Einführung
Bei Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels lesen wir sinngemäß, vom französischen Mathematiker
Pierre Wantzel (1818-1848) wurde im Jahre 1837 der erste mathematische Unmöglich-Beweis für eine Lösungssequenz aus Kreis- und Gerade-Objekten veröffentlicht. Nun hatte sich die uralte Vermutung zu einem der alten klassischen Probleme der Geometrie bestätigt. Die klassische Konstruktionen nur mit mit Zirkel und Lineal bzw. einer Sequenz von Kreisen- und Gerden-Objekten gilt seitdem als unmöglich. Neuerdings gibt es dazu aber Zweifel, denn eine mit einer Sequenz aus Kreis- und Gerade.Objekten klassisch konstruierter Grenzprozess zum Winkeldritteln führt tatsächlich autokonvergent mit jeder weiteren Iterationsschleife zu einem verbesserten Zwischenergebnis und mit endlos vielen Iterationszyklen zum exakten Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt, ohne diesen real, sondern nur in Gedanken zu erreichen. Damit sind exakte Grenzprozesse des Winkeldrittelns möglich.
Wantzel´s "Unmöglich-Beweis" deckt somit allein die
nicht vollständig konstruierbare
Größendarstellung des Winkeldrittels ab. Die Problematik der
nicht vollständig konstruierbare
Größendarstellung ist auch für das Ausmessen, die
Quantisierung einer Größe, bekannt.
Konstruierte Grenzprozesse realisieren ein Zustreben auf die Zielgestalt des Winkeldrittelzusammenhangs
Mit unseren folgenden Konstrktionen zeigen Zielgestalten des 3er-Winkelzusammenhangs, die einen
einen gesetzmäßigen 3er-Winkelzusammenhang ausweisen, von einem beliebig gegebenen Winkel und seinem Winkeldrittel und umgekehrt. Dabei kommen obige Konstruktion mit endlich vielen zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten aus. Je nach Betrachtungsrichtung vom Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) zum dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke), oder umgekehrt, vom dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrcke) zum Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) gibt es hier eine exakte Verdreifachung oder eine Drittelung. Die allgemein bekannte Verdreifachung eines Winkels durch zwei gleichgroße aneinander gereihte Kreise auf der Kreislinie begründet hier nicht den systematischen 3er-Winkelzusammenhang. Es ist die Sequenz der zusammenhängenden Kreis- Gerade-Objekte. Mit Drehung der grünen Radiusstrecke gleitet der rote Kreuzschleifenbalken, der die Größe vom Grundkreis-Durchmesser hat, mit seinen beiden Endpunkten auf den X- und Y-Achsgeraden. Sein Mittelpunkte M zeichnet dann als Spurkurve den Grundkreis um Mittelpunkt U.
Bei den folgenden Bildern wird die Abstraktion noch weiter zu einer "Streckenzug-Zielgestalt" geführt, die einen Winkel und seinen verdreifachten Winkel umfasst. Der besagte systematische Zusammenhang ist nun auch auch über eine Umdrehung (einen Vollwinkel) hinaus vorhanden und nachvollziehbar. Für die "Streckenzug-Zielgestalt" gilt:
Ein 3er-Winkelzusammenhang ist dann gegeben, wenn ein zusammenhängender
schwarzer Streckenzug im Kreisinnern aus zwei Paaren
paraller Strecken besteht.
Über das Problem der Unmöglichkeit des konstruierten Winkeldrittelns
Im weiteren bleibt hier unbetrachtet, wo ein geometrisch nachvollziehbarer Grund zum "Unmöglich" liegt:
a) bei fehlendem oder gar unmöglichem Wissen, wie die zielführenden Sequenzen konkret zusammengesetzt werden müssen, damit eine Konvergenz hin zum Winkeldrittelpunkt entsteht
oder liegt er bei
b) bei Zeit- und Aufwandgründen, so dass deshalb nicht alle Sequenzschritte bis zum Zielpunkt = Winkeldrittelpunkt ausgeführt werden können?
oder liegt er beim
c) allgemeinen Quantisierungsproblem, wonach eine beliebige Quantifizierungsgrösse, wie die zu drittelnde Winkelgrösse, nicht mit einer endlichen Sequenz ohne Restfehler in ihrer Größe modellierend abgebildet werden kann?
Im aktuellen Beitrag werden wir neben bekannten Versuchen historischer Winkeldrittelungen, Weiterentwicklungen auch neue, mit konstruierten Grenzprozessen ausgeführte Winkeldrittelungen vorstellen. Die folgenden Bilder zeigen dazu konkrete im ersten Quadranten ausgeführte Winkeldrittelungen. Diese streben mit einer autokonvergenten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (g2; k3 usw.) der jeweiligen Zielgestalt mit exakten Winkeldrittelpunkt zu.
Im linken Bild wird das bekannte analoge Neusis- Einpass-Schieben der halben Kreuzschleifenbalken-Strecke durch einen digitale "Neusis-Prozeß" mit konstruierter Sequenz aus Kreis-Gerade-Objekten ersetzt. Der halbe Kreuzschleifenbalken wird zwischen Y-Achse und Kreislinie dabei so Schritt um Schritt eingepasst, dass dabei als Ziel-Gestalt die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen. Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs eingepasst. Die Abläufe dieser beiden Winkeldrittel- Grenzprozesse konvergieren unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt. Rechts wird bereichts nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Übereinstimming des verdreifachten Ergebniswertes (rote Winkelzahl) mit dem Startwinkelwert (schwarze Zahl) von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Hingegen werden links mit dem weniger stark konvergierenden Grenzprozess erst nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen 3 wahre Nachkommastellen erzielt. Beide Grenzpozess-Winkeldreilungen sind autokonvergente Grenzprozesse, die allein mit den Urkurven Kreis und Gerade von beliebig großen Startwerten zum exakten Winkeldrittel führen. Hierbei sind die in der Antike gefoderte Beschränkung der Werkzeuge auf Zirkel und strichloses Lineal eingehalten. Später werden wir die Zusammenhänge zu diesem Winkeldritteln noch umfangreicher erklären.
