartes mit dem konstruierten Winkedritteln mit  Parabel nicht. Er hätte sonst  nicht   behauptet, das  mit endlich vielen konstruierten Objekten die Winkeldrittelung  mit keiner Gleichung geringer als vom 3. Grad   möglich und vollständig  darstellbar sei. Erstaunlich ist hier, dass heute trotz des widersprüchlichen
Wissens  aus dem  descartschen Buch von1647, in dem Ansätze zum exakten Winkeldritteln mit  quadratischer Parabel aufgezeigt werden,  die wantzelsche "Unmöglich-Einsicht"  bislang nicht hinterfragt wird. Warum wohl? 
 
Multifache   Dreier- Winkelzusammenhänge im Kohärenzsystem "Kreis mit orthogonalen Achskoordinaten"
Unsere folgenden Bilder  zeigen multifache   Dreier- Winkelzusammenhänge im Kohärenzsystem "Kreis mit orthogonalen Achskoordinaten". Sie spielen eine wichtige Rolle bei der Beantwortung 
 

der Frage, ob der nachvollziehbar Winkeldrittel-Zusammenhnag  mit einer quadratischen Parabel ein exakter oder doch nur ein   genäherter sei?   Die rote Radiusstrecke teilt im linken Bild  den Viertelkreis (1.Quadrant) zwei Winkel  (α+β)=90° und den Halbkreis in je zwei Winkel α und γ für die gilt α+γ= α+β+90°=180°. Die Winkel α/3 ; β/3  und γ/3 sind durch die Sehne, welche den roten Innenkreis um M tangiert,  miteinander verbunden.Dies zeigen auch dei nächsstfolgenden Bilder.
 

Ist einer der drei   Winkeln α; β; γ  im Halbkreis  gedrittelt, so sind es durch den Sehnen-Zusammenhang quasi auch die jeweils anderen beiden Winkel.  Infolge gegebener Symmetrie sind dann auch die Winkeldrittel  in der anderen unteren Kreishälfte gegeben, was nachfolgendes Bild zeigt.

 
 
1. Gegenbeisiel:   
Winkedritteln mit einer quadratischen Parabel nach René Descartes (1596-1650) 
Der berühmte René Descartes nutzte für das Winkeldritteln eine quadratische Parabel, deren  Gleichung vom  2. Grad ist, Auf diese Weise gelangt er nach endlich vielen Schritten zu einer vollständig konstruierten Größendarstellung eines dreigeteilten Winkel-Ergebnisses.  Im   originalen  descartes´schen Bild vom  Buch "La Geometrie", Seite 399,
 
 
 
ist   kein   anschaulich nachvollziebarer Zusammenhang zum Winkeldritteln zu erkennen.  Erschwerend ist hier,  es gibt keine übereinstimmenden gemeinsamen Buchstaben-Symbole in der linken und  rechten Teilkonstruktion.
Beim obigen rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel  ∠PON  und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT,  ∠TOQ  und  ∠QON  zu  erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis zum konstruierten Zusammenhang behindert. So ist aus dem linken Teilbild heraus kein  Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen. Die von Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind unter dem Suchwort Dreiteilung des Winkels   viele Lösungsversuche zur Dreiteilung des Winkels   gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung  ist dabei nur  kurz erwähnt. Obiges Bild von Descartes ist ganz weggelassen und seine Lösung bleibt unbetrachtet und unerklärt. Gegenüber den vielen anderen bei Wikipedia  ausführlich abgehandelten Lösungsversuchen ist  die  Bedeutung des exakten descartschen Lösungsprozesses  mit vollständig konstruierter Grössendarstellung des Winkeldrittels  nicht erkannt.
 
Mit unserem folgenden Bild werden  die Zusammenhänge   im Kohärenzsystem "Halbkreis"  für ein  mulitifaches Winkeldritteln mit Parabel anschaulich nachvollzihebar.
 
Die vom  Bild mit Kreisen und Parabel vermittelten Zusammenhänge beschreiben zwei Lösungssachverhalte, einmal  für eine Parabel  y=x2 mit innerem und äusseren Kreis um Punkt M mit Radien der Größe 1 und 2,  sowie  zugleich auch    für eine  Parabel y=2x2 mit  Radien der Kreise um M von der Größe  0,5 und 1. 
 
Beschreibung der   Konstrukton und der Objekt-Bezeichnungen
Zunächst betrachten wir beim linken und rechten Teilbild einen gesetzmäßigen Zusammenhang für drei Winkel im Halbkreis.  Dies  wird nachvollziehbar, indem im rechten Teilbild  eine Sehne den inneren Kreis um M tangiert und dabei am äusseren Kreis endet.  In linken Teilbild ist der innere Kreis mit  k1 bezeichnet. Er weist  nur die halbe Radiusgröße des größeren Kreises k2 auf. Die Schittpunkte S9(k2xg9) und S8(k2xg8) auf Kreis k2 sind die Endpunkte der Sehne, welche  Drittelpunkte markiert. Im rechten Teilbild wird durch die Ausfüllungen der Winkel  mit ihren Winkelditteln in Gestalt  aneinander gereihter  zwei  roter  Kreise, dann  grüner    und links  zweier blauer  Kreise der  Zusammenhang im Kohäremzsystem  "Halbkreis" anschaulich erfahrbar. Auf den linken Teilbild ist zu erkennen, daß ein Kreis k6 die Parabel p7 drei mal schneidet und so drei verschiedene Winkeldrittelpunkte liefert.
 

Mit der Objektbezeichnung  "g3" kennzeichnet der Buchstaben g  ein Geraden-Objekt und mit der Zahl 3 den erzeugenden  Konstruktionsschritt in der Sequenzfolge. So kennzeichnet k2 mit k ein Kreis-Objekt  um Mittelpunkt M  mit doppeltem Radius zu  Kreis k1. Die Zahl 2 kennzeichnet  den erzeugenden   Konstruktioinsschritt bzw. das zweite konstruierte Objekt. Das Schild  S7.1(k6³×p7)  kennzeichnet einen mit dem 7.1 Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich  die Objekte k6 und p7 schneiden. Das Schneiden wird hier mit "x bzw. ⊗" symbolisiert.  Das Schild S7.2(k6xp7)  kennzeichnet einen mit dem 7.2- Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die  Objekte k6 und p7 schneiden. 

