Mit "cohaerentischer Geometrie" berechnen?
Hauptkategorie: ROOT
Kategorie: Uncategorised
Cohaerentische Geometrie (auch Cohaerentic-Geometrie)
Was ist cohaerentische Geometrie (auch Cohaerentic-Geometrie)
Grundgedanke und Zielbegriff
Der Begriff "Cohaerentisch" ist zur Abgrenzung eingeführt. Er grenzt vor allem gegenüber der euklidischen Geometrie ab.
Was grenzt sich ab, was ist anders?
Scheitert cohaerentische Geometrie, die anschaulich nachvollziehbare geometrische Zusammenhänge und auch unendliche Prozesse betrachtet, an der euklidischen Beschränkung auf endlich viele Schritte? Euklids ELEMENTE lehren kein Denken zu endlosen Konstruktionen, denn es habe keine Berechtigung, da unendliche Konstruktionen nur bloße Näherungen liefern, nichts exakt in endlichen Schritten Darstellbares.
Cohaerentische Geometrie hat nicht die Erwartung der euklidischen Geometrie, daß eine darstellbare Zahl das Ergebnis sein soll, sondern daß ein darstellbarer nachvollziehbarer Weg geometrischer Zusammenhänge das Ergebnis sei, wofür Zahlen nicht benötigt werden. Cohaerentische Geomerie ist daher kein Scheitern an den euklidischen Beschränkungen auf endliche Schritte. Sie erkennt,
diese eukidische Beschränkungen ist nur ein Teil der natürliche Realität und nicht der Weisheit letzter Schluß. Cohaerentische Geomerie überwindet diese beschränkende euklidische Einsicht.
Kernpunkte:
- Euklidische Geometrie, wie sie in den ELEMENTEN systematisch angelegt wurde, hat eine klare Regel: nur endliche Konstruktionen gelten als zulässig. Damit lässt sich ein sehr mächtiges, in sich geschlossenes Gebäude errichten. Dieses ist aber bewusst abgeschnitten von der Vorstellung eines rein geometrischen Berechnens und von konstruierten unendlichen Prozessen ohne Zahlen..
- Die cohaerentische Geometrie, wie oben beschrieben, verschiebt den Blick: Nicht mehr das exakte Endresultat in endlich vielen Schritten ist das Ziel konstruierter Berechnungen, sondern der anschaulich nachvollziehbare Weg, das Netz von Zusammenhängen, das sich im Zeichnen, Wiederholen und im Grenzverhalten der Figuren offenbart.
Die radikale Konsequenz daraus ist:
- Während die euklidische Tradition im „Scheitern“ endlicher Lösungskonstruktionen zu den leicht verständliche drei Aufgaben der Antike eine Grenze sieht, deutet die cohaerentische Geometrie dieselben Sachverhalte als Einsicht in eine unendliche, aber Schritt um Schritt nachvollziehbare Entfaltung geometrischer Ordnung.
- Cohaerentische Geometrie erkennt die Endlichkeitsbeschränkung als eine mögliche Konvention, aber nicht als der Weisheit letzter Schluss.
- Cohaerentische Geometrie integriert die unendlichen Prozesse als legitimen Teil der geometrischen Realität und gewinnt dadurch bessere Einsichten, als mit der klassische gelehrten „Unmöglichkeit“.
Die cohaerentische Sicht öffnet ein anderes Paradigma:
Euklidische Geometrie: Exaktheit = Endlichkeit.
Cohaerentische Geometrie: Exaktheit = Nachvollziehbare, anschauliche Struktur, die wegen der Raumeigenschaft Kontinuität bis zum Grenzfall fortgedacht werden kann.
Es gibt hier keinen Widerspruch. Die cohaerentische Geometrie steckt den Rahmen weiter. Sie akzeptiert die euklidische Sicht als „Sonderfall mit Endlichkeitsdogma“ als bewußt eingeschränkte Betrachtungsmöglichkeit.
