Kreisfläche mit Multisummen - Grenzprozess berechnen
[ nach Antiphon (5 Jh. v.u.Z.) / Schleicher]
Historisches
Auch wenn es heute nicht ausreichend gewürdigt wird, hat Antiphon der Sophist ( 5 Jh. v.u.Z.) einen fundamentalen Vorschlag zur Berechnung der Kreisfläche gemacht, der bis heute tragfähig ist und quasi in allen modernen Berechnungen der Kreisfläche mehr oder minder direkt eingegangen ist. Antiphon schlug vor, die Kreisfläche mit elementar berechenbaren Dreiecken auszufüllen und die Flächen zur Gesamtfläche zu summieren. Das Ausfüllen gelingt hierbei immer vollständiger, wenn die Anzahl der kleinen Dreiecke immer weiter erhöht wird, bis quasi nicht ausgefüllte Flächen nicht mehr erkannt werden können.
1. Konstruktionsaufgabe
Die Gesamtfläche als Multisumme mit immer kleineren Dreiecken erzeugen
Der Grenzprozess der Multisummation strebt mit endlos gross werdender Eckenzahl der Viertelgrösse bzw. der Achtelgrösse der Kreisfläche und des Kreisumfang als Grenzwert zu. Mit der Notation π/2 wird dieser Grenzwert für das Verhältnis "Hallbkreisfläche/Quadratfläche über dem Radius" symbolisiert bzw. mit π/4 für das Verhältnis "Viertelkreisfläche/Quadratfläche über dem Radius". Das Zeichen π symbolisiert hier ein Verhältnis und keine Zahl.
2. Konstruktionsaufgabe
Gesamtfläche als Multisumme mit weniger Dreiecken bei verbesserter Konvergenz erzeugen [nach Schleicher]
Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.
Beschreibung
Das gezeichnete Berechnen für die den Kreis ausfüllenden Vielecke beginnt mit einem violetten 4-Eck=Quadrat, dann folgt ein blaues 8-Eck, ein grünes 16-Eck und ein rotes 32-Eck. Deutlich zu erkennen ist, mit der doppelten Anzahl der Ecken schrumpft die nicht ausgefüllte Kreisfläche überproportional, also auf immer weniger als die Hälfte von vorher.
Mit dem roten 64-Eck wird hier der endlose Berechnungsprozess willkürlich abgebrochen, was nicht notwendig ist. Mit einem Berechnen mittels 4- und 8-Eck wird ein π2= 3,14 errechnet. Mit einem Berechnen mittels 4-,8 und 16-Eck wird ein π3= 3,1415 errechnet. Mit einem Berechnen mittels 8- , 16- und 32-Eck wird ein π4=3,141592 berechnet.
Verbesserung der Konvergenz und Effizienz des Berechnens durch verkürzten Grenzprozess
Die Steigerung der Effizienz des Berechnens wird mit einem verkürzten Grenzprozess erreicht. Möglich wird dieser, indem der stetige Trend des Anwachsens der Multisumme abhängig zur Anzahl der Summanden genutzt wird. Da für den nicht verkürzten und auch für den verkürzten Grenzprozess der gezeichnete Rechengang als Rechenplan für alle Schritt bzw, zu zeichnende Objekte bis ins Endlose vollständig bekannt ist, kann bei Bedarf nach noch höherer Ergebnisgenauigkeit endlos weiter gerechnet werden, zumindest theoretisch.
Vergleich der Genauigkeit und Effizienz für π - Berechnungen
Archimedes - Berechnug Gezeichnete Cohaerentic-Kalkulation mit
verkürztem Grenzprozess
Archimedes Antiphon-Schleicher
- 8-Eck -> 3,14
- 16-Eck -> 3,1415
- 32-Eck -> 3,141592
- 64-Eck -> 3,14159265
96-Eck -> 3,14
256- Eck -> 3,1415
Der Vergleich zeigt deutlich den Fortschritt durch den verbesserten Grenzprozess bei der Cohaerentic Kalkulation.