Wir behaupten, die Lösung der Aufgabe, eine beliebige Winkelgröße zu dritteln, ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald das Wissen zur Quantisierung (heute wird hier meist von Digitalisierung gesprochen) einbezogen wird. Wir wissen, für beliebig große zu drittelnden Winkel gibt es keine quantisierte reproduzierbar klassich konstruierte Größendarstellung ohne Restfehler und damit auch nicht für einen vom Startwinkel abgeleiteten 1/3-Winkel.
Wir wissen auch, ein exakter Grenzprozess zum Winkeldritteln kann vom Prinzip her den endlosen Umfang der Operationen nicht vollständig abarbeiten. Bleibt die Frage, führen unsere konstruierten Grenzprozesse tatsächlich, wenn sie endlos fortgeführt werden könnten, zum erwarteten vollständigen Größenabbild des Winkeldrittels? Nach den Schlüssen, welche aus dem
wantzelschen Beweis gezogen werden, soll es hier keine zutreffenden Zusammenhänge geben können, die allein mit Kreis- und Gerade-Objekten auskommen. Daher wird hier angenommen, entsprechende Versuche können daher nur falsch sein! Für die Überwindng des Problems brauche es zusätzliche Hilfsmittel, die über Kreis- und Gerade-Kurve hinaus gehen. Bei Wikipedia
https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels kann dazu nachgelesen werden:
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien und Werkzeugen, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden"
Und weiter ist zu lesen.
"In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal."
Was streben wir im Rahmen der Cohaerentic-Sichtweise an? Es sind exakt zutreffende Grenzprozessverläufe, die stringent dem Winkelldrittel zustreben und dabei eine anschaulich nachvollziehbare Konvergenz aufweisen. Sehr überrascht hier, daß schon mit weniger als 20 kohärent konstruierten Kreis und Gerade-Objekten ein für alle praktischen Aufgaben ausreichend genaue reproduziebare Darstellung der Ergebnisgröße erreicht wird, deren Fehler im subatomaren Bereich liegt. Die Größenodrnung für ein Atom liegt bei 10-10 m. Mehr dazu wird später noch ausführlich dargelegt.
Wir geben uns hier mit einer letztlich praktisch immer genauer erzeugten und gedanklich vollständig erzeugten exakten Winkeldrittelgrösse zufrieden. Bei diesem Sachverhalt ist es angebracht sich an Euklid(ca. 330 v.u.Z.) und auch an Hilbert(1862-1943) zu erinnern. Deren geometrisch definierte Zusammenhänge für die Geometrie-Grundlagen sind rein gedanklich abtrahierte Konstrukte, welche von der Erfahrung mit realen Objekten ausgehen. Wir sehen deshalb unser angestrebtes Winkeldrittel-Ergebnis als erreicht, da unsere Prozessbeschreibung mit den nachvollziehbar kohärenten Objekten von Kreis und Gerade bis zum endlos fernen Schritt reicht. Dabei spielen Wiederholungen von Teilsequenzen eine wichtige Rolle. Wir sehen es als falsch und verwirrend an, die exakten Grenzprozesse zum Winkeldritteln als falsch und als das Ziel doch nicht erreichende Näherungsprozesse darzustellen, obwohl damit bei immer höherer Quantisierung ein immer kleinerer Quantisierungsfehler erzielt wird. Wegen dieses Sachverhaltes ist es schon seit der Antike sinnlos und falsch, hier nach einem klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen, der schon nach endlich vielen logisch zusammensetzenden Schritten eine diskrete, vollständig konstruierte Darstellung der Lösungsgröße ohne Restfehler erzeugen soll.
Wir fragen hier, warum wurde in der Antike das Wissen zum Quantisierungsfehler ausgeblendet? Waren die ererbten Erwartungen auf ganze Zahlen gerichtet? Offenbar fehlte einfach noch das besagte Wissen zur Quantisierung?
Unsere Cohaerentic-Sichtweise gibt sich mit einem praktikablen immer weiter verbesserbaren Quantisierungsfehler zufrieden, so auch beim klassisch konstruierten Winkeldritteln. Die tatsächlich zu lösende Aufgabe war und ist es hier, nach best effizienten Lösungswegen zu forschen. Schon in der Antike wäre es sinnvoll und richtig gewesen nach einem solchen klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen. Anstelle dessen wurde zu klassich konstruierten Grenzprozessen immer mehr ein Denkverbot aufgebaut und praktiziert. Es fehlte offenbar die motivierende Erwartung, daß es anschaulich nachvollziehbare Lösungszusammenhänge für den 3er-Winkelzusammenhang geben könne. Daran hat sich offenbar, bis auf das abweichende Interesse der Amateure, bis heute nicht viel geändert.