Die cohaerentische Geometrie ist ein neuer Zugang zu elementarer Geometrie
Ihr Fundament ist nicht das Zahlensystem, sondern die unmittelbare geometrische Kohärenz, das anschaulich erfahrbare, stetiges Zusammenwirken der Grundkurven Kreis und Gerade. Dabei wird die beschränkende Tradition der euklidischen Geometrie auf endliche Schritte überwunden. Die Beschränkung auf Kreis- und Gerade-Objekte wird nicht verworfen, es wird bei diesen beiden zentralen Kurvenobjekten verblieben. So werden neue Bedeutungen und neue Konstruktionen möglich. Es wird die Einbeziehung von DGS (Dynamischer Geoemtrie-Software) möglich, was z.B. das cohaerentische Konstruieren eines Parabelpunktes y=x^2 und seiner Parabelspurkurve im DSG-Zugmodus ermöglicht. Anstelle von abstrakten Definitionen wie „ Punkt ohne Ausdehnung“ und „breitenlose Linien“ untersucht die cohaerentische Geometrie nachvollziehbare, endliche Konstruktionsprozesse und deren Grenzfälle. Jeder Schritt dieser Grenzprozesse liefert ein exaktes Zwischenergebnis, das im Grenzfall die exakte Lösung darstellt. Diese Grenzprozesse erzeugen mit Autokonvergenzkaskaden keine bloße Näherung. Im Mittelpunkt steht nicht das Abzählen diskreter Punkte, sondern das Erkennen und Konstruieren von Formen aus kontinuierlichen, kohärenten Symmetrie- und Erhalt- Zusammenhängen. Punkt und Linie werden auf Grundlage real erfahrbarer geometrischer Phänomene präzisierend neu definiert. So wird das klassische Paradoxon euklidischer Geometrie vermieden, dass das „Nichts eines Punktes“ eine Linie ausfüllen soll.
Nähe zur Realität
Die cohaerentischen Konstruktionen sind näher und stärker an der realen Welt dran, als die der euklidische Geometrie. Viele Formen und Prozesse der realen Welt sind tatsächlich kontinuierlich und nicht diskontinuierlich und nicht endlich abgeschlossen. In der Natur und Technik begegnen uns oft Kurven und Formen, die durch Grenzprozesse modelliert und beschrieben werden können. Viele cohaerentische Konstruktionspläne umfassen daher endlos viele Anweisungen, was mit Wiederholsequenzen erreicht werden kann. Viele diese cohaerentischen endlosen Grenzprozesse streben als Autokohärenzkaskade mit sichtbar nachverfolgbaren, sich wiederholenden Kreis- und Gerade-Objektsequenzen gesetzmäßig, ohne probierende Schritte, einem sinnvollen exakten Grenzpunkt zu.
Zusammenfassung zum Grundunterschied:
Im Allgemeinen lassen sich die cohaerentischen Konstruktionen durchaus als Weiterdenken der euklidischen Geometrie verstehen. Sie verlassen zwar bei der Begrenzung der Schritte das Regelwerk der klassischen euklidischen Geometrie, bleiben aber dem Geist des Konstruierens und Sichtbarmachens treu.
Didaktischer Aspekt:
Cohaerentische Geometrie ist ein möglicher Weg, um Geometrie tiefer, lebendiger und prozesshafter zu lehren und zu verstehen. Cohaerentische Geometrie ist ein Weiterdenken statt eines Widerspruchdenkens. Sie ist kein Bruch, sondern eine Erweiterung: Sie respektiert das Prinzip der Konstruktion mit den Grundkurven Kreis und Gerade, ergänzt es aber durch sichtbare Einbeziehung auch nicht endlich konstruierbarer Probleme. Sie eröffnet einen Weg, um Unmögliches (im klassischen Sinn) auf neue Weise begreifbar zu machen. Sie überschreitet das formale Regelwerk Euklids, aber nicht seine konstruktive Denkweise. Die Ansätze zu einer cohaerentischen Geometrie werden im Buch von S. Schleicher, „Cohaerentic“ (ISBN 97839820252-1-6) sowie auf dieser web-Seite www.cohaerentic.com in den Modulen
- Warum konstruiert berechnen?
- Grundrechenarten
- Höhere Rechenarten
- Konstruierte Urberechnungen
dargelegt.
Gegenüberstellungen der beiden Sichtweisen bei Punkt und Linie
- Euklidischer Punkt
Euklid schreibt: „Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Die Enden einer Linie sind Punkte.“ (Elemente, Definition 1) Der Punkt ohne Ausdehnung ist ein reines Orts- oder Positionssymbol, kein physisches Etwas. Er hat keine Länge, keine Fläche, kein Volumen.
- Euklidische Linie
Euklid schreibt: „Eine Linie breitenloser Länge.“ Spätere Mathematiker (v. a. im 19./20. Jahrhundert) lehren: Eine Linie ist eine unendliche Menge von Punkten.
Problem: Eine Summe von Nichts ergibt immer noch Nichts. Wie kann eine Kontinuität (z. B. ein Liniensegment mit Länge 1) aus einer diskreten, ausdehnungslosen Menge bestehen?
