Parabelpunkte klassisch konstruieren

Normalparabel y=x²

Gegeben:

Karthesische Koordinatensystem im R^2 - Raum (Ebene)

Gesucht:

Kurvenpunkte einer Parabel für y=x^2, die allein mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade- Objekte (Beschränkung auf Zirkel und Lineal, ohne Nutzung von Zahlen) konstruiert werden?

Die nacheinander konstruierten Objekte sind fortlaufend numeriert, mit K1 für Kreis. G2 für Gerade (Strecke) usw.

Weitere Parabelpunkte klassisch konstruieren

Gegeben:

Zwei Plunkte einer Parabel im R^2 - Raum (Ebene), ohne Koordinatenangabe
keine weiteren Parameter

Gesucht:

Weiteren Kurvenpunkte einer Parabel durch die gegebenen zwei Punkte. Sie sollen allein mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade- Objekte (Beschränkung auf Zirkel und Lineal, ohne Nutzung von Zahlen konstruiert werden?

Normalparabel-Kohärenzsystem für Multiplikation / Division und für geometrische Mittel

Parabeln sind geometrische Objekte, zu denen auch im alltäglichen Leben Erfahrungen gesammelt werden können. Aus den Bewegungskurven geworfener Steine und hüpfender Bälle wird der Parabel-Zusammenhangs y=x^2. erkannt. Im Inernet-Lexikon Wikipedia wird unter „Parabel (Mathematik)“ zu verschiedenen Erzeugungsverfahren der Normalparabel berichtet. Hier betrachten wir nun ein noch weiteres klassich konstruiertes Erzeugungsverfahren für Parabelpunkte der Funktion y=x². Diese klassischen Konstruktionen sind überraschend einfach und können damit für die Rechenoperationen der Multiplikation und Division sowie Quadrieren und Ausziehen der Quadratwurzel; MUL-DIV sowie SQ-SQR genutzt werden, Sie sind “sehr gut anschaulich nachvollziehbar. wie es das folgende mit einem DGS-Programm konstruierte Kohärenzsystem-Bild zeigt.

Verhältnis- Gleichheit: |EF| / |AB| = |AB| / |CD|

Produkt- Gleichheit: |CD| * |EF| = |AB| * |AB|

_{Wert = Faktor} (|CD| >|AB|) = (|AB| * |AB|) / |EF|

_{Kehrwert = Faktor} (|EF|<|AB|) = (|AB| * |AB|) / |CD|

_{Geometrisches Mittel} |AB|=√|CD|*|EF|

Aus der Konstruktion geht weiter hervor:

y = x2 ; yrot = |CD| ; xrot=|AC| ; yblau = |EF| ; xblau = |AE|

yrot = (xrot= ca)2 ; yblau = (xblau= cb)2

ca2=|CD| ; cb2=|EF|

ca2 * cb2 = |CD|*|EF| = a2-c2a = b2-cb2 = |AB|2

a2 + b2 = |ca+ cb|2 = ca2 + cb2+ 2 * ca* cb

Beschreibung der DGS-Konstruktion

Wird Punkt C als unabhägig variable Rechengrösse x auf der x-Achse im DGS-Zugmodus bewegt, dann bewegt sich der in y-Richtung darüber liegende y-Parabelpunkt D gemäss dem Zusammenhang y=x2.

Die DGS-Konstruktion wird mit der Strecke AB auf der y-Achse begonnen. Dann wird das grüne Halbrechteck= Dreieck ECB gezeichnet. Nun werden senkrechte Geraden auf der y-Achse in den Punkten E und C errichtet, sowie von Punkt A aus auch senkrechte Geraden durch die Strecken |BCI=a und |BE|=b. Hierduch werden die Schnittpunkte D und F und damit auch die Strecken |CD|=yrot=xrot2=ca2 erzeugt und auch die Inverse Rechengrösse |EF|=yblau=xblau2=cb2.. Abhängig zum im DGS-Zugmodus bewegten Punkt C dreht sich das grüne Halbrechteck CBE um Punkt B und das Halbrechteck FAD um den Punkt A.

Beweis-Konstruktion zu: |EF|*|CD|=|AB|*AB||

An dieser Stelle stellt sich die Frage? Steht es im Widerspruch zu dem in Wikipedia unter "Konstruktion mit Zirkel und Lineal"(21.07.2020 ) dargelegtem Wissen? Dort ist zu lesen:

"Unmögliche Konstruktionen

Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:

sowie

die Kegelschnitte (mit Ausnahme des Kreises) und
viele regelmäßige Vielecke."

Die hier gezeigten Kohärenzsysteme zeigen nachvollziehbar, wie Punkte der Parabelkurve exakt und nicht nur genähert klassisch konstruiert werden. Mit immer mehr Schritten wird eine Punktekurve mit immer kleinerem Punkteabstand entzeugt. Die Ausführung der klassischen Konstruktuion geschieht hier mit einem Computer und einem DGS-Programm.

In diesem Zusammenhang wird besonders daran erinnert, dass ohne Ausnahme alle klassich konstruiertn oder numerisch berechneten erzeugten Kurven real immer nur Punkte-Kurven sind und theoretisch kontinuierliche Kurven. Durch konsruiertes Berechnen entsteht eine Punktekurve und keine durchgezogene Spurkurve. Mit immer enger benachbarten Punkten geht die Punktekurve visuell in eine durchgezogene Spurkurve über. Echte Spurkurven können nur mit besonderen (mechanischen) Werkzeugen und mit Schablonen gezeichnet werden. Auf diese Weise sind sie aber auch immer nur beschränkt genau konstruierbar. In unserem Fall ist der konstruierte Berechnungsprozess für die Parabel-Punkte ein exakter Berechnungsprozess, was dann auch zu exakt und nicht nur genähert erzeugt und dargestellten Folge-Punkten führt.

Geometrisches Mittel

Parabeln y=xⁿ

Parabelpunkte klassisch konstruieren

Normalparabel y=x2

Normalparabel-Kohärenzsystem für Multiplikation / Division und für geometrische Mittel

"Unmögliche Konstruktionen

Geometrisches Mittel

Normalparabel y=x²