Historischer und neue effiziente Winkeldrriteilungen WDT
Die Problematik des klassisch konstruierten Winkeldrittelns ist eines der ältesten und häufigst durchdachten Geometrie-Probleme und reicht bis in die Antike zurück. Auch heute gibt es dazu von Amateuren immer noch neue Lösungsversuche. Diese gibt es trotz der hierzu allgemein akzeptierte mathematische Beweise zur Unlösbarkeit. Die heute allgemein akzeptierte „Unmöglich-Einsicht“ für ein klassisch konstruiertes Winkeldritteln stützt sich insbesondere auf einen im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker P. Wantzel (1814-1884) veröffentlichten Beweis, der gegenüber den Beweisführungen aus den alten Griechenland als modern gilt, weil dieie Beweis-Grundlage nicht mehr ein klassisch geometrisches Konstruktionswissen ist, sondern algebraisches Zusammenhangwissen. Zu seiner Einsicht gelangt Wantzel mit Zahlen als Rechengrößen. Er gelangt zur Einsicht, es könne keine klassiche Konstruktion zur vollständigen Darstellung der Größe des Winkeldrittels geben. Diese Einsicht deckt sich in gewisser Weise mit dem allgemein bekannten, oben bereit dargelegten Sachverhalt zur Quantisierung, wonach keine beliebig gegebene Strecken- oder Winkelgröße mit einer klassisch konstruierten Zahl vollständig in seiner Größe dargestellt und abgebildet werden kann. Daraus kann aber nicht gefolgert weden, daß exakte, gesetzmäßige Lösungsprozesse nicht vollständig als klassisch konstruierte Grenzprozesse beschrieben werden können und in der theoretischen unendlichen Prozeß-Abarbeitung zur wahren Winkeldrittelgröße führen.
Dreier Winkelzusammehang
Bei den vielen Erklärungen und Würdigingen des wantzelschen Beweises entsteht der Eindruck, die exakten 3er-Winkelzusammenhänge im euklidischen Raum seien erst mithilfe algebraischer Zusammenhängen nachvollzieh- und lösbar.
Unsere folgend gezeigten Bilder zeigen einen weiteren dazu widersprüchlichen und überraschenden Sachverhalt zum 3er-Winkelzusammenhang.
Der 3er-Winkelzusammenhang ist umfassender als es die bekannten Betrachtugen zum vielfältigen Winkeldritteln bei Wikipedia unter "Dreiteilung des Winkels" wiedergeben. Die Winkel in einem Viertelkreis, Halbkreis und Kreis hängen, wie gezeigt, untereinander zusammen und sind Teil eines Gesamtsystems. Die Bilder zeigen, ist einer der drei Winkel gedrittelt, sind es die anderen bis zu den Quadrantenenden quasi auch. Infolge gegebener Symmetrie sind dann auch die Winkeldrittel in der anderen Kreishälfte gegeben. Die Ansätze zu den umfassenderen Dreier - Winkelzusammenhang finden wir in Rene Descartes ( 1596-1650) Buch "Geometria" bei den Betrachtungen zum Winkeldritteln mit Hilfe einer schon gegebenen quadratischen Parabelkurve. Das Buch "Geometria" wurde im Jahre 1637 veröffentlicht.
Wantzel kannte offenbar das Buch "Geometria" von Descartes nicht. In seinen Betrachtungen zum unmöglichen Winkeldritteln kommt er zu der Einsicht, erst eine Gleichung vom dritten Grad beschreibe den Winkeldrittel-Zusammenhang exakt. Das Problem sei nicht auf eine Gleichung vom 2. Grad rückführbar. Daher sei seine Auflösung mit einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten unmöglich. Diese Argumentation findet sich auch bei heutigen verkürzten "Unmöglich"-Beweisen, die für einen zu drittelnden Winkel vom konstruierbaren Winkel von 60 Grad geführt werden. (D.Laugwitz, Eine elementare Methode für die Unmöglichkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, In Elemente der Mathematik, 17 / 1962 S 54...). Diese Argumenten widerspricht der von Descartes beschriebene Konstruktion zum exakten Winkedritteln, Sie kommt mit einer Parabelkurve vom 2. Grad aus. Ihre Punkte können, wie wir heute wissen, mit einer Sequenzen von Kreis und Gerade-Objekten konstriert werden. Heute gilt in der Fachwelt, die descartsche Lösung sei zwar ein exakter Lösungszusammenhang mit leztlich nur endlich vielen Schritten, er verstosse aber mit der vorab gegebenen Parabel (Schablone) gegen die geforderte Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und Lineal. Heute wisse wir, alle Punkte einer quadratischen Parabel sind allein nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis- und Gerade-Objekten klassich konstruierbar. Daß die quadratische Parabelkurve vorab gegeben sein muß, fällt heute als unzulässiges Hilfswerkzeug "Schablone" weg. Unsere folgende Konstruktion, die später noch ausführlich betrachtet wird, zeigt eine vollständige klassiche Konstruktion. Bereits nach wenigen Schritten sind drei aktuelle Parabelpunkte für den Parabel-Krümmungskreis k4 konstruiert, der im Ergebnisbereich die Kreiskurve k3 schneidet. Mit diesem Verfahren wird bereits ein aktueller Quantisierungsfehler im subatomaren grössenbereich erzielt.
Die rote Winkelgradzahl im Bild ist die verdreifachte Ergebniszahl und kann so leichter mit der Startzahl verglichen werden.
Wie wird die Fachwelt dazu argumentieren? Dieser fehlerfreie Lösungsprozeß sei zwar sehr interessant, aber doch nicht die erwartete Lösung. Es wird eine fehlerfreie Größendarstellung des Winkeldrittels erwartet. Manchmal wird hier sogar behauptet, wenn das erwartete Ergebnis nicht erreicht wird, müsse der Lösungsweg falsch sein. Die Forderung nach Einhaltung der "antiken" Beschränkungen ist schon ziemlich verwirrend.
Die vorgezeigten Cohaerentic- Lösungsprozesse sind als klassisch klassich konstruierte Grenzprozesse überraschend praktikabel. Die konstruierte Ergebnisgröße Winkeldrittel ist hier der Grenzwert einer unendlichen Konstruktion und kann mit dieser beliebig genau konstruiert berechnet werden. Später wird mehr bei den einzelnen Lösungsverfahren mitgegteilt.