Hier entsteht ein philosophisch wie mathematisch berechtigter Widerspruch.
- Cohaerentische Linie
Im Erfahrungsraum kann eine Linie als Grenze zwischen zwei raumausfüllenden Medien wahrgenommen werden (z. B. rot–grün, grün–weiß oder rot–weiß).
Die Grenzlinie dehnt sich quer zur Übergangsrichtung aus und wird in der Abstraktion zur Linie ohne Breite.
Die cohaerentische Linie ist damit sowohl ein real erfahrbares Kohärenzobjekt als auch ein Darstellungsmittel für geometrische Objekte, insbesondere für translatorische und rotatorische Transformationen oder funktionale Zusammenhänge durch Linienkurven. Die einfachste cohaerentische Linienkurve ist die Kreiskurve. Ihre wahrgenommene Größe hängt zunächst vom Betrachtungsabstand ab, doch die Kreisgestalt bleibt unverändert. Dieses konstante Verhältnis von Umfang zu Durchmesser (π) kann als geometrische Figur konstruiert werden.
Die cohaerentische Gerade entsteht als Grenzfall: ein unendlich großer Kreis mit unendlicher Kreislinie. Ein Blick auf ein lokales Stück der Kreiskurve mit unendlichem Radius lässt sie als Gerade erscheinen. Sie ist gleichzeitig Gerade und Kreiskurve, also das exakte Ergebnis eines gedacht konstruierten Grenzprozesses (Teilbild d)).
- Cohaerentischer Punkt
Der cohaerentische Punkt kann als Ergebnis verschiedener Grenzprozesse erscheinen:
- als Schnittpunkt cohaerentischer Linien, ohne eigene materielle Existenz
- mit unendlich kleiner Ausdehnung, als unendlich kleiner Kreis mit unendlich kurzer Kreislinie
- als Spurerzeuger einer kontinuierlichen Bewegung eines Schnittpunkts in unendlich kleinen Schritten.
In der cohaerentische Geometrie gibt es nicht das klassische, oft übersehene Paradoxon der euklidischen Geometrie (und der klassischen Mengenlehre), wo der Punkt ohne Ausdehnung als punktuelles „Nichts“ kontinuierlich die Linie längs ausfüllt. Die euklidische und cohaerentische Geometrie unterscheiden sich bei den Eigenschaften (Axiomen) der zwei Grundobjekte / Grundzusammenhänge Punkt und Linie. Daduch werden euklidische und cohaerentische Konstruktionen in ihrer Struktur grundlegend anders geprägt.
Unerschiede „Euklidische zu Cohaerentische Geometrie“ — mit konkreten Beispielen zu fünf Uraufgaben
|
Aspekt
|
Euklidische Geometrie
|
Cohaerentische Geometrie
|
|
Begriff
|
Historisch gewachsene Konstruktionstradition auf Basis von Euklids Axiomen
und der Zusatzkonvention „Zirkel & Lineal, endliche Schritte“.
|
Neu eingeführter Begriff zur Abgrenzung
– Schwerpunkt sind
nachvollziehbare geometrische Zusammenhänge und
konstruierte formalisierte Grenzprozesse.
|
|
Konstruktions-
prinzipien
|
Axiome von Euklid + historische Zusatzregel: Nur endliche Zirkel- & Lineal-
Konstruktionen erlaubt. Ergebnis muss nach endlich vielen Schritten vollständig vorliegen.
|
Präzisierte, realitätsnähere Axiome zu Punkten, Linien und Figuren. Zulässig sind endliche Konstruktionen
und gesetzmäßige Grenzprozesse mit Kreis- und Gerade-Objekten, die konvergent sind und
potenziell unendlich viele Schritte umfassen.
|
|
Linie
|
Linien sind Punktmengen. Flächen sind Linienscharen.
Die Linie entsteht durch
Aneinanderreihung von
Punkten.
|
Eine Linie ist als ein Kohärenzobjekt definiert. Eine Linie wird als Grenze zwischen zwei raumausfüllenden
Medien wahrgenommen. Als Grenzlinie dehnt sie sich
quer zum Medienübergang aus. Sie wird zum Raumobjekt Linie ohne Breite abstrahiert.
Die Linie ist keine Aneinanderreihung von Punkten.
|
|
Punkt
|
Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Die Enden einer Linie sind Punkte. Diese sind Grundbausteine/Grundobjekte ohne Ausdehnung und füllen
die Linie in Ausdehnungsrichtng.
|
Cohaerentische Punkte sind Schnittpunkte von breitenlosen Linien. Sie haben keine eigene materielle Existenz und auch keine räumliche Ausdehnung.
