Teilgliederung:
4.4. Winkel
4.4.1 Winkel messen und erzeugen
4.4.2. Winkeldreiteilen (WDT), möglich oder unmöglich?
4.4.3. Historische Vorläufer und neuere WDT
4.4.3.1. WDT-Kohärenz mit Ziel- und Lösungsgestalt
4.4.3.1.2. Stop-Kriterien für die Bewegungen der WDT-Lösungsgestalten
4.4.3.1.2.1. WDT nach Archimedes (287-212 v.u.Z.) mit Strichlineal
4.4.3.1.2.2. Cohaerentische WDT mit 4-Streckenzug-Zielgestalt
4.4.3.1.2.3. Cohaerentische WDT mit autokonvergentem Grenzprozeß für 4-Streckenzug-Zielgestalt
4.4.3.1.2.4. Cohaerentische WDT mit autokonvergenter Grenzprozeß mit innerem Halbbalken
4.4.3.1.2.5. Cohaerentische WDT mit autokonvergenter Grenzprozeß mit Ganzbalken
4.4.3.2 Cohaerentisches Winkeldritteln mit Parabeln y=x3 und y=x2
4.4.3.2.1. Klassische Konstruktion der Parabeln y=x3 und y=x2
4.4.3.2.2. Überraschende dreifach simultane Winkeldrittel-Kohärenz
4.4.3.2.3. Dreifach simultanes Winkeldritteln mit kubischer Parabel y=x3
4.4.3.2.3. Dreifach simultanes Winkeldritteln mit quadratischer Parabel y=x2
4.4.3. 2.5 Cohaerentischer WDT-Grenzprozeß mit klassich konstruierten Parabelpunkten
4.4.5 Zweifel am wantzelschen WDT-Unmöglich-Beweis
4.4.5.1. Kernthese
4.4.5.2. Grenze der Zahlendeutung bei Wantzels WDT-Unmöglichkeitsbeweis von 1837
4.4.5.3. Descartes (1637) vs. Wantzel (1837):
4.4.5.3.1. Streitpunkt: Warum Einschränkungn beim Katalog der Funktionskurven
4.4.5.3.2. Descart´sches exaktes WDT mit y=2x2 von 1637
4.4.5.3.3. Wantzels WDT-Unmöglichbeweis von 1837
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4.4. Winkel
4.4.1 Winkel messen und erzeugen
4.4.2. Winkedreiteilen (WDT), möglich oder unmöglich?
Mit dem Winkeldreiteilen befassen sich Geometer seit der Antike, Bis heute gibt es zur Lösung dieser Aufgabe verschiedene Auffassungen. Was die heutige Wissenschaft Mathematik / Geometrie zu den klassischen Aufgaben der griechischen Antike denkt und lehrt wird in der
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)" von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger,
wie folgt zusammengefaßt:
Im Kapitel 1
„Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“:
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
Damit zeigt sich, auch heute wird bei der Erwartung der Antike geblieben, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl" und wenn nicht, wird dazu eine solche definiert. Diese Erwartung führt bei Lernenden zu Verständnisproblemen und etwas Verwirrung.