Der zu drittelnde Winkel ist ∠BMS3(k2xg3). Sein Radiusstrahl g3=MS3 schneidet  Kreis k2 im Schnittpunkt S(k2xg3  und ist Ausgangspunkt für Gerade g5, die Gerade g4 schneidet und den Schnittpunkt S5(g4xg5) erzeugt, welcher Mittelpunkt für Kreis k6 ist. Der Kreis k6 schneidet die gegebene Parabel p7 drei mal und erzeugt die Schnittpunkte S7.1(k6xp7),S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Diese sind Ausgangspunkt für die zur Y-Achse parallelen Strecken g8, g9 und g10, welch den Kreis k3 schneiden. Die Schnittpunkt S8(k2xg8), S9(k2xg9)  und S10(k2xg10) markieren drei verschiedene  Drittelungswinkel α/3; β/3  und γ/3, was das linke Bild  deutlich zeigt,

 

Wie heute Widersprüche aufgelöst werden.

Bei Wikipedia22.11.2024 https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, lesen wir zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns,
"Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen". 
 
Andererseits ist bei Wikipedia22.11.2024 https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel   zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns mit Parabel zu lesen,
"Eine Parabel lässt sich auch als Trisektrix verwenden, das heißt mit ihr als zusätzlichem Hilfsmittel ist die exakte Dreiteilung beliebiger Winkel mit Zirkel und Lineal möglich. Man beachte, dass dies nicht im Widerspruch zur Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal steht, da nach den klassischen Regeln für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal die Verwendung von Parabeln nicht erlaubt ist."
 
So kann man es auch sehen! Hier wird offenbar davon ausgegangen, dass die  die Punkte des  Kurven-Objekts "Parabel" nicht mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden können.  Was ist aber, wenn die Parabelpunkte doch klassich konstruierbar sind?

 

 

 

Konstruiertes  Winkeldritteln ohne gegebene, schon gezeichnete,  quadratische Parabel 

Mit folgendem Bild knüpfen wir an das eingangs schon erörterte descartes´sche Verfahren an, das   allein mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis und Gerade auskommt. Eine gegebene gezeichnete  Parabelkurve p, die hier als gestrichelte blaue Kurve p angedeutet ist, wird hier für die Lösungskomstruktion nicht  mehr benötigt.  

Die rote Winkelgradzahl im Bild ist die verdreifachte Ergebniszahl und kann so leichter mit der schwrzen Startzahl verglichen werden.

 Im  Schnittpunkt-Bereich  S(p, k3)   werden drei  exkate Punkte der Parabel p klassich konstruiert. Dies gelingt   mit einer  endlichen  Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, wie es für die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel  bei den Cohaerentic-Betrachtungen an anderer Stelle schon mehrfach beschrieben wurde. Die Erzeugung kann aberauch  aus im  Konstruktionsbild eindeutig nachvollzogen werden. Der Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisgebiet wird  duch die hier drei konstrierten Parabelpunkte gezeichnet.  Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links nebem Punkt E platziert, wobei sie einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von kreis k3 liegen sollen. 

Beim  nächsten Bild werden zwei aufeinander folgend  konstruierter Berechnungszyklen gezeigt. Der 1. Zyklus ist rot-rechts und der 2. Zyklus ist blau-links gezeigt. Gestartet wird der zweite Zyklus mit dem Ergebniswinkel ais dem 1. Zyklus (rot). In 2. Zyklus werden über die  14  wahre Stellen an Ergebnisgenauigkeit im ersten Zyklus nun alle vollen 15  Stellen erreicht und offenbar deutlich mehr. Wieviele   kann hier nicht mehr erkannt werden, da   die Rechengenauigkeit des verwendeten Geogebra-Programms nur 15 Nachkommastellen  leistet.

 

 

 
2. Gegenbeisiel: 
Ein klassisch konstruiertes  Winkeldritteln, veröffentlichte   Nikolaus Fialkowski (1818-1902) im Jahre 1860 in seinem Buch"Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12". Dabei lonstruiert er mit einem  konvergentem Grenzprozess,   mit endlos vielen unbeschränkt fortsetzbaren Halbierungen,   eine immer dichtere Punktefolge, die gesetzmässig ihrem Grenzpunkt, dem exakten  Winkeldrittelpunkt zustrebt.
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Winkeldritteln durch Halbierungs-Grenzprozess  nach Nikolaus Fialkowski (1818-1902)

Nicolaus Fialkowski (1818.1902) war ein österreichischer Mathematiker.  In seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12  hat er   einen  exakten Winkeldreiteilungsprozess  durch fortgesetzte gezeichnete Halbierungen veröffentlicht.

 

Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren  eine Näherung und bleibt damit  "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" wurde hier wohl deshalb gewählt, weil das exakte Grenzpunkt-Ergebnis   wegen der  notwendigen endlos vielen Schritte niemals erreicht wird. 

Die Ergebnis-Darstellung ist  hier mit endloch vielen Schritten zusammengesetzte   Zahldarstellung oder   konstruierte Drehung niemals ganz vollständig erzeugt. Trotzem ist ihr Erzeugungsprozeß ein unbeschränkter exakter Prozeß und kein genäherter, wie der für die häufig zitierte  Streckenkonstruktion, welche  der polnische Mathematiker Adam Kochanski (1631-1700)  im Jahre 1647  für das genäherte Kreisverhältnis π veröffentlichte.

Hier kommt auch das Problem der Quantisierung ins Spiel. Dazu ist bei Wikipedia 7.11.2024  unter Suchwort " "Quantisierungsabweichung"  zu lesen:

"Die Quantisierungsabweichung oder der Quantisierungsfehler ist die Abweichung, die bei der Quantisierung von analogen Größen entsteht (z. B. bei der Analog-Digital-Umsetzung). Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung nur diskrete Werte verwendet.

Fialkowski erkennt ganz klar, sein Winkelteilen ist ein konstruiertes exaktes  Berechnen, bei dem mit mehr Schritten die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:

"Mann kann durch fortgetztes Halbiren  der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".

Leider trägt Fialkowski    selbst  zu einem  schnelles Vergessen seiner  erfundenen exakten Halbierungs-Winkeldreiteilung  bei.  Er schreibt hierzu:

"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen  diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Theoriefindung zum Halbierungs-Winkeldritteln nach Fialkowski 
Bei der   Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt  Fialkowski  in seinem Buch auch den  Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der  eine Konchiode für das Winkeldritteln  ins Spiel bringt.  Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski  dann:
 
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man:       ...     α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
 
Schliesslich leitet Fialkowski  daraus die  1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;"   her und schreibt:
 
     " ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
 
Verkürzte Halbierungs-WDT durch nachgeschaltetes konstruiertes  Dritteln
Das  Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um  eine nachgeschaltetes   klassisch konstruiertes  Drittelln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende  Bild zeigt einen hierfür  genutzten  Zusammenhang.