Analoge Neusis-Konstruktion zum Winkeldritteln nach Archimedes (287-212 v.Chr.)
Als Abgrenzung zu den eingangs beschriebenen digitalen Neusis-Konstruktionen sprechen wir hier von einer machanisch analogen Neusis-Konstrktion. Die heute wohl bekannteste Neusis-Konstrktion ist die von Archimedes (287-212 v.Chr.). Sie ist aber nicht die älteste. Das folgende Bild zeigt sie vom Prinzip her.
Archimedes (287-212 v.u.Z.) erkannte, die Aufgabe ist exakt gelöst, wenn er seine Lösungssequenz der konstruierten Dreiecke in eine gleiche Gestalt zur Zielgestalt-Konstellationen aus zwei aufeinander folgenden Dreiecken bringt, wie sie das kleine Bild, links oben im großen Bild, zeigt. Die zur Deckung gebrachte Konstruktion erfüllt den exakten 3-er Winkelzusammenhang. Um dies zu erreichen, fügte Archimedes dem Lineal zwei Striche hinzu bzw. die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) mit einem Abstand von der Radiusgröße = /M,S(XxK)/. Wird das auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt es eine Drehung gegenüber X- und Y-Achse. Der gesuchten exakte Drittelwinkel ist erreicht, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt. Real kann dies aber nie vollständig erreicht werden, sondern nur gedanklich. Für die angestrebte Gestalt-Deckung müssen die aufeinander folgenden zwei Dreiecke jeweils Schenkel-Seiten mit gleicher Größe erreichen.
Die Betrachtungsrichtung für die Dreieckfolge bestimmt, ob ein Vervilefachen zum Großen hin oder ein Vervielfachen zum Kleinen hin erfolgt.
Das folgende Bild zeigt die 3-er Zusammenhang-Gesetzmäßigkeit mit aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecken gleicher Seitenlänge. Es entsteht dabei eine Winkelfolge mit n Winkeln der Winkelsumme s=n*α. Die Dreieckfolge endet bei der Archimedes-Lösung bei zwei Dreiecken. Sie kann aber wie gezeigt für endlos kleine Winkel α endlos fortgesetzt werden. Mit größer werden Winkelgrößen kehrt sich die Richtung der Dreieckfolge nach links um, dann wieder nacht rechts usw. immer häufiger, wodurch ein anschauliches Nachverfolgen erschwert wird.
Weiterentwicklung der Neusis-Konstruktionen
Die Neusis-Konstruktionen sind seit der Antike in unterschiedlichen Ausprägungen bekannt. Wir abstrahieren für diese Ausprägungen eine gemeinsames Kohärenzmodell, das wir Zielgestalt nennen. Hier ist die Zeilgestalt-Konstruktion eine Kreuzschleifen-Konstruktion.
Kreuzschleifen-Zielgestalt
Der rote Kreuzschleifenbalken von konstanter Größe gleitet mit seinen Endpunkten an den karthesischen Achsgeraden X un Y. Sein Mittelpunkt zeichnet den Grundkreis als Spurkurve um den Ursprungspunkt U des Systems. Dieses Kohärenzmodell beschreibt den 3-er Winkelzusammenhang auch über eine Umdrehung hinaus.
Die Position des roten Kreuzschleifenbalkens bestimmt den zu drittelnden Winkel. Der Punkt D1 des verdreifachten Winkels und der Punkt des gedrittelden Winkels auf der Kreiskurve sind immer durch einen Streckenzug aus 3 Strecken,Streckenzug-Zielgestalt, verbunden. Mehr dazu unter Streckenzug-Zielgestalt.
Bei den folgenden Bildern markiert die blaue Radiusstrecke=M,D den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke=M,C den gesuchten Drittelwinekl. Den zu beweisenden, quasi nachzuvollziehenden 3-er Zusammenhnang machen hier die beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke rot und grün anschaulich.
Unser Ziel ist es, das Verfahren der Winkeldreiteilung auf der Grundlage der Kreuzschleifen-Kohärenz so weiter zu entwickeln, das alle Aktionen nur noch als konstruierte Kreis- und Gerade-Objekte ausgeführt werden. Unsere Lösungskonstruktion strebt die Ziel-Gestalt der Kreuzschleifen-Konstruktion an und startet vom Punkt D aus, welcher den zu drittelnden Winkel markiert.
Beschreibung des Winkeldrittelns mit konstruierter Kreuzschleifen-Zielgestalt
Der rote Kreuzschleifen-Balken AB hat eine Länge vom Grundkreisdurchmesser = 2*ME und gleitet mit Punkt A auf der X-Achse und mit Punkt B auf der Y-Achse. Sein Mittelpunkt C bewegt sich dabei auf der Grundkreiskurve k1, bzw. zeichnet diese gedanklich als Spurkurve. Die dünne grüne Radiusstrecke MC markiert die Winkelgröße α =∠E,M,C und die dicke blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel 3α .
Winkeldrittelns mit konstruierter Streckenzug-Zielgestalt
Die folgenden zwei Bilder zeigen eine mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt verwandte Streckenzug-Zielgestalt. Der konstruierte Lösungs-Streckenzug soll am Ende mit seiner Gestalt mit der Zielgestalt der den Grundkreis innen berührender Streckenzüge AMBCD bzw.
A1M1B1C1D1 bestmöglich übereinstimmen. Dann verbindet der besagte Sreckenzug den einfachen Winkel α und den dreifachen Winkel 3α bestmöglich. Die erste und dritte Strecke AM und BC sowie zweite und vierte Strecke MB und CD sind zueinander parallel.