Diese Zahl-Erwartung ist aber schon wegen des
prizipiellen Problems der Quantisierung immer nur unvollständig erfüllbar. Das erwartete vollständig konstruierte Größenabbild vom Winkeldrittel ist somit ohne "unendlichen Prozeßschritte" unmöglich erreichbar. Gleiches gilt aber auch bereits für den zu drittelnden Winkel. Zur tiefergehenden Erklärung sei noch ein anderes Beispiel gegeben. Für die Cohaerentische Geometrie ist es fragwürdig und nicht ganz zutreffend, wenn die analoge Größe
Kreisverhältnis = gestreckter Kreisumfang / Kreisdurchmesser mit Kreiszahl benannt wird und damit eine grundlegende analoge Größe per Definition zu einer diskreten Zahl gemacht wird. Die gibt es aber real gar nicht. Das Kreisverhältnis ist und bleibt eine analoge Größe. Mit Kreiszahl ist hier wohl mehr ein endloser Digitlisierungsprozeß gemeint, der trotz endlos fortschreitender Quantisierung zu keiner aktuell vollständigen diskreten Darstellung eines Ergebnisses π
Zahl gelangt.Siehe hierzu auch Gliederungspunkt "
3.2.3. Multi-Summe Grenzprozeß für Kreisverhältnis π"
4.4.3. Historisches WDT - Vorläufer und neuere Erkenntnisse
4.4.3.1. Grundlegende WDT mit Ziel- und Lösungsgestalt-Verfahren
Dieses prinzipielle Lösungsvorgehen ist bereits seit der Antike bekannt, Es funktioniert folgendermaßen. Es wird mit gleichschenkligen Dreiecken, mit gleich großen Schenkeln, eine Zielgestalt konstruiert. Diese weist die Winkel α, 2α, 3α usw. auf, wie es das folgende Bild zeigt.
Die Zielgestalt weist für die 3-er Winkelkonstellationen besondere Merkmale auf. Beispielsweise die mehrfach auftretende gleiche Schenkelgröße der aneinander gefügten Dreiecke. Oder auch eine doppelte Parallelität in einer 4-Sreckenzug-Zielkonstruktion. Die konstruierte Lösungssgestalt, erfüllt anfangs das Lösungskriterium "doppelte Parallelität nur grob. Wird die Lösungsgestalt dann in Richtung Zielgestalt (Gestaltübereinstimmung) bewegt, verbessert sich die doppelte Parallelität. Deise Bewegung wird gestoppt, wenn bei der Lösungsgestalt die besonderen Merkmale für die Winkelkonstellation α, 2α, 3α erreicht sind.
Die Betrachtungen der cohaerentischen Geometrie gehen hier mit der "Kreuzschleifen- Kohärenz" über die Einsicht des Archimedes (287-212 v.u.Z) zum WDT hinaus.
Die coharentische WDT-Kreuzschleifen-Konstruktion ist tiefergehend und anschaulich nachvollziehbar
Die jeweils blaue Radiusstrecken=MD markieren den zu drittelnden Winkel und die grünen Radiusstrecke=MC die gesuchten Drittelwinkel.
Die vier Konstruktionen demomstrieren den WDT-Zusammenhang für Größen des zu drittelnden Winkels 3α (blaue Radiusstrecke), die in den Quadranten 1; 2; 3 und 4 liegen. Der zu beweisenden 3-er Zusammenhnang wird jeweils mit den beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke grün und rot nachvollziehbar.
Die Bewegung der Lösungsgestalt in Richtung Übereinstimmung der beiden Gestalten, geht von einer Drehbewegung der Strecke FA in Punkt F aus. F hängt durch Parallele DF zur x-Achse von Punk D ab und damit von Winkel ∠3α=∠EMD. Bei Übereinestimmung der beiden Gestalten hat der rote Kreuzschleifen-Balken AB eine Länge vom Grundkreisdurchmesser 2*ME. Für seinen Mittelpunkt C gilt dann, AC=CB, mit C auf Grundkreis k1, Wenn sich der gegebene Winkel 3α=∠EMD bewegt, indem sich Radiusstrecke MD in M dreht, gleitet Punkt A auf der X-Achse und Punkt B auf der Y-Achse. Der Balken-Mittelpunkt C bewegt sich dabei auf der Grundkreiskurve k1, bzw. zeichnet diese gedanklich als Spurkurve. Die dünne grüne Radiusstrecke MC markiert die gesuchte Winkelgröße α =∠E,M,C.
Stopkriterium ist bei den obigen Bildern die Gleichheit der Strecken AC=CM=ME. Bei den folgenden Bildern. ist es die Gleichheit UM=Strecke von M bis Schnittpunkt der X-Achse mit dem äußeren Halbbalken.