In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte  Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.

Geometrische Konstruktopn als Berechnungsplan  

Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir auch die Sequenz der klassiche Konstruktion, die durch    Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreiben kann. Die Gesamtheit der  Teilrechengänge sind  als   endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem  einem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird.  Durch ein   hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel  zu einem klassisch konstruierten  Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist,   der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein. 

 

Die real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der   Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen).   Dieses Fortsetzen  ist theoretisch endlos möglich und damit unbeschränkt.     Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen  schon nach 7 Halbierungen.

 
Beim  nächsten Bild  werden von Innen nach Außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden.  Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach  4 und außen nach 5.   
 
 
Beim folgenden Bild erleichtert  die von Innen nach Außen gezeichnet  Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild  gibt es keine nachgeschaltetes  geometrisches  Dritteln. So wird   hier erst nach  11 Halbierungen   eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von  wenigel als   1/1000 Grad erreicht.  
 
 
Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seiner Halbierungs-WDT:
 
"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
 
Weitere Gegenbeisiele zum konstruierten Winkeldritteln:    
Gegenbeispiele mit Schritt um Schritt konstruierten Neusis-Prozessen
Diese Gegenbeispiele  sin bekannte und neuen Winkeldrittelungen, bei denen mit analogen Neusis-Prozessen gearbeitet wird, welche die konstruierten Lösungsgestalten  auf die  exakten Zielgestalt-Konstruktionen mit den Zeiel winkeln  zu bewegt werden, bis sie schließlich übereinstimmen und damitangestrebte  das Winkeldrittel erreicht ist. Unser   Fortschritt besteht in der Überführung des quasi analog vollzogenen Neusis-Prozesses in einen  "digitalen" Neusis-Porzess, welcher  mit einem Schritt um Schritt konstruierten Grenzprozess, der mit  endlos unbeschränkt fortsetzbaren  Wiederholzyklen immer dichtere  Punktefolgen erzeugt, die gesetzmässig ihrem Grenzpunkt, den exakten  Winkeldrittelpunkt zustreben. 
 

Schrittweis konstruierte Neusis-Prozesse realisieren Zielgestalt-Konstruktionen

Zielgestalt-Kostruktionen für das  Winkeldritteln 
Eine  Zielgestalt ist eine  Konstruktion, welche  den einfachen Winkel und  dessen vervielfachte  Winkel aufweist. Wird eien  Lösungsgestalt-Konstruktion mit der Zielgestalt-Konstruktion in Übereinstimmung gebracht, weist sie auch den einfachen Winkel und dessen vervielfachte  Winkel auf, wie es nachfolgendes Bild zeigt.
 
Lösungskonstruktion werden seit Alters her  entsprechend durch Neusis-Prozesse (Drehung, Verschiebung) bewegt, damt ihre Gestalt mit der von der gegebenen Zielgestalt-Kostruktion in Übereinstimmung kommt. Bisher  her  wird  hier mit ein analogen  Bewegen  gearbeitet, so daß  von eienem   analogen Neusis-Prozess gesprochen werden kann. Wir  führen hier nun Neusis-Konstrktionen ein, bei denen das Bewegen in konstruirten Schritten erfolgt. Damit kann dann hier von einem quasi  digitalem Neusis-Prozess gesprochen werden.
 
Das obige Bild einer Zielgestalt-Konstruktion  zeigt den Winkel-Vervielfachungs-Zusammenhang  mit  aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecken gleicher Seitenlänge. Es entsteht dabei  eine  Winkelfolge mit   n Winkeln der Winkelsumme s=n*α.    Mit größer werdenden  Winkelgrößen kehrt sich die Richtung der Dreieckfolge nach links um, irgendwann wieder nach rechts usw. immer häufiger, wodurch ein anschauliches Nachverfolgen erschwert wird. Die von Archimedes (287-212 v.u.Z) bei seinem konstruierten Winkeldritteln  genutzte   Zielgestalt-Konstruktion benötigt im obigen    Bild  nur die ersten  zwei  aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke. Diese kurze Konstruktion  weist  den  einfachen, den doppelten und den verdreifachten Winkel 3α auf.
 
Kreuzschleifen-Konstruktion
Erweiterung der zu drittelnden Winkelgröße 
Unser Ziel ist es,  das Verfahren der Winkeldreiteilung auf der Grundlage der Kreuzschleifen-Kohärenz so weiter zu entwickeln, das alle Aktionen nur noch als konstruierte Kreis- und Gerade-Objekte ausgeführt werden. Unsere   Lösungskonstruktion startet die   Ziel-Gestalt  der Kreuzschleifen-Konstruktion   vom   Punkt D aus, welcher  den zu drittelnden Winkel markiert. 
Bei den  folgenden Bildern markiert die blaue Radiusstrecke=MD den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke=MC den gesuchten Drittelwinekl. Den zu beweisenden, quasi nachzuvollziehenden 3-er Zusammenhnang machen hier die beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke rot und grün anschaulich. 
 
Der rote  Kreuzschleifen-Balken  AB hat eine Länge vom Grundkreisdurchmesser = 2*ME und gleitet mit Punkt A auf der X-Achse und mit Punkt B auf der Y-Achse. Sein Mittelpunkt C bewegt sich dabei auf der Grundkreiskurve k1, bzw. zeichnet diese gedanklich als Spurkurve. Die dünne grüne Radiusstrecke MC markiert die Winkelgröße α =∠E,M,C und die dicke blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel 3α .
 
Streckenzug- Zirlgestallt
Der Zusammenhang unsere nachfolgenden   Zlelgestalt-Konstruktion abstrahiert als nochmals als Kreuzschleifen-Konstruktion die 3-er Winkelhohärenz für einen vergrößerten Winkelbereich.   Die folgenden Bildern zeigen verschieden große  zu drittelnden Winkel (blaue Radiusstrecke) in den vier Quadranten eines descartschen Koordinatensystems. 
Zusammenhängende Zielgestalt-Streckenzüge verbinden  einen beliebig gegebenen Winkel (rotes Dreieck)  mit seinem verdreifachten Winkel (Summe der roten, grünen und blauen Dreiecke). Dabei kommen diese vier Konstruktionen nur mit endlich  vielen zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten aus. Je nach Betrachtungsrichtung vom   Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) zum dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke), oder umgekehrt, vom  dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke) zum Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) gibt es hier eine exakte Verdreifachung oder eine Drittelung. Allerdings  begründet  hier nicht  die allgemein bekannte Verdreifachung eines Winkels durch zwei gleichgroße aneinander gereihte Kreise  den systematischen 3er-Winkelzusammenhang. Die Verdreifachung entsteht durch   die Sequenz der zusammenhängenden Strecken-Objekte im Kreisinnern und den Achsgeraden. Mit Drehung der grünen Radiusstrecke gleitet der rote Kreuzschleifenbalken, der die    Größe vom Grundkreis-Durchmesser hat, mit seinen beiden Endpunkten auf den  X- und Y-Achsgeraden. Der Balkenmittelpunkte M zeichnet dann als Spurkurve den  Grundkreis um Mittelpunkt U.
 