Um die angestrebte Übereinstimmung herbei zu führen, wird die rote Kreiszschleifen-Balkenstrecke CD solange Schritt um Schritt um Punkt D gedreht bis die abhängige sich drehende Strecke MB parallel zur Strecke DC ist. Beim folgenden Bildbeispiel ist der zu drittelnde Winkel größer einer Umdrehung. Er liegt im 5. Quadranten. Der verbindende Streckenzug besteht hier aus den vier gestrichelten roten Strecken.
Beim folgenden Bild bewegt sich der Balkenmittelpunkt C von Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Balkenstrecke mit ihren Endpunkten E und F an den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der zwei Paare paralleler roter Strecken im Kreis um M kann die hier natürlich vorhandene Dreierkohärenz für Winkel gut nach vollzogen werden.
Der Neusis-Prozeß erfordert ein Zurechtschieben bis zur vollständigen Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt, was nur theoretisch im Gedankenspiel erreicht wird. Daraus erwächst der Wunsch zu einem klassich konstruiertem Prozeß des "Zurechtschiebens" zu gelangen. Wünschenswert ist für diesen Ersatzprozeß, daß er nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert wird. Damit kann die in der Antike gefoderte Beschränkung auf Zirkel und Linieal bzw. Kreis und Gerade eingehalten werden.
Von der Antike bis heute sind in der Fachliterarur keine solche Lösungen zu finden. Sie werden auch bis heute nicht angestebt, denn sie werden nicht erwartet.
Kombiniertes Kohärenz-Modell zum Winkeldritteln
Im folgenden linken Bild sind zwei Zielgestalt-Konstellationen für die 3-er Winkelkohärenz miteinder kombiniert. Links gibt es die Zielgestalt als "Streckenzug im Kreisinnern mit "schwarzer Strecke= AM, dann folgen drei rote Strecken. Nach rechts orientiert verläuft der kombierten "Streckenzug "schwarze Radiusstrecke = AM dann rot - blau - blau".
Die rechte Konstruktion zeigt einen stark konvergierender Winkeldrittel-Grenzprozeß, der mit der Zielgestalt des Streckenzugs "schwarze Radiusstrecke= AM, dann rote, blaue und nochmal blaue SStrecke" arbeitet. Diese Konstruktion kann schon nach wenigen konstruierten Objekten mit Schnittpunkt S4(k3xg4) beendet werden, denn die Ergebnisgenauigkeit ist mit über 15 wahre Nachkommastellen bereits ausreichend groß. Zum Zweck eines leichten direkten Vergleichens der Ergebnisgenauigkeit wird der konstruiert errechnete Drittelwinkel vor dem Vergleichen verdreifacht. Dies leisten die, zwei roten Kreise mit ihren Mittelpunkten auf dem roten Kreis um Mittelpunkt M. Der vergrößerten Bereich um Punkt S4(k3xg4) wird mit nachfolgenden Bild gezeigt.
Beschreibung der Konstruktion:
Gegebene Objekte:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ
Die konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet.
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S6(g5×k6) und S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S8(g7×k8) und S8.1(g4×k8).
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8).
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnittpunkt S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert.
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten Drittelwinkel ∠AMD.
Grenzprozeß zum Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im Inneren des Grundkreises
Beim nachfolgendem Bild eines Grenzprozeß-Winkeldrittelns verläßt die konstruierte Sequenz der kohärenten Strecken-Objekte das Innere des Kreises nicht. Der Grenzprozeß, der stringent dem Grenzpunkt als Ergebnis zustrebt, hat die Eigenschaft "autokonvergent" zu sein. Autokonvergent beschreibt hier, daß keine probierenden Schritte erforderlich sind. Das folgenden Bild mit den laufenden Nummern an den Objekten zeigt einen gut verfolgbaren fortschreitenden Verlauf des mit den zwei Paaren paralleler Strecken konstruierten Grenzprozesses. Die Strecken 3 ; 7 ; 11 usw. drehen sich immer weiter in die Richtung der X-Achse bis sie zu dieser parallel laufen. Nun markieret der rechte Schnittpunkt mit den Grundkeis den gesuchten Winkeldrittelpunkt. Ein verkürztes Beenden des Grenzprozesses wird erreicht, indem durch die letzten drei Mittelpunkte der Streckenfolge 3; 7; 11 usw. der Kreis K20 konstruiert wird, welcher die Y-Achse im Punkt S(YxK20) schneidet. Durch diesen Punkt ist dann die gesuchte zur Y-Achse parallele Strecke gezeichnet, welche rechts mit ihrem Schnittpunkt mit dem Grundkreis den gesuchten Winkeldrittelpunkt markiert. Die Ergebnis-Genauigkeit in Grad ist hier nach ca. 20 konstruierten Objekten 4 wahre Nachkommastellen.
Grenzprozeß zum Winkeldritteln mit innerhalb und außerhalb des Grundkreises konstruierten Objekten
Halbbalken-Verfahren
Es gibt mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation (Ziel-Kohärenz-Modell) noch weitere mögliche Varianten zur Grenzprozeß-Berechnung. Eine solche weiter Variante zeigt das folgende Bild. Um den Umfang der Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind die konstruierten Objekte fortlaufend nummeriert. Für den im i-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung ki und für die im nächsten Schritt erzeugte Gerade gi+1.
Die erste Teil-Sequenz umfasst hier die Objekte Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7), usw. Für die Radiusgrössen der Kreisbögen gilt: rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1 . Die konstruierten Punkte D; G; K usw bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Kohärenzkurve". Diese strebt den Grundkreis k1 zu und schneidet ihn letztlich im Punkt PWinkeldrittel. Da sich Im Ergebnisbereich der Verlauf der Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve nähert, wird durch die letzten drei Folgepunkte eine Kreiskurve gezeichnet, welche den Grundkreis k1 schneidet. Im folgenden linken Bild wird der halbe Kreuzschleifen-Balken zischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst.