Sie sind keine Bausteine, die in der Summe keine
Strecke, keinen Kreisbogen, keine Fläche ausfüllen.
|
|
Prinzip
des
Konstruierens
|
Aufbau erfolgt punktmengen-theoretisch und additiv mit endlich viel Objekten: Punkt → Linie → Fläche→ Raum.
|
Kein punktmengentheoretischer Aufbau mit endlich vielen Objekten. Zugelassen sind endlich und
endlos viele Kreis- und Gerade-Objekte
|
|
Füllung und
abzählbare Struktur
|
Geometrie wird über Mengen und Additionen konstruiert, was mit, der Punkt
als Füllbaustein, die Idee der endlichen Schrittfolge bedingt.
|
Geometrie wird nicht über Mengen und Additionen konstruiert. Der Punkt als kein Füllbaustein nimmt
der Idee der endlichen Schrittfolge ihren
ontologischen Zwang. Die Forderung nach Abgeschlossenheit wird nicht nur gelockert,
sondern grundsätzlich neu gedacht.
|
|
Konsruktionen
mit
Grenzprozessen
|
Nicht erlaubt,
da sie nur beschränkte, bloß probierend gewonnenen Näherungen realisieren.
|
Erlaubt,
sofern sie geometrisch konvergieren und
der Grenzwert im Modell eindeutig definiert ist.
Konstruierte endlose Grenzprozesse
sind mehr als bloße Näherungsprozesse.
|
|
Beispiel 1:
Satz des Pythagoras
|
Flächenzerlegung der Kathetenquadrate und Einbettung ins Hypotenusenquadrat.
Kein durchgehender Zirkel-&-Lineal-Prozess; Beweisführung auch mit
algebraischen Rechnungen. Aussage und Beweis getrennt.
|
Direkte, anschauliche Konstruktion nur mit geometrischen Bewegungen (Rotation,
Verschiebung, Spiegelung) zur Sichtbarmachung des Flächenerhalts. Symmetrie statt Maßstab
Beweis der Flächengleichheit erfolgt unmittelbar
in der Figur,
nichtdurch separate Rechnung.
|
|
Beispiel 2:
Winkeldritteln
|
Beweis (Wantzel 1837): Für beliebige Winkel unmöglich mit Zirkel & Lineal in
endlichen Schritten. Unmöglichkeit gilt wegen der
der Körpertheorie: 2^(1/3)
liegt nicht im Zirkel-Lineal-Körper.
|
a) Mit gegebener Parabel 𝑦 = 𝑥^2 : Mit endlich vielen Kreis- und Geraden.Objekten wird ein simultanes Dreifach-Winkeldritteln von
3 Winkeln realisiert, die ein Halbkreispunkt mit x- und y- Achse aufspannt.
Damit gilt Wantzels "Unmöglichbeweis" nur für Verfahren, die mit kubischen Gleichungssystemen arbeiten.
b) Mit konstruierter Folge von Parabelpunkten 𝑦 = 𝑥^2 :
Ausgehend von 3𝛼 wird eine Folge von Parabelpunkten konstruiert, die gesetzmäßig mit Autokonvergenzkaskade den Drittelpunkt als Grenzpunkt zustreben.
c) Mit Zielgestalt: Konstruierte Autokonvergenzkaskade ( gezeichneter Grenzprozeß) erzeugt schrittweise, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten, eine Dreh-Annäherung an die exakte Winkeldrittel-Richtung.
|
|
Beispiel 3:
Rektifikation des
Kreisumfangs (π)
|
Keine durchgehende Zirkel-&-Lineal-Konstruktion bekannt. Das Archimedes- Verfahren liefert Zahlenwerte durch polygonale Approximation, aber keine
reine geometrische Strecken-darstellung. Unmöglichkeit
wird heute begründet mit
Transzendenz von π.
|
Archimedes’ Verfahren liefert Zahlenwerte durch polygonale Approximation, aber keine reine geometrische Streckendarstellung. Ziel: Geometrische Darstellung des Kreisverhältnisses 𝜋
als Rechteckfigur. Grundlage sind konvergente
Grenzprozesse: z. B. kohärentisches Abrollen regulärer Vielecke (4-, 6-, 8-Eck …) oder schrittweises Gerade-biegen gleichlanger Kreisbögen. Diese Methoden sind effizienter und liefern mit weniger Aufwand genauere Ergebnisse als die Archimedes- Polygonmethode.
|
|
Beispiel 4:
Volumendoppeln beim Würfel
|
Unmöglich in endlichen Schritten, da 2^(1/3) nicht durch Zirkel & Lineal konstruierbar ist.