Einprägsame  Streckenzug-Zielgestalt   
Bei den  nun folgenden Bildern wird die Abstraktion  weiter zu einer sehr einprägsamen  "Streckenzug-Zielgestalt-Konstruktion" geführt. Sie umfasst wieder einen gegebenen Winkel und seinen verdreifachten Winkel. Der besagte  systematische Zusammenhang  ist nun auch auch über eine Umdrehung (einen Vollwinkel) hinaus  nachvollziehbar.  Für die "Streckenzug-Zielgestalt-Kosnstruktion"   gilt:
 
Ein 3er-Winkelzusammenhang ist dann gegeben, wenn ein  zusammenhängender
schwarzer Streckenzug  im Kreisinnern aus zwei Paaren  
paraller Strecken besteht.  
 
 
Die folgenden zwei Bilder sind Beispiele für die als LÖsungs-Gestalt angestrebten zwei Paare paraller Strecken im inneren des Kreises, hier die den Grundkreis innen berührender Streckenzüge AMBCD  bzw.
 
 
 A1M1B1C1D1. Die  besagten zwei  Sreckenzug verbinden   den einfachen Winkel α und den dreifachen  Winkel 3α bestmöglich.  Die erste und dritte Strecke AM und BC sowie die zweite und vierte Strecke MB und CD  sind zueinander parallel.
Um die angestrebte Übereinstimmung  herbei zu führen, wird die   rote Kreiszschleifen-Balkenstrecke CD solange um Punkt D gedreht  bis die abhängige sich drehende Strecke MB parallel zur Strecke  DC zu liegen kommt.  Beim folgenden Bildbeispiel  ist der zu drittelnde Winkel   größer einer Umdrehung. Er liegt   im 5. Quadranten. Der  verbindende Streckenzug besteht hier aus den  vier gestrichelten roten   Strecken.
 
  
 
Beim folgenden Bild   bewegt sich der Balkenmittelpunkt C von Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Balkenstrecke   mit ihren  Endpunkten E und F an  den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der  zwei Paare paralleler roter Strecken im Kreis um M  kann die hier natürlich vorhandene Dreierkohärenz für Winkel gut nach vollzogen werden.  
 
Der  bekannt analoge Neusis-Prozeß  istein   Zurechtschieben bis zur vollständigen Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt, was nur theoretisch im Gedankenspiel erreicht wird. Daraus  erwächst  der Wunsch zu einem    klassich konstruiertem Prozeß des "Zurechtschiebens", zu einem digitalen Neusis-Prozess,  zu gelangen.    Wünschenswert ist für diesen   veränderten Prozeß, daß er nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert wird. Damit kann dann die  in der Antike  gefoderte Beschränkung auf Zirkel und Linieal bzw. Kreis- und Gerade-Objekte  eingehalten werden. Von der Antike bis heute  sind in der Fachliterarur  keine solche Lösungen  zu finden. Sie werden auch bis  heute nicht angestrebt, denn sie werden nicht erwartet.
 
Winkeldritteln mit kombinierten Zielgestalten
Im folgenden linken Bild sind zwei Zielgestalt-Konstellationen für die 3-er Winkelkohärenz   miteinder kombiniert. Links gibt es die Zielgestalt  als  "Streckenzug im Kreisinnern mit "schwarzer Strecke= AM,  dann folgen drei  rote Strecken. Nach schliesst sich blaue Streckenzug an. Der  gesamte nach rechts orientierte kombierten "Streckenzug  umfasst die "schwarze Radiusstrecke = AM dann Strecke  rot, dann Strecke   blau und Strecke blau". 
 
 
 
Die rechte   Konstruktion zeigt   einen  stark konvergierender  Winkeldrittel-Grenzprozeß welcher  mit der kombinierten Zielgestalt  und einem digitalen Neusis-Prozess arbeitet.   Der kombinierte Streckenzug umfasst  die "schwarze Radiusstrecke= AM,  dann eine rote Strecke und zwei  blaue Strecken  .  Wegen der starken Konvergenz kann der digitale Neusis-Prozess   schon nach wenigen konstruierten Objekten mit Schnittpunkt S4(k3xg4) beendet werden. Die Ergebnisgenauigkeit ist  dann  mit über 15 wahre Nachkommastellen bereits ausreichend groß.   Zum Zweck eines leichten direkten  Vergleichens der Ergebnisgenauigkeit wird  der konstruiert  errechnete  Drittelwinkel vor dem Vergleichen verdreifacht. Dies leisten die,  zwei  roten  Kreise mit ihren Mittelpunkten auf dem roten Kreis um Mittelpunkt M.  Der vergrößerten Bereich um Punkt S4(k3xg4)  wird mit nachfolgenden Bild gezeigt.  
Beschreibung der Konstruktion:
Gegebene Objekte:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ 
 
Die  konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl   g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet  
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet. 
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S6(g5×k6) und       S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S8(g7×k8) und      S8.1(g4×k8). 
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8). 
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und  S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnittpunkt     S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert. 
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten  Drittelwinkel ∠AMD. 
 
 
 
Tiefer gehende Einsichten
Die folgenden zwei Bilder führen zu   noch   tiefergehende Einsichten zum    Winkeldritteln.   Im linken Bild liegt der  zu drittelnde Winkel im 2. Quadranten und rechts  im 1. Qudranten.
 
 
 
 
 
Winkeldrittelung mit konstruiertem Neusis-Prozess  
Im folgenden Bild wird ein  weiteres, weniger effizientes Ganzbalken-Verfahren gezeigt, bei dem der Grenzprozeß   etwas anders realisiert wird.  Die erste konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit den Strahl g2 durch den frei gewählten Startpunkt 2 und endet mit Schnittpunkt K=S(Xxk7). Die  zweite konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit Strahl g8 durch Startpunkt K und endet mit dem Schnittpunkt T=S(Xxk14).  Im nächsten Bild ist die Umgebung der Punkte K; L und  T  vergrößert gezeigt.
 