Ganzbalken-Verfahren 1
Im linken Bild wird der halbe Kreuzschleifen-Balken von Radiusgröße zwischen Y-Ache und Kreislinie eingepasst. Nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen" ist eine Ergebnis-Genauigkeit von 3 wahren Nachkommastellen erreicht.
Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifen-Balken von Durchmessergröße zwischen Y-Ache und X-Achse eingepaßt. Hier wird bereit nach 5 "Gerade-Kreis-Sequenzen" eine Ergenis-Genauigkeit von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Das Ganzbalken-Verfahren 1 ist deutlich effizienter als das Halbbalken.Verfahren.
Ganzbalken-Verfahren 2
Das nächste Bild zeigt ein Ganzbalken-Verfahren 2, bei dem der Grenzprozeß etwas anders realisiert wird, als vorher. Die erste konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit den Strahl g2 durch den frei gewählten Startpunkt 2 und endet mit Schnittpunkt K=S(Xxk7). Die zweite konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit Strahl g8 durch Startpunkt K und endet mit dem Schnittpunkt T=S(Xxk14). Im nächsten Bild ist die Umgebung der Punkte K; L und T vergrößert gezeigt.
Nach dem ersten Teilsequenz-Zyklus wird mit Kreis k7 der Punkt K=S(Xxk7) auf der X-Achse erzeugt. Der Zwischenergebniswinkel ist dann mit 2 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit dem zweiten Teilsequenz-Zklus wird dann die Ergebnisgenauigkeit um 4 wahre Nachkommastellen erhöht usw.
Ergebnisvergleich der verschiedenen Kreuzschleifen- Grenzprozeß-Verfahren
Der Ergebnisvergleich der verschiedenen Halbbalken-Verfahren zeigt deutliche Unterschiede bei der Effizienz. Bei etwa gleichem Aufwand = (gleicher konstruierter Objekte-Umfang) gibt es schon sehr große Unterschiede bei der Ergebnis-Genauigkeit.
Das Halbbalken-Verfahren unterscheidet sich mit 3 wahre Nachkommastellen zu bereits 10 erreichten wahren Nachkommastellen beim Ganzbalken.Verfahrens erheblich. Das Ganzbalken-Verfahren-2 erreicht mit ca 7 konstruierten Objekten 2 wahre Nachkommastellen und mit ca 15 konstruierten Objekten 6 wahre Nachkommastellen. Demgegeüber ist das oben mit Hilfe der kombinierten Strecken-Zielgestalt-Konstellation schon gezeigte Winkeldritteln ein deutlich effizienteres Verfahren.
Weitere Erklärung
Die folgenden zwei Bilder ermöglichen ein tiefergehenden Erklären zum 3er-Winkelzusammenhang. Links wird ein zu drittelnder Winkel im 2. Quadranten und rechts ein zu drittelnder Winkel im 1. Qudranten gezeigt..
Parabel-Konstruktion zum Winkeldritteln nach Descartes (1596-1650)
Ganz im Widerspruch zum „Unmöglich-Beweis“ von Wantzel steht besagte Parabel-Konstruktion nach Descartes. Diese kommt mit nur einer Quadratwurzel in der Lösungsgleichung vom 2.Grad aus. Wantzel sieht das "Unmöglich-Kriterium" im notwendigen Ausziehen einer 3. Wurzel bei einer Lösungsgleichung vom 3-ten Grad. Mit einer endlichen Zirkel- und Lineal-Kostruktion könne diese Auflösung aber nicht erreicht werden. Wem sollen wir hier glauben? Bei wem liegt hierein Fehler vor, bei Descartes oder bei Wantzel?
Descartes hat seinem berühmten Werk von 1637 "La Geometrie" auch einen Beitrag zum exakten Dreiteilungsprozeß des Winkels mit Hilfe einer Kohärenzkurve quadratische Parabel veröffentlicht. Seine Beschreibung zum Lösungszusammenhang bezieht sich auf das folgende Bild von Seite 399.
Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis behindert. Si ist aus dem linken Teilbild heraus kein Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen. Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia unter Suchwort Dreiteilung des Winkels sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung ist dabei nur kurz erwähnt. Sein obiges Bild ist ganz weggelassen. Es bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Gegenüber den bei Wikipedia anderen ausführlich abgehandelten Lösungsversuchen ist die Bedeutung des exakten descartschen Lösungsprozesses offenbar nicht erkannt.
Konstruiertes Winkeldritteln mit gegebener, schon gezeichneter quadratischer Parabel
Im obigen originalen descartes´schen Bild vom Buch "La Geometrie", Seite 399, ist kein direkter anschaulich nachvollziebarer Zusammenhang zum Winkeldritteln zu erkennen. Anders bei unserem nachfolgenden Bildern. Im rechten Bild tritt der Gesamtzusammenhang ohne Beschriftung deutlicher hervor. Im linken Bild sind die fortfolgend konstruierten Objekte mit laufenden Nummer-Schildern versehen. Dies macht ein leichters Nachverfogen der Schritt um Schritt nacheinander konstruierten Objekte möglich.