4.4.3.1.2. Stop-Kriterien für die Bewegung der WDT-Lösungsgestalt:
4.4.3.1.2.1 WDT nach Archimedes (287-212 v.u.Z.) mit Strichlineal
Seit der Antike wird für die klassischen drei Aufgaben nach endlichen Lösungskonstruktionen für diskrete Ergebnis-Lösungszahlen gesucht. Dies ist wegen des prinzipiellen Quantisierungsproblems eine in sich widersprüchliche Erwartung und Aufgabenstellung. Wenn es für die zu drittelnde Winkelgröße keine abbildende Zahl gibt, gibt es für die abgeleitete Winkeldrittelgröße auch keine.
Im Internet-Lexikon Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, 27.5.2024), wird das für die "Dreiteilung des Winkels" bislang gelehrte wantzelsche "absolute Unmöglich" etwas zurück genommen, indem dort geschrieben wird:
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. Hierbei wird besonders an das Winkeldritteln von
Archimedes (287-212 v.u.Z.) erinnert.
In der cohaerentischen Geometrie nennen wir das archimedessche Verfahren ein Zielgestalt-Verfahren, welches im obigen Punkt 4.4.3.1. Winkeldrittel-Kohärenz mit Ziel- und Lösungsgestalt bereits ausführlich beschrieben wird.
Beim Archimedes-WDT-Verfahren wird für das Stopkriterium der Lösungsgestalt-Bewegung auf den am Kreis außen liegenden Halbbalken vom Kreuzschleifenbalken geschaut. Erreicht diese Halbbalken-Größe zwische X-Achse und Kreislinie K die Größe des Kreisradius, dann ist das Stopkriterium für die Bewegung der Lösungsgestalt erreicht. Das Lineal weist dann exakt die gesuchte Dritteldrehung von der roten Radiusstrecke M,S(1GxK) auf.
4.4.3.1.2.2. Cohaerentische WDT mit 4-Streckenzug-Zielgestalt
(siehe dazu auch Buch S.Schleicher Cohaerentic, S. 285, 2019, ISBN 9783982025216)
Bei den vorangegangenen Bildern umfaßt die innere 4-Streckenzug-Zielgestalt die Punkte A, M, D, C, und B. Der Punkt M ist der Kreismittelpunkt, die Punkte A, B, C und D liegen auf auf der Kreislinie. Das
Stopkriterium für die Bewegung der Lösungsgestalt ist erreicht, wenn die 4-Streckenzug-Lösungsgestalt
die Doppelparallelität AM//DC und MD//CB erreicht.
Die Doppelparallelität kennzeichnet das Erreichen des 3-er Winkelzusammenhangs. Bei den nachfolgenden Bildern zeigt das untere rechte Bild, dieses einprägsame WDT-Zusammenhangmodell funktioniert auch für zu drittelnde Winkel 3α, die größer als 360° sind.
Diese hier vorgezeigte WDT-Kohärenz-Sachverhalt ermöglichen das Erdenken klassischer, nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreisen und Geraden konstruierter Grenzprozesse.
4.4.3.1.2.3. Cohaerentische WDT mit autokonvergentem Grenzprozeß für 4-Streckenzug-Zielgestalt
(siehe dazu auch Buch S.Schleicher Cohaerenti, S. 28, 2019, ISBN 9783982025216)
Der autokonvergente Grenzprozeß strebt stringent dem Grenzpunkt als exaktem Ergebnis zu. Autokonvergent beschreibt hier, daß keine probierenden Schritte erforderlich sind. Das obige Bild mit den laufenden Nummern an den Objekten zeigt einen gut verfolgbaren fortschreitenden Verlauf, der den zwei Paaren paralleler Strecken zustrebt. Die Strecken 3 ; 7 ; 11 usw. drehen sich immer weiter in die Richtung einer Parallelität mit der der X-Achse. Die Lösungsbewegung stopt, wenn die doppelte Paralelität im 4-Streckenzug der Zielgestalt erreicht ist.