Nach dem ersten Teilsequenz-Zyklus  wird mit Kreis k7 der Punkt K=S(Xxk7)   auf der X-Achse erzeugt.  Der Zwischenergebniswinkel ist dann mit 2 wahren Nachkommastellen erzeugt.  Mit dem zweiten Teilsequenz-Zklus wird dann die Ergebnisgenauigkeit um 4 wahre Nachkommastellen erhöht usw. 
 
 
Winkeldrittlelnmit digitalen autokonvergenten Neusis-Prozess 
1. Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im  Inneren des Grundkreises 
Beim nachfolgendem Bild  eines  Grenzprozeß-Winkeldrittelns verläßt die  konstruierte  Sequenz der kohärenten Strecken-Objekte  das Innere des Kreises nicht. Der  Grenzprozeß, der stringent dem Grenzpunkt als Ergebnis zustrebt, hat die Eigenschaft "autokonvergent" zu sein. Autokonvergent  beschreibt hier, daß keine probierenden Schritte   erforderlich sind.   Das folgenden Bild mit den  laufenden Nummern an den Objekten zeigt einen  gut verfolgbaren fortschreitenden Verlauf des mit den zwei Paaren paralleler Strecken konstruierten Grenzprozesses.  Die Strecken 3 ; 7 ; 11 usw. drehen sich immer weiter in die Richtung der X-Achse bis sie zu dieser parallel laufen. Nun markieret der rechte Schnittpunkt mit den Grundkeis  den gesuchten Winkeldrittelpunkt. Ein verkürztes Beenden des  Grenzprozesses wird erreicht,  indem durch die letzten drei Mittelpunkte der Streckenfolge 3; 7; 11 usw. der Kreis K20 konstruiert wird, welcher die Y-Achse im Punkt S(YxK20) schneidet. Durch diesen Punkt ist dann die gesuchte zur Y-Achse parallele Strecke gezeichnet, welche rechts mit ihrem Schnittpunkt mit dem Grundkreis den gesuchten Winkeldrittelpunkt markiert. Die Ergebnis-Genauigkeit in Grad ist hier nach ca. 20 konstruierten Objekten  4 wahre Nachkommastellen. 
2.  Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im  Inneren des Grundkreises 
 
Es gibt mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation (Ziel-Kohärenz-Modell) noch weitere  mögliche Varianten für konstruierte Grenzprozesse, wie bereit  weiter oben schon erörtert.  
Um den Umfang der  Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind  die    konstruierten Objekte  im folgenden Bild  fortlaufend nummeriert. Für den im  i-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung   ki  und für die im nächsten Schritt erzeugte  Gerade  gi+1. 
 
Die erste Teil-Sequenz  umfasst hier  die Objekte   Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7), usw.  Für die Radiusgrössen der Kreisbögen gilt:   rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1 .     Die konstruierten Punkte D; G; K usw bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Kohärenzkurve". Diese strebt   den Grundkreis k1  zu und schneidet ihn letztlich im Punkt PWinkeldrittel. Da sich Im Ergebnisbereich der Verlauf der Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve nähert, wird durch die letzten drei Folgepunkte eine Kreiskurve gezeichnet, welche den Grundkreis k1 schneidet. Im folgenden linken Bild wird der halbe Kreuzschleifen-Balken zischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst. 
Die eingangs gezeigten Kreuzschleifen-Konstruktionen sind im linken Bild ein Halbbalken-Verfahren und im rechten Bild ein Ganzbalken-Verfahren.
 
Halbbalken (links) und  Ganzbalken (rechts) - Verfahren
Die folgenden Bilder zeigen  zwei unserer neuen Winkeldrittelungen in zwei Ausprägungen. Bei beiden liegen die zu drittelnden Winkel    im ersten Quadranten. Der konsruierte Neusis-Prozess strebt  mit einer autokonvergenten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (g2; k3 usw.)  der jeweiligen  Zielgestalt zu.
Im linken Bild wird der halbe  Kreuzschleifenbalken  zwischen Y-Achse und Kreislinie Schritt um Schritt eingepasst, wodurch  als Ziel-Gestalt  die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke  entstehen.   Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs eingepasst, wodurch  als Ziel-Gestalt  wieder die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke  entstehen. Archimedes (287-212 v.u.Z.) löst das  quasi analoge Einpass-Schieben ( Neusis-Prozess) der halben Kreuzschleifenbalken-Strecke mit einem Lineal mit Strichen im Abszand vom Grundkreis-Radius.  Inder rechten Kostruktion wird der ganze Kreuzschleifenbalken eingepasst, was Vorteile bei der Konvergenz hat. Insgesamt ersetzen wir den  bekannte analogen Neusis-Prozeß durch  eine konstruierte  Schritte-Sequenz aus Kreis-Gerade-Objekten.  Zur Abgrenzung von einem  quasi analogen Prozess sprechen wir nun von einem  "digitalen Neusis-Prozeß", der quasi Schritt um Schritt mit jedem Wiederholungszyklus aus Strecke und Kreis dem Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt auf der Kreislinie unbeschränkt zustrebt.
Die Abläufe unserer beiden hier gzeigten Winkeldrittel-Grenzprozesse konvergieren unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt. Rechts wird bereits nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Übereinstimming des verdreifachten Ergebniswertes (rote Winkelzahl)  mit dem Startwinkelwert (schwarze Zahl) von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Hingegen werden links mit dem weniger stark konvergierenden Grenzprozess erst  nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen  3 wahre Nachkommastellen erzielt. Unsere beiden Grenzpozess-Winkeldreilungen  arbeiten als autokonvergente Grenzprozesse, die allein mit den  Urkurven Kreis und Gerade von beliebig großen Startwerten zum exakten Winkeldrittel führen.  Hierbei sind die in der Antike gefoderte Beschränkung der Werkzeuge  auf Zirkel und strichloses Lineal eingehalten. 
Wir behaupten, die Lösung der Aufgabe, eine beliebige Winkelgröße zu dritteln,   ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald  das Wissen zur  Quantisierung (heute wird hier meist von Digitalisierung gesprochen) einbezogen wird.  So wissen wir auch,  für  beliebig große  zu drittelnden Winkel gibt es  keine vollständige quantisierte klassich konstruierte Größendarstellung ohne Restfehler. Diese Tatsache trifft damit auch auf die vom  Startwinkel abgeleiteten 1/3-Winkel zu. 
Wir wissen auch, dass ein exakter Grenzprozess   zum Winkeldritteln  den gedachten endlosen  Umfang der Operationen  nicht   vollständig abarbeiten kann.   Bleibt die Frage, führen unsere konstruierten Grenzprozesse tatsächlich, wenn sie endlos fortgeführt werden könnten, zum erwarteten vollständigen Größenabbild des Winkeldrittels? Nach den Schlüssen, welche  aus dem wantzelschen Beweis gezogen werden, gibt es keine zutreffenden Zusammenhänge, die allein mit Kreis- und Gerade-Objekten auskommen. Daher stempelt die "amtliche Mathematik" solche Versuche ohne jede weite Überprüfung als falsch ab. Heute wird dazu gelehrt, für die Überwindung des Unmöglich-Problems  brauche es zusätzliche Hilfsmittel, die über Kreis- und Gerade-Kurve hinaus gehen. So kann bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels   dazu nachgelesen werden:  
 