Die Unmöglichkeit der Würfel-doppelung beruht allein auf Körpertheorie: 2^(1/3)
liegt nicht im Zirkel-Lineal-Körper.
|
Zahl als Grenzwert eines konstruktiven Prozesses – existiert als „Grenzidentität“ im Modell.
Mit einem Grenzpzeß wird eine konvergente
Punktefolge konstruiert, deren Fortsetzung als Kurve dem Grenzfall=Grenzwert 2^(1/3) zustrebt.
|
|
Beispiel 5:
Rotorische<-> translatorische Transfomation
|
Nicht bekannt und nicht angestrebt als durchgehende Konstruktion mit endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten
|
Wird betrachtet und realisiert.
|
|
Philosophischer Status
|
Reine Theorie: Exakte Lösungen nur innerhalb der durch Axiome und Konstruktionsprinzipien gesetzten Grenzen. Alles andere gilt als „nicht konstruierbar“.
|
Erweiterte Theorie: Erkennt Raumkontinuität
als nutzbare Eigenschaft und verleiht
den Grenzwerten konstruktiver Prozesse
formalen Status.
|
|
Zahlenauffassung
|
In der euklidischen Sicht steht die Zahl als abstraktes, von der Darstellbarkeit
losgelöstes Objekt im Vordergrund.
|
In der kohärentischen Sicht sind die geometrischen Relationen und Größen grundlegend, die Zahl
ist lediglich ein „nachträglich“
quantisiertes Abbild davon.
|
|
Quantisiengs- problem |
Wird nicht thematisiert.
|
Wird thematisiert
Winkeldritteln, Kreisquadratur und Würfelvolumendoppelung sind hier schon wegen des prinzipiellen Quantisierungsfehlers generell in endlich vielen Schritten nicht möglich. |
|
Realitätsbezug |
Modelliert einen idealisierten, vollständig kontrollierten, aber begrenzten
Ausschnitt der Geometrie.
|
Bindet die Gesetze des Kontinuums und
die Grenzen der Darstellung
in kohärente Modelle ein.
|
|
|
|
|
Beispiele für cohaerentisch konstruierte Urberechnungen sind Winkeldrittelungenn, die mit konstruierten unendlichen Grenzprozessen realisiert werden.
a) Einmal, beim endlichen Winkeldritteln mit Parabel y=x^2 versteckt sich der prinzipiell erforderliche Grenzprozeß in der gegebenen, mit unendlich vielen Schritten konstruierten "Parabelkurve".
b) In einem anderen Fall wird mit einem real sichtbaren autokonvergentem Grenzprozeß eine Neusis-Drehung realisiert, welche eine Geraden in die Richtung des Drittelwinkels dreht.
c) Ein noch anderes, wesentliches Beispiel ist das Schritt um Schritt Geradestrecken des Bogens vom Kreisumfang, der seine Länge von Streckungsschritt zu Streckungsschritt beibehält, um im Grenzfall seine lineale gestreckte Länge bestmöglich zu erreichen. Realisiert wird das Srecken mit einer durchgehend konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, ganz ohne Zuhilfenahme von Zahlen. Dabei wird von der zunächst endlich angelegten euklidischen zur cohaerentischen unendlichen Konstruktion übergegang und damit zum konstruierten Grenzprozeß.
Zwei Denkmodelle
Klassisch-mengenlogisches Modell (z. B. Cantor, Dedekind, Hilbert): Die Kontinuität wird durch die Dichte und Vollständigkeit der reellen Zahlen erzielt. Die Linie wird definiert als Menge von reellen Zahlen (Koordinaten) und bleibt so eine symbolische Fiktion. In der Abstraktion erzeugt der ausdehnungslose Punkt durch „Aneinanderreihen“ eine Länge. Dieses Bild ist kontraintuitiv und paradox.
Die Kritik hierzu richtet sich gegen die Vermischung des diskreten Punkts mit der kontinuierlichen Linie. Diese Denkmodell beruht auf abstrakter symbolischer Definition, nicht auf Erfahrung oder Konstruktion.
Cohaerentisches Modell: Der Punkt ist kein abstrakter Ort, sondern eine Schnittstelle zweier sichtbarer, sich schneidender Linien. Er ist ein real gezeichneter Kreuzungspunkt. Linien entstehen nicht als Punktmengen, sondern durch Querbewegungen eines Grenzübergangs zwischen zwei wahrnehmbarer Medien. Die Linie ist Spur eines bewegten diskreten Kurvenpunktes. Der Punkt ist nicht ein atomarer Baustein, sondern Teil einer Abgrenzungsbeziehung.