Ein Nummer-Schild "g3" kennzeichnet mit dem Buchstaben g ein Geradenobjekt und mit der Zahl 3 den erzeugenden Konstruktionsschritt in der Folge. So kennzeichnet k2 mit k ein Kreisobjekt um Mittelpunkt M mit doppeltem Radius zu Kreis k1. Die Zahl 2 kennzeichnet den erzeugenden Konstruktioinsschritt bzw. das zweite konstruierte Objekt. Das Schild S7.1(k6³×p7) kennzeichnet einen mit dem 7.1 Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die Objekte k6 und p7 schneiden. Das Schneiden wird hier mit "x bzw. ⊗" symbolisiert. Das Schild S7.2(k6xp7) kennzeichnet einen mit dem 7.2- Schritt erzeugten Schnittpunkt, indem sich die Objekte k6 und p7 schneiden.
Der zu drittelnde Winkel ist ∠BMS3(k2xg3). Sein Radiusstrahl g3=MS3 schneidet Kreis k2 im Schnittpunkt S(k2xg3 und ist Ausgangspunkt für Gerade g5, die Gerade g4 schneidet und den Schnittpunkt S5(g4xg5) erzeugt, welcher Mittelpunkt für Kreis k6 ist. Der Kreis k6 schneidet die gegebene Parabel p7 drei mal und erzeugt die Schnittpunkte S7.1(k6xp7),S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Diese sind Ausgangspunkt für die zur Y-Achse parallelen Strecken g8,g9 und g10, welch den Kreis k3 schneiden. Die Schnittpunkt S8(k2xg8), S9(k2xg9) und S10(k2xg10) markieren drei verschiedene Drittelungswinkel, was im linken Bild verdeutlicht wird,
Konstruiertes Winkeldritteln ohne gegebene, schon gezeichnete, quadratische Parabel
(Weiterentwickeltes descartsches Verfahren)
Das folgendes Bild zeigt, wie das descartes´sche Verfahren zum allein mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis und Gerade konstruierten Verfahren weiter entwickelt wird. Die gegeben gezeichnete Parabelkurve p, die hier als gestrichelte blaue Kurve p angedeutet ist, wird hier nicht mehr benötigt.
Es werden drei exkate Punkte der Parabel p im Schnittpunkt-Bereich S(p, k3) klassich konstruiert. Dies gelingt mit einer endlichen Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, wie es für die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel bei den Cohaerentic-Betrachtungen an anderer Stelle schon mehrfach beschrieben wurde. Die Erzeugung kann aberauch aus im Konstruktionsbild eindeutig nachvollzogen werden. Der Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisgebiet wird duch die hier drei konstrierten Parabelpunkte gezeichnet. Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links nebem Punkt E platziert, wobei sie einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von kreis k3 liegen sollen.
Beim nächsten Bild werden zwei aufeinander folgend konstruierter Berechnungszyklen gezeigt. Der 1. Zyklus ist rot-rechts und der 2. Zyklus ist blau-links gezeigt. Gestartet wird der zweite Zyklus mit dem Ergebniswinkel ais dem 1. Zyklus (rot). In 2. Zyklus werden über die 14 wahre Stellen an Ergebnisgenauigkeit im erten Zyklus nun alle vollen 15 Stellen erreicht und offenbar deutlich mehr. Wieviele kann hier nicht mehr erkannt werden, da die Rechengenauigkeit des verwendeten Geogebra-Programms nur 15 Nachkommastellen leistet.
Multifache Winkeldreiteilung
Die multifachen 3-er Zusammenhänge sind von Natur aus mehrfach gegeben. Sie sind auch, wie oben schon gezeigt, ohne das Vorhandensein der Parabel y=x2 nachvollziehbar.
Halbierungs-Winkedreiteilen (WDT) nach Fialkowski (1818-1902)
Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12 als erster eine exakte Winkeldreiteilung durch fortgesetzte gezeichnete Halbierungen veröffentlicht.
Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und bleibt damit "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" wurde hier wohl deshalb gewählt, weil das exakte Grenzpunkt-Ergebnis wegen der notwendigen endlos vielen Schritte niemals erreicht wird. Auch wenn die Ergebnis-Darstellung als Zahl oder konstruierte Drehung nicht vollständig mit endloch vielen Schritten zusammengesetzt ist, ist doch ihr Erzeugungsprozeß eine unbeschränkt exakter und kein genäherter Prozeß. Ein genäherter Erzeugungsprozeß liefert letztlich nur einen beschränkten Näherungswert, der nicht weiter verbessert wird, selbt wenn die Rechengenauigkeit für den Näherungsprozeß erhöht wird. Ein bekanntes Beispiel dafür ist die häufig zitierte Streckenkonstruktion für das genäherte Kreisverhältnis π, die der polnische Mathematiker Adam Kochanski(1631-1700) im Jahre 1647 veröffentlichte.
Fialkowski erkennt ganz klar, daß sein Winkelteilen ein gezeichnetes exaktes Berechnen ist, bei dem die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:
"Mann kann durch fortgetztes Halbiren der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".
Leider trägt Fialkowski selbst zu einem schnelles Vergessen seiner erfundenen exakten Halbierungs-Winkeldreiteilung bei. Er schreibt dazu:
"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."
Theoriefindung zum Halbierungs-Winkeldritteln nach Fialkowski
Bei der Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt Fialkowski in seinem Buch auch den Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der eine Konchiode für das Winkeldritteln ins Spiel bringt. Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski dann:
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man: ... α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
Schliesslich leitet er daraus die 1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;" her und schreibt:
" ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
Verkürzte Halbierungs-WDT durch nachgeschaltetes geometrisches Dritteln
Das Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um eine nachgeschaltetes geometrisch konstruiertes Drittelln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende Bild zeigt einen hierfür genutzten Zusammenhang.
In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.
Geometrische Konstruktopn als Berechnungsplan
Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir auch die Sequenz der klassiche Konstruktion, die durch Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreiben kann. Die Gesamtheit der Teilrechengänge sind als endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem einem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird. Durch ein hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel zu einem klassisch konstruierten Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist, der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein.
