Drehung / Winkel _messen_und _erzeugen
_lin-_rot -Transformationen_im Realwinkelbereich
Fixe Kohärenzkurven
Kinematische Erzeugung als Spurkurve "Trisectrix" nach Hippias von Elis (5. Jh.v.u.Z.)
Das klassisch konstruierte Erzeugen und Messen von Drehung / Winkel basiert auf der Nutzung von Kohärenzkurven, welche eine rotorische Bewegung und eine tramslatorische Bewegung kopppeln. So wird in beide Richtungen der Kopplung eine punktweise Zuordnung relaisiert. Ein erstes Beispiel für den Realwinkelbereich ist schon mit der Kohärenzkurve"Trisectrix" des Hippias von Elis (ca 430 v.u.Z.) aus der griechischen Antike überliefert.
Wie gut zu erkennen ist, findet die Kopplung ( lin-rot -Transformation) von Rotation (rot) und Translation (lin) im Realwinkelbereichmit der Kohärenzkurve CQE statt. Die Spurkurve CQE zeichnet der Schnittpunkt Q von Strecke AB und Radiusstrecke MR, wenn sich die Radiusstrecke MR um den Drehpunkt M und simultatan dazu, die Strecke AB um einen endlos fernen Drehpunk, dreht. Dies bedeutet, die Streck AB bewegt sich simultan zur Drehung des Radiusstrahls MR stetig von oben nach unten. Dabei geht der Punkt A von Punkt C nach M und synchron dazu der Punkt R von Punkt C nach Punkt D. Durch diese gedankliche Erzeugung wird die Kohärenkurve Quadtatrix= Trisectrix seit dem Altertum als eine quasi mechanisch erzeugte Spurkurve betrachtet, mit der jeder Punkt A zwischen den Punkten M und C in einen Punkt R zwischen den Punkten D und C transformiert werden kann. Praktisch scheitert eine solch kontinuierliches Transformieren, da die Kohärenzkurve EQC nur als Punktekurve erzeugt und dargestellt werden kann.
Später zeigen wir noch, dass es Vorteile bringt, die lin-rot -Transformation von Translation (lin) nach Rotation (rot) und umgekehrt in einen immer weiter verkleinerbaren Kleinwinkelbereich zu verlegen, da hier die Kohärenzkurve zwischen drei klassisch konstruierten Punkten immer mehr einer klassisch konstruierbaren Kohärenzkurve "K r e i s" zustrebt.
Klassisch konstruierte Erzeugung als Punktekurve
Das zweite Bild zeigt, wie mit quasi simultanen Halbierungen eine Punktekurve Trisectrix mit 7 zwischenliegenden diskreten Kurvenpunkten und zwei aussenliegenden zwei Kurvenpunkte C und D erzeugt werden. Die Anzahl der zwischenliegenden exakt erzeugbaren Kurvenpunkte ist im realen Leben beschränkt, denn es gibt nur endlich zur Verfügung stehende Resourcen an Zeit und technischen Mitteln. Die Lücken zwischen drei benachbarte Punkte werden jeweils durch einen Kreisbogen (Krümmungskreis) ausgefüllt und so eine genäherte Spurkurve erzeugt. Besonders effizient ist dieses Vorgehen im Kleinwinkelbereich, zu dem später noch berichtet wird.
Klassische Konstruktion zusammenhängender Winkel- und Strecken-Verhältnisse mit Hilfe der Trisectrix
Das klassische Konstruieren der rot-lin-Transformation von Winkel- zu Strecken-Verhältnissen erfolgt mit Hilfe der Kohärenzkurve Trisectrix. An ein vorgegebenen lin-Strecken-Verhältnis ist das abhängige rot-Drehungen-Verhältnis gekoppelt und umgekehrt. Den konkreten Zusammenhang macht das folgende Bild des Hippias-Kohärenzsystems nachvollziehbar,
Euklid (ca. 330 v.u.Z.), der Autor und Herausgeber des richtungsweisenden Grundlagenwerkes ELEMENTE hat die lin<->rot-Transformation, wie sie mit der Kurve Trisecrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) schon bekannt war, bewusst nicht in sein Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen. Damit hat Euklid eine Tradition einer Denkblockade begründet, die bis heute anhält. So fehlen heute Beiträge zur Problematik der klassisch konstruierten lin<->rot-Transformation in Lehrbüchern. Viele werden hier einwenden, sie fehlen, weil sie vom Prinzip her "unmöglich" sind, was schliesslich auch von Pierre Watzel im Jahre 1837 mathematisch bewiesen wurde.