Das cohaerentische Modell mit etwas weniger abstrakter Interpretation zu Linie und Punkt führt zu einem Paradigmenwechsel im Sinne des Übergangs von einer alten Betrachtungsweise, bei der nur endlich vielen Schritten bzw. konstruierten Grundobjekten, zu wahren exakten Ergebnissen führen. Nun wird neu mit unendlich viel zugelassenen Schritten gearbeitet, was zuvor undenkbar oder sogar abgelehnt wird.
Ein wesentliche Unterschied zwischen den beiden betrachteten Denkmodellen ist:
Neben den bisher euklidischen Konstruktionen aus nur endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten, werden nun auch cohaerentische endlose Konstruktionen aus Kreis- und Gerade-Objekten bewußt zugelassen. Für die konsruierten Grenprozesse wird dabei gefordert, die Punktefolge der Zwischenergebnisse muß mit endlich viel konstruierten Objekten eine erfahrbare gesetzmäßige Kohärenz aufweisen, d.h. ohne Probieren, möglichst autokonvergent erzeugt werden. Dann strebt auch die konstruierten Punktefolge der Zwischenergebnisse im Grenzfall dem exakten Grenzpunkt tatsächlich zu. Die Zwischenergebnis-Punkte markieren hierbei eine noch nicht vollständig zusammengesetztes Zielobjektgröße (Ergebnisgröße).
Einbeziehung von Kurven, die über Kreis und Gerade hinausgehen:
Beim Prozeß der cohaerentischen Winkeldrittel-Konstruktion wird bewußt mit kontinuierlichen, quasi endlosen Zusammenhängen der Parabel y=x^2 gearbeitet. Die euklidische Geometrie ignoriert die Parabelkurve als "kontinuierliches geometrisches Objekt". Sie erklärt die quadratische Parabel zum mechanischem Werkzeug. Vielleicht weil eine Parabel mit einer Parabel-Schablone gezeichnet werden kann, Es wird dabei von einer Werkzeugerweiterung über Zirkel und strichloses Lineal hinaus gesprochen. In der cohaerentischen Geometrie muss die Parabelkurve nicht mit einer Schablone gezeichnet werden. Hier kann jeder Parabelpunkt y=x^2 vom Prinzip her mit einer endlichen Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden, Die Parabelkurve läßt sich daher als Spurkurve der konstruieren Parabelpunkte zeichnen, indem die unabhängige Variable x im DSG-Zugmodus bewegt wird.
Die große Vorbildwirkung, welche vom Grundlagenwerk Elemente des Euklid (ca. 330 v.u.Z) ausgeht, führte zu einer Art Denkblockade für endlose Zusammenhänge und damit für endlos konstruierte Grenzprozesse. In den Elementen wird sich auf Konstruktionen beschränkt, die eine vollständige Ergebnisdarstellung nach endlich vielen Schritten bzw. einer endlichen Sequenz gezeichneter Kreis- und Gerade-Objekte liefern. Alles Andere wird als nicht vollkommen, als unvollständig, als nur eine bloße Näherung betrachtet. Die cohaerentischen Konstruktionen überwinden diese beschränkende Denkblockade. Es werden nun auch bewußt endlose Grenzprozeß-Konstruktionen betrachtet, mit denen die erfahrbare Realität umfassender abgebildet werden kann. Ansätze, das Problem mit den endlosen Zusammenhänge irgendwie praktisch zu bewältigen, gibt es aber schon seit der Antike. Bekanntestes Beispiel dafür ist die von Archimedes (287- 212 v.u.Z.) geführte Ermittlung zum
Kreisverhältnis π = Kreisumfamglänge/Kreisdurchmesser,
was die Längenermittlung der gerade gebogenen Kreisumfangslinie erfordert. Die Ermittlung des Archimedes ist aber keine cohaerentische Konstruktion und auch keine durchgehend reine euklidische Konstruktion. Sie geht zwar von gesetzmäßigen geometrischen Zusammehängen aus, umfasst aber auch numerische Berechnungen. Sie liefert als Ergebnis eine Zahl und keine geomerische Ergebnnisgröße Strecke. Im Unterschied dazu wird bei der cohaerentischen Ermittlung des Kreisverhältnisses eine durchgehend konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten erzeugt. Der cohaerentische Konstruktionsplan umfasst auch Wiederholkzyklen mit gleicher Schrittfolge bzw. gleicher Zyklussequenz der Grundobjekte. Dadurch ist er bis ins Unendliche bzw. Endlose bekannt und beschreibbar. Dabei werden die konstruierten Zwischenergebnisse nicht durch Probieren gewonnen. Sie streben als gesetzmäßig kohärente und konvergente Punktfolge einem exakten Grenzwert/Grenzpunkt zu. Dieser ist eine sichtbar nachvollziehbare geometrische Größenerzeugung. In gedanklicher Abstraktion wird nach unendlich vielen Schritten im Grenzfall der Grenzpunkt erreicht, welcher die konstuierte gerade gestreckte Kreisbogenlänge markiert.