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien und Werkzeugen, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden"
Diese Sichtweise schafft Verwirrung, denn auch der analoge Neusis-Prozess schafft die endlos genaue Verschiebung mit einem quasi endlos kleinen Schritt nicht real, sondern nur in Gedanken. Solange hier keine Grenzprozesse zugelassen sind, sind auch die analogen  Neusis-Prozesse   keine strenge Lösung zum Winkeldrittelproblem.  Was dann weiter zu lesen ist, lenkt vom Kernprolem des Winkeldrittelns ab, das Halbieren und das Dritteln habe das  gleiche Prinzip des Zusammenhangs zur Grundlage, was offenbar nur teilweise stimmt?: 
"In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal."
Tatsache ist, zwei Winkelhalbe gibt es nach  einer Verzweifachung, sowie auch nach einer Zwei-Teilung. Drei  Winkeldrittel gibt es nach einer Verdreifachung, sowie auch nach einer Drei-Teilung.
 
 
Cchaerentic-Sichtweise
Was   wird mit der Cohaerentic-Sichtweise angestrebt?  Es sind  anschaulich zugleich logisch nachvollziehbare exakt zutreffende  Rechenzudammenhänge. Auch solche, die stringent dem Winkelldrittel zustreben und dabei eine anschaulich  nachvollziehbare   Konvergenz aufweisen. Unser gefundenes  Ergebnis  überrascht sehr. Schon mit weniger als 20 kohärent konstruierten Kreis und Gerade-Objekten  wird ein für alle praktischen Aufgaben ausreichend genaue reproduziebare Darstellung der Ergebnisgröße erreicht, deren Fehler im subatomaren Bereich liegt. Die Größenodrnung für ein Atom liegt bei 10-10 m.  
Wir  geben uns hier mit einer letztlich  praktisch immer genauer erzeugbaren  und nur gedanklich vollständig erzeugten  exakten Winkeldrittelgrösse  zufrieden. Bei diesem Sachverhalt  ist es angebracht   sich   an Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und auch an Hilbert(1862-1943) zu erinnern. Deren   definierte   Zusammenhänge  für die Geometrie-Grundlagen sind rein gedanklich  abtrahierte Konstrukte, welche von der Erfahrung mit realen Objekten ausgehen. Wir sehen deshalb unser angestrebtes Winkeldrittel-Ergebnis als erreicht, da unsere Prozessbeschreibung mit den nachvollziehbar kohärenten Objekten von Kreis und Gerade  bis zum endlos fernen Schritt reicht.  Dabei spielen Wiederholungen von Teilsequenzen eine wichtige Rolle.  Wir sehen es als unzutreffend  und verwirrend an, die exakten Grenzprozesse zum  Winkeldritteln als  falsch und als das Ziel doch nicht erreichende Näherungsprozesse  darzustellen. Ganz im Widerspruch dazu steht, daß mit  immer höherer Quantisierung ein immer kleinerer   Quantisierungsfehler erzielt wird. Wegen dieses Sachverhaltes ist es schon seit der Antike sinnlos und falsch,  für das Winkeldritteln  nach einem klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen, der schon nach endlich vielen logisch zusammensetzenden Schritten eine diskrete, vollständig konstruierte Darstellung der Lösungsgröße  ohne Restfehler erzeugen soll.
 
Wir fragen hier, warum wurde in der Antike  das Wissen zum Quantisierungsfehler ausgeblendet? Waren die ererbten Erwartungen auf ganze Zahlen gerichtet? Offenbar fehlte einfach noch das besagte Wissen zur Quantisierung? 
Unsere Cohaerentic-Sichtweise gibt sich mit einem praktikablen immer weiter verringerbaren Quantisierungsfehler  zufrieden, so auch beim  klassisch konstruierten Winkeldritteln. Die tatsächlich zu lösende Aufgabe war und ist es hier,  nach  best effizienten   Lösungswegen zu forschen.  Schon in der Antike wäre es sinnvoll und richtig gewesen  nach einem solchen klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen. Anstelle dessen wurde zu klassich konstruierten Grenzprozessen  immer mehr ein Denkverbot  aufgebaut und praktiziert.  Es fehlte offenbar die motivierende Erwartung.   Daran hat sich offenbar, bis auf das hier abweichende Interesse der Amateure, bis heute nicht viel geändert.
 
 
Konstruktion zum Winkeldritteln nach Archimedes (287-212 v.u.Z.)  
Zur Abgrenzung zu den eingangs beschriebenen digitalen Neusis-Grenzprozess   sprechen wir hier bei der Archimedes-Konstruktion  von einem  mechanisch analogen Neusis-Prozess, welcher  heute der wohl bekannteste    ist.    Er ist aber  nicht die älteste.  Das  folgende  Bild zeigt die Neusis-Konstrktion  vom Prinzip her. 
Archimedes Lineal WDT
 
Archimedes (287-212 v.u.Z.) erkannte, die Aufgabe ist exakt gelöst, wenn er seine konstruierten Dreiecke in eine gleiche  Gestalt zur Zielgestalt-Konstellationen aus den zwei aufeinander folgenden gleichschenkligen Dreiecken bringt, wie sie das kleine Bild, links oben im großen Bild, zeigt. Die zur Deckung gebrachte Konstruktion erfüllt den exakten 3-er Winkelzusammenhang. Um dies zu erreichen, fügte Archimedes  dem  Lineal zwei Striche hinzu bzw.  die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) mit einem   Abstand von der Radiusgröße = /M,S(XxK)/. Wird das  auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt  es eine Drehung  gegenüber    X- und Y-Achse. Der   gesuchten exakte  Drittelwinkel ist erreicht, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt. Real kann dies aber nie vollständig erreicht werden, sondern nur gedanklich.   Für die angestrebte Gestalt-Übereinstimmung müssen die aufeinander folgenden zwei Dreiecke  jeweils  Schenkel-Seiten  mit gleicher Größe erreichen.  Die Betrachtungsrichtung für die Dreieckfolge bestimmt,  ob ein Vervilefachen zum Großen hin oder ein  Vervielfachen zum Kleinen hin erfolgt.  
 