Die real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen). Dieses Fortsetzen ist theoretisch endlos möglich und damit unbeschränkt. Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen schon nach 7 Halbierungen.
Beim nächsten Bild werden von Innen nach Außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden. Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach 4 und außen nach 5.
Beim folgenden Bild erleichtert die von Innen nach Außen gezeichnet Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild gibt es keine nachgeschaltetes geometrisches Dritteln. So wird hier erst nach 11 Halbierungen eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von wenigel als 1/1000 Grad erreicht.
Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seiner Halbierungs-WDT:
"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
Paradoxe Situation
Die drei klassischen Aufgaben der Antike, die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens berühren Zusammenhänge grundsätzlicher Berechungsprozesse. Diese werden erst durch klassische Konstruktionen voll nachvollziebar. Eine sehr fundamentale Aufgabe liegt dem folgenden konstruierten Berechnen zugrunde:
"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Verhältnis von Drehungen ist in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis überzuführen und umgekehrt."
Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis mit dem Rad, dessen Abrollweggröße für eine Umdrehung interessiert? Ähnlich ist es mit der länge eines Seils, das von einer drehenden Seiltrommel abrollt.
Eine fundamentale Einsicht ist:
Für beliebig gegebenen Ausdehnungsgrößen gibt es keine vollständig exakt abbildende Zahl, die nur endlich viele wahren Nachkommastellen umfasst.
In der frühen Antike ist die Erwartung , "alles ist Zahl". So werden immer diskrete Ergebnisgrößen-Darstelliungen erwartet. Solche, die nur durch endlich viel konstruierte Kreis-/Gerade-Objekte erzeugt werden. Verwirrend wird es hier für die Lernenden, wenn die Größe des Kreisverhältnisses π gleich der Kreiszahl gesetzt wird. Dies widerspricht er obigen allgemeinen Einsicht. Eine reale Zahl als Größendarstellung für das Kreisverhältnis bleibt immer nur ein unvollständiges Größenabbild. Die Gleichsetzung von Kreisverhältnis und Kreiszahl birgt somit einen Widerspruch in sich. Aktuelle diskrete Kreiszahl-Abbilder sind entweder beschränkte oder unbeschränkte Näherungsdarstellungen, je nachdem, ob sie aus einem beschränkten oder unbeschränkten Erzeugungsprozeß hervorgehen. Ein beschränkten Erzeugungsprozeß kann nur eine bestimmte beschränkte Ergebnisgenauigkeit liefern. Diese kann nicht weiter verbessert werden. Ein unbeschränkter Erzeugungsprozeß ist ein exakter Prozeß, bei dem mit mehr Aufwand die Ergebnisgenauigkeit immer weiter verbessert werden kann, zumindest theoretisch.
Ähnlich ist es mit der exakten Winkeldrittelgröße, die auch nur mit unendlich vielen Grenzprozeß-Zyklen (Schritten) vollständig ohne Restfehler dargestellt werden kann, was aber in der Wirklichkeit niemals erreicht wird. Und so mündet auch jedes Ausmessen des Kreisunfangs mittels arithmetischem oder konstruiertem Berechnen des Kreisverhältnisses in einem klassisch konstruierten endlosen Grenzprozeß.
Trisections-Jäger
Die Aufgabenstellung zur Dreiteilung des Winkels kann einfach verstanden werden und ist damit auch Amateuren zugänglich. So suchen Amateure trotz mathematisch bewiesener Unmöglichkeit einer Winkeldrittelkonstruktion weiterhin nach klassisch konstruierten Lösungen. Was sie vorzeigen bezeichnen sie oft auch als exaktes Verfahren eines konstruierten Berechnens. Ihre Näherung nennen sie oft besonders effizient. Hier kommen Trisektions-Jägern ins Spiel, welche die falschen Winkeldreiteilungen der Amateure aufdecken und hier und da auch etwas belustigende Beurteilungen zu den Lösungsversuchen abgeben. Alles mündet darin, daß wegen der "Unmöglich-Beweise" alle vorgezeigten Versuche ohne einzele Nachprüfung mit falsch abgetan werden. Es werden sogar Fahndungshinweise gegeben, woran naive und uneinsichtige Trisezierer und Kreis-Quadrierer zu erkennen sind und wie man durch Nichtbeachten mit ihnen umgeht. Hier fällt auf, daß bei den Trisections-Jägern auch die klassisch konstruierten exakten Lösungsverfahren, wie das Parabel-Winkeldritteln von Descartes und das Halbierungs-Winkeldrtteln von Fialkowski unbetrachtet und unbeachtet bleiben. So werden bis heute konstruierte Grenzprozeß-Verfahren nicht erwartet, wohl auch wegen der notwendigen endlos vielen Schritte bis zum brauchbaren Grenzpunkt-Ergebnis, die unmöglich alle ausgeführt werden können.
Ausgangspunkt für das Verstehen des Winkeldrittelzusammenhangs ist wieder die konstruierte Zielgestalt aus zwei gleichgroßen gleichschenkligen Dreiecken, rot und grün, wie es das Bild zeigt. Dabei wird vom gegebenen, von A ausgehenden Radiusstrahl des zu dtrittelnden Winkels ausgegangen. Aus Symmetriegründen kann der Neusis-Schiebeprozeß primär mit Punkt T auf der X-Aches und symmetrisch nachfolgend mit Punkt Z erfolgen oder auch umgekehrt.
Wie der manuell schwierige Schiebeprozeß als Sequenz klassich konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte im Einzelnen ausgeführt wird, haben wir bereits weiter oben schon beschrieben.