Einbeziehung von klassisch konstruierten Grenzprozessen
Die cohaerentische Geometrie gelangt gegenüber der euklidischen Geometrie zu erweiterten Einsichten zu Urzusammenhängen eines geometrischen Berechnens ohne Zahlen, sogar bis hin zu geometrisch nachvollziebaren Konstruktionen zu Potenz- und Logarithmen-Zusammenhängen. Der Kreis als ganzheitliches, symmetriegeprägtes Köhärenzsystem, sowie klassisch konstruierte geometrische Grenzprozesse spielen dabei eine wesentliche Rolle.
Nähe zur Realität
Die cohaerentischen Konstruktionen sind näher und stärker an der realen Welt dran, als die der euklidische Geometrie. Viele Formen und Prozesse der realen Welt sind tatsächlich kontinuierlich und nicht diskontinuierlich und endlich abgeschlossen. In der Natur und Technik begegnen uns oft Kurven und Formen, die durch Grenzprozesse mit gesetzmäßigen Wiederholsequenzen erzeugt werden können. Die cohaerentischen Konstruktionspläne dazu umfassen daher endlos viele Anweisungen, was mit Wiederholsequenzen erreicht werden kann. Viele diese endlosen Grenzprozesse streben mit sichtbaren Kreis- und Gerade-Objektsequenzen gesetzmäßig, ohne probierende Schritte, einem sinnvollen exakten Grenzpunkt zu.
Zusammenfassung zum Grundunterschied :
Im Allgemeinen:
Die cohaerentischen Konstruktionen lassen sich durchaus als Weiterdenken der euklidischen Geometrie auf eine besondere, erweiterte Weise verstehen. Sie verlassen zwar das Regelwerk der klassischen euklidischen Geometrie , bleiben aber dem Geist des Konstruierens und Sichtbarmachens treu.
Didaktischer Aspekt:
Cohaerentische Geometrie ist ein möglicher Weg, um Geometrie tiefer, lebendiger und prozesshafter zu lehren und zu verstehen
Cohaerentische Geometrie ist ein Weiterdenken statt eines Widerspruchdenkens, kein Bruch, sondern eine Erweiterung: Sie respektiert das Prinzip der Konstruktion mit den Grundkurven Kreis und Gerade, ergänzt es aber durch sichtbare Einbeziehung auch nicht endlich konstruierbarer Probleme. Sie eröffnet einen Weg, um Unmögliches (im klassischen Sinn) auf neue Weise begreifbar zu machen. Sie überschreitet das formale Regelwerk Euklids – aber nicht seine konstruktive Denkweise.
Ansätze zu einer cohaerentischen Geometrie, die über euklidische Geometrie hinaus geht, werden im Buch Cohaerentic (ISBN 97839820252-1-6) sowie auf dieser web-Seite www.cohaerentic.com in den Modulen
- Warum konstruiert berechnen?
- Grundrechenarten
- Höhere Rechenarten
- Konstruierte Urberechnungen
dargelegt.
Die etwas weniger abstrakte Betrachtungs- und Sichtweise der cohaerentischen Geometrie führt, wie oben schon beschrieben, zu etwas anderen Einsichten, was auch in Bildern und Videos sichtbar wird, wie nachfolgend gezeigt.
Bekanntes Kegelschnittmodell vs. Kohärenzmodelle der cohaerentischen Geometrie
Das folgende Bild zeigt schon seit dem Altertum bekanntes Wissen zu den Kegelschnittkurven.
Es gibt kaum klassische Konstruktionen, die aufzeigen, wie voneinander abhängigen Punkte auf zwei Kegelschnittkurven, z.B. Kreis und quadratische Parabel oder Keis und Hyperbel, zusammenhängen? Wie sehen die nachvollziehbaren Verbindungssequenzen als Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten aus? Dies zeigen die folgenden Konstruktionsbilder und Videos. Die besagten, bislang nicht betrachtete geometrisch zusammenhängende Abhängigkeiten werden besonders gut durch Videos mit im Zugmodus bewegten Konstruktionen nachvollziehbar.
