Satz des Pythagoras
"Satz des Pythagoras"-
Bekannte vs. cohaerentische Betrachtung
Bekannte Betrachtung:
Heute wird anhand sehr vieler verschiedener Konstruktionsbildern der Satz des Pythagoras erklärt und bewiesen. Da die originale euklidische, rein geometrische Bweisführung zur Satzaussage c2= a2 + b2 etwas Ausdauer von den Lernenden erfodert, wird heute die Beweisführung oft in Lehrbüchern und Lexika anhandes des folgenden linken Bildes geführt. Dabei spielen die Begriffe "Zerlegen" und "Zusammenfügen" eine wesentliche Rolle. Allein damit ist aber nur schwer nachzuvollziehen und zu verstehen, warum c2 = a2 +b2 gilt.
Bei dieser häufig genutzten Schulbuch-Methode wird die Satz-Aussage, "Im rechtwinkligen Dreieck ist die Flächensumme der beiden Kathentenquadrate gleich der Flächengröße des Hypotenusenquadrates" nicht allein anhand des obigen linken Kostruktionsbilder geführt. Dafür bedarf es noch zusätzlichen arithmetischen-algebraischen Wissens. Das erforderliche zusätzliche Berechnen wird mit Wissen zum binomischen Lehrsatz (a+b)2 realisiert.
Cohaerentische Betrachtung
Die cohaerentische Betrachtung ist auf anschaliche Zusammenhänge gerichtet, die in einem Bild für Satzaussage und Satzbeweis vereint sind. Zusammenhangschwerpunkt sind hier:
- Flächenerhaltende Drehung eines Rechtecks um einen Rechteckpunkt
( Obiges rechtes und nachfolgendes Konstruktionsbild)
2. Flächenerhaltende Gestaltwandlung vom Rechteck zu einem anderen Rechteck,
Beschreibung zur Drehung und Gestaltwandlung:
Beide benannten obigen Konstruktionsbilder zum "Satz des Pythagoras" nutzen flächenerhaltendes Zusammenhangwissen zu Drehung und Gestaltwandlung. Beim ersten Bild (oben rechts) ist die Reihehenfolge der ausgeführten Aktivitäten Drehen der Kathetenquadrate und dann die Gestaltwandlung vom Quadrat in Rechtecke mit Langseite c=AB. Beim voran gegangenen Bild ist die Reihenfolge "Gestaltwandlunge von den Kathetenquadraten a2 und b2 zu zwei roten und grünen Rechtecken" mit Langseiten c=AB und dann nachfolgender Drehung dieser beiden grünen nd roten Rechtecke in das Hypotenusequadrat c2 deutlich hervor. Beide obige Konstruktionen lassen die beiden flächenerhaltenden Operationen sehr deutlich her. Eine zusätzliche arithmetisch-algebraische Berechnung für die Beweiseinsicht c2=a2+b2 ist hier nicht erforderlich. Die zu beweisende Einsicht zur Satz-Aussage c2 =a2+ b2 kann besonders anhand des voran gegangenen Bildes anschaulich nachvollzogen werden. Unterstützt wird dies jeweils durch die Gleichungen rechts neben den Konstruktionsbildern. Mit diesen beiden obigen abstrakten Modelleni zu Zusammenhängen des Drehens und des Gestaltwandelns läßt sich die beliebige Abfolge der flächenerhaltenden Aktivitäten Drehen und Gestaltwandeln erkennen.
3. Flächenerhalt bei beim parallelen Punkt- oder Seiten-Verschieben über einer Grundlinie
Bildbeispiel zur parallelen Punktverschiebung bei einem Dreieck über der Grundlinie
Bildbeispiele zur Seitenverschiebung eines Parallelogramms über einer Grundliene:
Beim vorigen Bild fließt Verstehen zum Satz des Pythagoras in die Gleichungen rechts neben der Konstruktion.. In diesen Gleichungen tritt die Abfolge der Operationen der Verschiebungen des grünes und des rotes Parallelpgramms nochmal deutlich hervor.
Prinzip von Cavalieri
Das nachfolgende Bild weist eine Verwandtschaft zum "Prinzips von Cavalieri" auf und dieses wiederum eine Verwandtschaft zum schon in der Antike bekannten Wissen zum parallelen Verschieben über einer Grundlinie zwischen parallelen Geraden..
Beim Prinzip von Cavallieri wird die Streifenzerlegung quasi bis zur verschwindenden Streifenbreite fortgesetz.
4. Flächenerhalt bei Gestaltwandlung
- Dreieck -> Dreieck -> Rechteck ->Rechteck -> Quadrat -> Kreis.-> Quadrat -> Rechteck -> Dreieck
Bildbeispiel zur Gestaltwandlung hin zu mehr Symmetrie
Rechteck zum flächengleichen, mehr symmetrischen Quadrat:
Bildbeispiel zur Methoden-Kombination:
Die Summe der beiden Kathetenqudrate a2 und b2 ergibt ein Summerechteck AEFK. Dessen flächengleiche Gestaltwandlung führt hin zum mehr symmetrischen Quadrat AHLM. welches gleichgroß wie das Hypotenusenquadrat c2 sein soll. Ist Seite AB=AH, dann ist auch mit dieser Methodenkombination der Satz des Pythagores als richtig bewiesen.
Weitere Beispiele zur Summe zweier Quadrate = Summe-Quadrat = c2 = a2 + b2
Die beiden folgenden Kostruktionensbilder zeigen das gleiche Kohärenzsystem für zwei verschiedene Grössenkonstellationen.
Gegeben sind ein rechtwinkliges Dreieck mit Seiten a, b, c (= Halbrechteck) links im Hypotenusequadrat c2
Gesucht ist das ganzheitliche Kohärenzsystem zu c2= a2 + b2, welches sich im Wasentlichen im Umkreis des Hypotenusequdrates befindet und ohne zusätzliche arithmetisch-algebraische Berechnung , wie bei der euklididschen Betrachtung, die Beweiseinsicht zu c2=a2+b2, ermöglicht. Auch hier ist bei bei cohaerentischen Betrachtung keine zusätzliche arithmetisch-algebraische Beweisberechnung erforderlich. Die zu beweisende Einsicht zur Satz-Aussage c2 =a2+ b2 kann hier allein anhand des Bildes anschaulich nachvollzogen werden. Die Gleichungen rechts neben der Konstruktion sind das abstrakte Abbild der hier konstruierten Zusammenhänge. Mit ihnen lassen die Abfolge der Operationen Drehung und Gestaltwandlung leichter nachvollziehen.
Diese gezeichnete cohaerentischen Konstruktionen sind anschaulich nachvollziehbare Beweise zum Satz des Pythagoras. Sie fallen durch ihre Kürze auf. Der Beweiskern ist die Symmetrie. Die Flächengleichheit wird durch die gestrichelten Strecken=Rechteck-Diagonalen = Symmetriegeraden für die links und rechts zu ihr liegenden gleiche Flächengrössen wahrnehmbar. Ganz ohne numerisches Rechnen.