Verwandtschaften verschiedener fixer Kohärenzkurven, die über den K r e i s hinaus gehen
Das folgende Bild zeigt die Verwandtschaft verschiedenen Kohärenzkurven für die lin-rot-Transformation, die alle unter den Sammelbegriff Quadratrix angesprochen werden.
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Bewegte Kohärenzkurven
Simultan klassisch konstruierte Halbierungen erzeugen Punkte für Kohärenzkurve
Das Drehungen-Verhältnis wird klassisch konstruiert in ein proportionales Translations-Verhältnis umgerechnet und kann so indirekt mit einem geraden Masslineal ausgemesssen werden.
Video: Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.
Klassisch konstruierte Rektifikation erzeugt Punkte-Kohärenzkurve
Bild
Video
Anschauliche Transformation von Translation in Rotation mit bewegter Kohärenzkurve.
_lin-_rot -Transformationen_im Kleinwinkelbereich
Fixe Kohärenzkurve "K r e i s" (Variante 1)
Die lin-rot-Transformation von Translation (lin) nach Rotation (rot) und umgekehrt findet im im Kleinwinkelbereich statt.
Ein gegebenes rotorisches Verhältnis wird in ein lineales Verhältnis gezeichnet umgerechnet (transformiert). Dies erfolgt mit einer Kohärenzkurve Kreisbogen, für den drei exakt gezeichnet berechnete Stützpunkte im Kleinwinkelbereich gezeichnet wurden. In den Bereich des Kleinwinkeleffektes wird mittels multifacher, quasi endlos fortsetzbarer Halbierungen der beiden zueinander zugeordneten Objektgrössen von rotorischer und translatorischer Ausdehnung gelangt, die da sind: Winkel BAF= 90° und die Strecke von Punkt N ausgehend mit der Grösse=2*Radius=2*45=Durchmesser=90). Damit die Zahl der direkt gemessenen Winkelgrösse ohne Umrechnen mit der Zahl der ausgemessenen Translationsstrecke, die indirekt die Winkelgrösse abbildet, verglichen werden kann, wird für 90° des Viertelkreises die Durchmessergrösse zu 90 gewählt.
Mit der gleichen Anzahl von Halbierungen wird nun die zu messende Drehung (roter Kreisbogen) gleichfalls in den Bereich des Kleinwinkeleffektes (blauer Kreisbogen) transformiert. Mit der aktuellen letzten Halbierung wird ein Schnittpunkt auf dem kleinen blauen Kreisbogen erzeugt. Mit einem vom Punkt U ausgehenden Strahl (hier auf eine blaue Strecke eingekürzt), der durch den erzeugten Schnittpunkt auf dem blauen Kreisbogen geht, wird auf der von N ausgehenden Strecke ein Schnittpunkt erzeugt. Diesen Sachverhalt zeigt vergrösserte Bild deutlicher. Die Rücktransformation in den Realbereich der Translation erfolgt mit gleich vielen Verdoppelungen, was die Kreise bis zum Schnittpunkt W2 leisten. Die mit dem Masslineal indirekt gemessene Winkelgrösse NW2 stimmt hier breits bei nur 4 Halbierungen/ Verdoppelungen schon bei 5 Nachkommaziffern mit der direkt gemessenen Winkelgrösse überein, die mittels Zeichenprogramm Geogebra ausgeführt ist.
Fixe Kohärenzkurve "K r e i s"
Fixe Kohärenzkurve im Kleinwinkelbereich
Video: Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.
Die Transformation wird hier nicht mit den real grossen Verhältnissen von Verschiebung oder Drehung berechnet, wie es bei der Quadratrix =Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) der Fall ist. Die gegebene rotorische oder die translatorische Rechengrösse (Drehung oder Verschiebung) wird jeweils mit Halbierungs-Schritten in den Grenzkohärenzbereich kleiner Drehungen verkleinert. Die eigentliche Transformation findet an der Kohärenzkurve kurzer "Kreisbogen" statt. Die dabei erzeugte neue kleine Drehunggrösse, oder in der anderen Berechnungsrichtung die erzeugt kleine Verschiebungsgrösse, wird dann mit gleich vielen Schritten wie beim Halbieren wieder in den Realbereich vergrössert. So werden mit nur vier Halbierung bereits 5 übereinstimmende Nachkommastellen errechnet. Mit sieben Halbierungen werden schon 7 übereinstimmende Nachkommastellen erzielt. Da es für die Verkleinerung des Grenzkohärenzbereiches zum Kleinen hin (Zahl der Halbierungen) theoretisch keine Grenzen gibt, kann mit immer mehr Halbierungen die erziebare Genauigkeit immer weiter gesteigert werden. Dies ist aber für die alltäglichen Anwendungen überhaupt nicht notwendig. Die nachfolgenden gezeichneten Berechnungen zeigen, dass hierbei die Menge der gezeichneten Objekte von einer theoretisch möglichen unendlichen Menge sehr weit entfernt ist.