Das bekannte obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell unterscheidet sich von den ebenen klassisch konstruierten Kohärenz-Modellen der cohaerentischen Geometrie. Die Kurven Kreis, Parabel und Hyperbel hängen hier über elementare Rechenoperationen zusammen. Die Rechengrößen sind dabei von natürlicher geometrischer Art. Damit werden die gegenseitigen Abhängigkeiten zwischen den elementaren Kurven Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel anschaulich nachvollziehbar.
Die zwei folgenden Videos mit Bewegungen im Zugmodus vervollständigen die Betrachtungsweise der cohaerentischen Geometrie. Nachvollziehbare sichtbare geometrische Grundzusammenhänge stehen hier im Vordergrund.
Cohaerentische Konstruktionen zur Ermittlung der gestreckten Kreisunfanglänge
Das folgende Bild zeigt das schrittweise Aufbiegen eines Kreisbogens mit einer Konstruktion, die sich zu der bekannten Berechnung der Länge des Kreisumfangs durch Archimedes (287 bis 212 v.u.Z.) unterscheidet.. Anders als bei Archimedes wird hier eine duchgehende Sequenz aufeinander folgender Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert, welche damit ein sichtbar nachvollziehbares Verstehen zur gerade gestreckten Kreisbogenlänge ermöglicht.
Das schrittweise konstruierte Aufbiegen erfolgt durch durch wiederholtes, quasi simultanes Doppeln des Kreisradius und Halbieren des Restwinkels = ∠ ( S(1kxX), S(2gx4g), S(Yx3k)) bis zur Y-Achse. Der so konstruierte neue Kreisbogen hat gegenüber dem voran gegangenen, die gleiche Länge, aber nur noch die halbe Krümmung. Nach dem nächsten Zyklus gibt es wieder die gleiche Bogenlänge aber nur noch ein Viertel der Krümmung usw. Dieser Prozeß der schrittweisen Streckung ist als Wiederholzyklus endlos fortsetzbar.
Die drei klassichen Berechnungsprobleme der Antike
Die drei klassichen Berechnungsprobleme der Antike sind
das Winkeldritteln
das konstruierte Berechnen der gestreckten Kreisbogenlänge für die Kreisquadratur mit Überführung der Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat
das Berechnen der Würfelseitenlänge für ein doppeltes Würfelvolumen
Obwohl heute die meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem Begriff "Berechnen" gemeint ist, gibt es im Internet-Lexikon Wikipedia zum Begriff "Berechnen" keinen direkt aufklärenden Eintrag. Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit Zahlen modelliert werden.
Gelehrter Erkenntnisstand zu den klassichen drei Berechnugsaufgaben der Antike
Das heutige Wissen der Mathematik / Geometrie zu den antiken griechischen Konstruktionproblemen wird in der
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger
wie folgt zusammenfassend beschrieben.
Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
Diese Betrachtungsweise bleibt letztlich bei der Erwartung der Antike, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl". Diese Erwartung führt zu etwas Verwirrung und zu Vertändnisproblemen. Für die Winkeldrittelgröße wird daher auch ihre zugehörige Zahl als vollständige Größenabbild-Darstellung erwartet. Dies ist aber, wie schon dargegt wurde, wegen des Quantisierungsproblems mit prinzipiellem Quantisierungsfehler nicht möglich. Fragwürdig ist hierbei auch, daß heute die analoge geometrische Größe Kreisverhältnis = Kreisumfang/ Kreisdurchmesser mit Kreiszahl benannt wird. Eine Zahl wird hierbei gleich einer analoge Größe gesetzt. Dies ist eine grobe Vereinfachung und kann nicht streng mathematisch logisch, sondern nur im historischen Kontext nachvollzogen werden.
Abweichend zur euklidischen Geometrie rückt in der cohaerentische Geometrie das Problem der konstruierten Quantisierung als endloser Prozeß in den Betrachtungsfocus. Erst eine konstruierte endlos fortsetzbare Quantisierung eines analogen geometrischen Kreisverhältnisses π führt zur abstrakten Zahldarstellung Kreiszahl πZahl,∞ . Mit noch nicht unendlich hohem Quantisierungsaufwand wird nach N Schritten nur zu einem unvollständigen digitalem Größenabbild Kreiszahl πZahl,N gelangt. Diese weist , noch nicht die endlos viel möglichen wahren Nachkommastellen auf.