 
Parabel-Konstruktion zum Winkeldritteln nach   Descartes (1596-1650)  

Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel  ∠PON  und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT,  ∠TOQ  und  ∠QON  zu  erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis behindert. Si ist aus dem linken Teilbild heraus kein  Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen.  Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia unter Suchwort Dreiteilung des Winkels sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung  ist dabei nur  kurz erwähnt. Sein  obiges Bild ist ganz weggelassen. Es  bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Gegenüber den bei Wikipedia anderen ausführlich abgehandelten Lösungsversuchen   ist die  Bedeutung des exakten descartschen Lösungsprozesses  offenbar nicht erkannt.

 

 
 Die Ansätze zu den umfassenderen  Dreier - Winkelzusammenhang finden wir schon in  Rene Descartes (1596-1650) Buch "Geometria", welches      im Jahre 1637 veröffentlicht wurde.
Wantzel kannte offenbar das Buch "Geometria" von Descartes nicht, denn in seinen Betrachtungen zum unmöglichen Winkeldritteln kommt er zu der Einsicht, erst eine Gleichung vom dritten Grad beschreibe  den Winkeldrittel-Zusammenhang exakt. Das Problem sei nicht auf eine Gleichung vom 2. Grad rückführbar.  Daher sei eine Auflösung  mit  einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten  unmöglich. Diese Argumentation findet sich auch bei heutigen verkürzten "Unmöglich"-Beweisen, die für einen zu drittelnden Winkel vom konstruierbaren Winkel von 60 Grad geführt werden. (D.Laugwitz, Eine elementare Methode für die Unmöglichkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, In Elemente der Mathematik, 17 / 1962 S 54...). Diese Argumenten  widerspricht der von Descartes beschriebene Konstruktion zum exakten Winkedritteln, welche   mit einer Parabelkurve  vom 2. Grad auskommt.  Heute gilt in der Fachwelt,  die descartsche Lösung sei zwar ein exakter Lösungszusammenhang mit leztlich nur endlich vielen Schritten. Sie verstösse aber mit einer  vorab gegebenen Parabel (Schablone)   gegen  die geforderte Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und Lineal. Heute wisse wir,  alle Punkte einer quadratischen Parabel sind allein nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis- und Gerade-Objekten klassich konstruierbar.  Daß die quadratische Parabelkurve vorab als unzulässiges Hilfswerkzeug "Schablone" gegeben sein muß, fällt somit heute weg. Unsere  folgende Konstruktion, die später noch ausführlich betrachtet  wird,  zeigt hierzu eine vollständige  klassiche Konstruktion. Bereits nach  wenigen Schritten sind  drei aktuelle Parabelpunkte für den Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisbereich konstruiert,  welcher die Kreiskurve k3 schneidet. Auch hier wird  wird bereits mit einer überschaubaren Anzahl konstruierter Objekte ein aktueller Quantisierungsfehler im subatomaren Grössenbereich erzielt.
 
Wie wird die Fachwelt dazu argumentieren?  Dieser fehlerfreie  Lösungsprozeß sei zwar  sehr interessant,  aber doch  nicht  unsere  erwartete  Lösung. Es wird  eine fehlerfreie Größendarstellung des Winkeldrittels erwartet. Manchmal wird hier sogar behauptet, da  das erwartete Ergebnis mit endlich vielen Schritten nicht erreicht wird, müsse der Lösungsweg falsch sein, was nicht zutrifft. 
Die  vorgezeigten   Cohaerentic-Lösungsprozesse sind als klassisch klassich konstruierte Grenzprozesse  überraschend praktikabel. Die konstruierte  Ergebnisgröße  Winkeldrittel   ist hier der Grenzwert einer unendlichen Konstruktion und kann mit dieser  beliebig genau konstruiert berechnet werden.  
 
 
 

 

Paradoxe Situation 

Die drei klassischen Aufgaben der Antike,  die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens  berühren  Zusammenhänge grundsätzlicher  Berechungsprozesse. Diese werden erst durch  klassische Konstruktionen voll nachvollziebar.  Eine sehr fundamentale Aufgabe liegt dem folgenden konstruierten  Berechnen zugrunde: 

"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Verhältnis von Drehungen ist  in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis   überzuführen  und umgekehrt." 

Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis  mit dem Rad, dessen   Abrollweggröße für eine Umdrehung  interessiert? Ähnlich ist es mit  der länge eines  Seils, das  von einer  drehenden  Seiltrommel  abrollt.

Eine fundamentale Einsicht ist:

Für beliebig gegebenen Ausdehnungsgrößen  gibt es keine vollständig exakt abbildende Zahl, die nur endlich viele  wahren Nachkommastellen umfasst.

In der   frühen Antike ist die Erwartung , "alles ist Zahl". So werden  immer  diskrete  Ergebnisgrößen-Darstelliungen erwartet. Solche, die  nur durch endlich viel   konstruierte  Kreis-/Gerade-Objekte  erzeugt werden.    Verwirrend wird  es hier für die Lernenden, wenn die Größe des Kreisverhältnisses  π gleich der Kreiszahl gesetzt wird. Dies  widerspricht er obigen allgemeinen Einsicht. Eine reale Zahl als Größendarstellung für das Kreisverhältnis bleibt immer nur ein unvollständiges Größenabbild. Die Gleichsetzung von Kreisverhältnis und Kreiszahl birgt somit einen Widerspruch in sich. Aktuelle diskrete Kreiszahl-Abbilder sind entweder beschränkte oder unbeschränkte Näherungsdarstellungen, je nachdem,   ob sie aus einem   beschränkten oder unbeschränkten Erzeugungsprozeß hervorgehen.  Ein beschränkten Erzeugungsprozeß kann nur  eine bestimmte beschränkte Ergebnisgenauigkeit liefern. Diese kann  nicht weiter verbessert werden. Ein unbeschränkter Erzeugungsprozeß ist ein exakter Prozeß, bei dem mit mehr Aufwand die Ergebnisgenauigkeit immer  weiter verbessert werden kann, zumindest theoretisch.

 Ähnlich ist es mit der exakten Winkeldrittelgröße, die auch nur   mit   unendlich vielen Grenzprozeß-Zyklen (Schritten) vollständig ohne Restfehler dargestellt werden kann, was aber in der Wirklichkeit niemals erreicht wird. Und so mündet auch jedes Ausmessen des Kreisunfangs mittels arithmetischem oder konstruiertem  Berechnen des Kreisverhältnisses   in einem klassisch konstruierten endlosen Grenzprozeß.  