Beschreibung des gezeichneten Kohärenzsystems:
Wird beim vorgezeigten Kohärenzsystem der Punkt C im Zugmodus rotierend bewegt, folgt Punkt F3 zwangsweise in linealer Verschiebung nach. Dabei bleiben das rotorische Verhältnis der rot und schwarzer Kreisbogen und das lineale Verhältnis der rot und schwarzen Strecken auf der Ordinaten-Achse immer zueinander gleich gross. Die fixe Kohärenzkurve ist die rote Kreiskurve mit sehr grossem Radius. Sie ist durch die letzten 3 Schnittpunkte vor der Abszissen-Achse gezeichnet. Diese Schnittpunkt werden von den gegenläufig sich drehenden Strecken mit Drehpunkten in A und in D erzeugt. Die Drehung um Punkt A erfährt ein fortfolgendes Unterteilen durch Halbieren auf dem Kreisbogen und die Drehung um Punkt D erfährt ein fortfolgendes Unterteilen durch Halbieren der Radiusstrecke auf der Abszissen-Achse. Das Bild zeigt, auch die Schnittpunke von noch grosser3n Drehungen liegen quasi immer noch auf dem roten Kohärenzkreis. Deshalb wird bei nur kleinen Drehungen das rotorische Verhältnis sehr genau auf das lineale Verhältnis übertragen. Die angestrebte Linearisierung kann in zwei Richtungen verbessert werden. Einmal, indem die Kohärenzkurve immer weiter nach rechts in die Näher des Punktes D gelegt wird und damit ihr Radius immer grösser wird und sich einer Geraden immer mehr annähert. Die andere Möglichkeit ist, die eigentlich Transformation der beiden Verhältnisse mit noch kleineren Drehungen zu vollziehen, um dann mit Duplikation wieder auf die reale Grösse zurück zu kehren.
Der Zusammenhang der Transformation Translation-> Rotatation ist offenbar wenig oder gar nicht abhängig von der Position des Punktes K2, wenn dieser rechts von Punkt A liegt.
Beschreibung des Transformations-Zusammenhangs.
Eine Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kurvenobjekte von Kreis und Gerade transfomieren ein beliebig gegebens Strecken-Verhältnis (=Winkelzahl) in ein gleich grosses Winkel-Verhältnis als Ergebnis und stellen es anschaulich nachvollziehbar dar. Der gezeichnete Rechengang/ Rechenzusammenhang soll dabei stringent ohne Probieren zur einer zweifelsfrei zutreffenden Ergebnis-Darstellung führen.
Mit Hilfe einer vorher im Grenzkohärenz-Bereich gezeichneten Kohärenzkurve Kreis, wird die Transformationen von Verschiebung auf Drehung und umgkehrt gezeichnet berechnet. Der Trick ist, die Transformation wird nicht mit den real grossen Verhältnissen von Verschiebung und Drehung berechnet, wie es bei der Quadratrix = Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.) der Fall ist, sondern die gegebene Rechengrösse Drehung oder Verschiebung wird mit Halbierungs-Schritten immer weiter bis in den quasi linearen Grenzkohärenzbereich verkleinert, in dem dann die eigentliche Transformation, der gezeichnete Umrechnungsprozess stattfindet. Die dabei am der Kohärenzkurve Kreis erzeugte neue kleine Drehunggrösse oder in der anderen Transformationsrichtung die erzeugt kleine Verschiebungsgrösse wird dann mit gleich vielen Schritten wie beim Halbieren wieder in den Realbereich vergrössert. Mit nur wenigen Halbierungen/Doppelungen werden bereits Genauigkeiten von mehreren Nachkommastellen erzielt. Da es für die Verkleinerung des Grenzkohärenzbereiches zum Kleinen hin (Zahl der Halbierungen) theoretisch keine Grenzen gibt, kann mit immer mehr Halbierungen die erziebare Genauigkeit theoretisch immer weiter gesteigert werden. Dies ist aber für die alltäglichen und auch die wissenschaftlichen Anwendungen überhaupt nicht notwendig.
Fixe Kohärenzkurve im Kleinwinkelbereich (2)
Video: Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.