 
Trisections-Jäger
Die Aufgabenstellung zur Dreiteilung des Winkels kann einfach verstanden werden und ist damit  auch Amateuren zugänglich. So suchen Amateure trotz mathematisch bewiesener Unmöglichkeit einer Winkeldrittelkonstruktion weiterhin nach klassisch konstruierten Lösungen. Was sie vorzeigen bezeichnen sie oft auch als  exaktes Verfahren eines konstruierten Berechnens. Ihre Näherung nennen sie oft besonders effizient. Hier kommen  Trisektions-Jägern ins Spiel, welche die falschen Winkeldreiteilungen der Amateure aufdecken und  hier und da  auch etwas belustigende  Beurteilungen zu den Lösungsversuchen abgeben. Alles   mündet darin, daß wegen der "Unmöglich-Beweise"   alle  vorgezeigten Versuche ohne einzele Nachprüfung mit falsch abgetan werden.   Es werden sogar Fahndungshinweise   gegeben, woran   naive und uneinsichtige Trisezierer  und Kreis-Quadrierer zu erkennen sind und wie  man  durch   Nichtbeachten  mit ihnen umgeht. Hier fällt auf, daß   bei den Trisections-Jägern   auch die klassisch konstruierten exakten Lösungsverfahren, wie das Parabel-Winkeldritteln von   Descartes und das Halbierungs-Winkeldrtteln von Fialkowski   unbetrachtet und unbeachtet bleiben.  So werden bis heute konstruierte Grenzprozeß-Verfahren nicht erwartet, wohl auch wegen der notwendigen  endlos vielen Schritte bis zum brauchbaren Grenzpunkt-Ergebnis, die   unmöglich alle ausgeführt werden können.    
 
 
 

Winkeldreiteilen mit Ellipse

 
Winkeldreiteilen mit gezeichneter, aber auch ohne gezeichnete Hyperbel
Ausgangspunkt für das Verstehen des Winkeldrittelzusammenhangs ist wieder die konstruierte Zielgestalt aus zwei gleichgroßen gleichschenkligen Dreiecken,  rot und grün, wie es das Bild zeigt. Dabei wird vom gegebenen, von A ausgehenden  Radiusstrahl des zu dtrittelnden Winkels ausgegangen. Aus Symmetriegründen kann der Neusis-Schiebeprozeß primär mit Punkt T auf der X-Aches und symmetrisch nachfolgend mit Punkt Z erfolgen oder auch umgekehrt.
Wie der manuell schwierige Schiebeprozeß als Sequenz klassich konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte im Einzelnen ausgeführt wird, haben wir  bereits weiter oben schon beschrieben.  
 
 
Was wirkt sich  noch auf das Verständnis zu konstruierten Grenzprozesse aus?
Die im  Wikipedia-Lexikon praktizierte  Sichtweise, die Neusis-Konstruktionen  als exakte vollständigen Lösungsweg zu betrachten,  übertragen wir auch auf unsere "klassisch konstruierte" Kreuzschleifen-Winkeldreiteilung. Den letzten notwendigen  Schritt bis zum exakten Ergebnis vollziehen wir nun auch, wie bei den bekannten originalen Neusis-Prozessen,  gedanklich. 
Wir erkennen auch, den Rechenoperationen des Teilens geht immer erst ein entsprechendes Verfielfachen voraus. Eines das quasi die Zielgestalt erzeugt, wie auch bei den Teilungen mit dem Strahlensatz.  
Die heute praktizierte Beschränkung auf Winkeldrittelkonstruktionen mit nur endlich vielen Schritten ist nicht zu rechtfertigen, denn   eine solche Beschränkung gibt es nicht für das  algebraisch-arithmetischen Berechnen der   Dezimalzahl-Darstellung 0.333...!
Als Grund für die fefoderte Beschränkung wird oft angeführt, daß das Teilen  eines Winkels durch 2 oder 4 usw.  mit einer endlichen Sequenz  konstruierter Objekte doch möglich sei. Deshalb könne doch erwartet werden, daß auch das Dreiteilen eines Winkels mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekten möglich sein müsse.
Der  im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel (1814-1884) veröffentlichte Beweis zur Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels verbessert hier die Situation nicht wirklich. Die  wanzelsche Beweiseinsicht ist, die erwartete Ergebnisgröße könne  keine konstruierbare Zahl sein.  Richtig. Aber warum ein mit Kreis und Gerade-Objekten konstruierter Lösungsweg, wie immer er auch gestaltet sei, immer nur falsch sein könne und kein gesetzmäßiges Konvergieren  zum exakten Ergebnis möglich sein soll, bleibt unbetrachtet?
 
Die Problematik des  fehlerbehafteten  Größen-Darstellens einer beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße  ist von allgemeiner Natur und trifft daher auch auf die anderen beiden klassichen Aufgabenprobleme der antiken Geometrie zu. Die häufig zitierten  Näherungskonstruktion für das Kreisverhältnis π  von Adam Kochanski (1631-1700) erreicht  nach einer endlichen Sequenz  konstruierter  Kreis- und Gerade-Objekte  eine Ergebnis-Genauigkteit mit 4 wahren dezimalen Nachkommastellen. Diese  Näherungsgenauigkeit kann durch mehr konstruierte Objekte  zu keiner höheren Ergebnisgenauigkeit  für die Kreiszahl gelangen.
Für das vollständige Abbild des Kreisverhältnisses π hat die Mathematik  die Kreiszahl als Idee erfunden. Ihr wird gleichfalls wie dem Kreisverhältnis das abstrakte  Buchstabensymbol π zugewiesen. Tatsächlich kann es hier aber immer nur eine digitalisierte Größe  Kreiszahl  πZahl.   geben, welche die exakte Größe des Kreisverhältnisses π  mit der Darstellungssystematik der Dezimalzahlen immer nur unvollständig  abbildet.    Deshalb ist es nicht ganz korrekt, wenn  folgendes   Gleichsetzen vorgenommen wird:    
Kreisverhältnis  π = Kreiszahl  =  πZahl.     
Zutreffender  wäre es hier,  
Kreisverhältnis πgenähert  = Kreiszahlgenähert  πZahl   
oder   
Kreisverhältnis π  = Kreiszahl  π∞      
zu schreiben.
Zu weiteren Erklärungen zur Problematik "Alles ist Ansichtssache" und   konstruierte  Grenzprozesse  wird   auch auf den Disput unter https://www.matheboard.de/archive/596651/thread.html verwiesen.
 
 
 
 
 
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