Verkürzter Grenzprozeß
Lösungsansatz:
Das Verbessern der Konvergenz (verkürzen des Grenzprozesses) wird mit einem Kreis K20 erreicht, der durch die letzten drei Mittelpunkte 11, 15 und 19 gelegt wird und die Ordinaten-Achse schneidet. Die in diesem Schnittpunkt errichtete Senkrechte scheidet den grossen Kreis in dem Punkt, welcher quasi den aktuellen Zwischenwert des Drittelwinkels markiert. Bei einer noch unbefriedigenden Ergebnisgenauigkeit wird der exakte Grenzprozess nicht abgebrochen, sondern mit den bekannten Aktionen (Schritte-Zyklen) immer weiter fortgesetzt. Dies ist letztlich zumindest theoretisch möglich.
4.4.3.1.2.4. Cohaerentische WDT mit autokonvergentem Grenzprozeß für 4-Streckenzug- Zielgestalt und innerem Halbbalken
Verschiedene WDT-Verfahrensvarianten ergeben sich, indem für das Kriterium der zu stoppenden Lösungsbewegung verschiedene Teile des Kreuzbalkens (kreisinnerer Halbbalken oder kreisäusserer Halbbalken oder der Ganzbalken zwischen den Koordinatenachsen betrachtet werden.
Um die möglichen Varianten den Umfang der Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu machen, sind die nacheinander konstruierten Objekte im folgenden Bild fortlaufend nummeriert. Für den im i-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung ki und für die im nächsten Schritt erzeugte Gerade gi+1. gewählt.
Die erste Teil-Sequenz umfasst hier die Objekte Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7), usw. Für die Radiusgrössen der Kreisbögen gilt: rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1 . Die konstruierten Punkte D; G; K usw bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Kohärenzkurve". Diese strebt den Grundkreis k1 zu und schneidet ihn letztlich im Punkt des Winkeldrittels. Da sich Im Ergebnisbereich der Verlauf der Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve nähert, wird durch die letzten drei Folgepunkte eine Kreiskurve gezeichnet, welche den Grundkreis k1 schneidet. In den obigen drei Bildern ist gezeigt, wie sich der halbe Kreuzschleifen-Balken zischen Y-Achse und Grundkreis k1 immer mehr einpasst.
4.4.3.1.2.5. Cohaerentische WDT mit autokonvergentem Grenzprozeß für 4-Streckenzug-Zielgestalt und Ganzbalken.
Das folgende linke Bild zeigt nochmals das Halbbalken-Verfahren, das rechte Bild hingegen das Ganzbalken-Verfahren. Bei beiden Bildern liegen die zu drittelnden Winkel im ersten Quadranten. Die schrittweise konstruierten zwei Lösundbewegungen streben mit einer autokonvergenten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (g2; k3 usw.) der jeweiligen Zielgestalt zu.
Im linken Bild wird der halbe Kreuzschleifenbalken zwischen Y-Achse und Kreislinie Schritt um Schritt eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen. Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt wieder die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen. Bei beiden Verfahren gibt es einen schrittweise konstruierten autokonvergenten Prozeßfortschritt. Beim WDT nach Archimedes (287-212 v.u.Z.) hingegen gibt es ein analoges kontinuierliches Neusis-Drehschieben des Lineals mit Strichen im Abstand vom Grundkreisradius, was der Größe der halben Kreuzbalken-Strecke entspricht.
Beim rechten Ganzbalken-Verfahren wird der ganze Kreuzschleifenbalken eingepasst, was gegenüber dem Halbbalken-Verfahren deutlich effizienter ist. Eine bestimmte Genauigkeit wird hier bereits mit deutlich weniger Schritten erzielt. Zur Abgrenzung von einem quasi analogen Neusisprozess sprechen wir nun von einer "schrittweise konstruierten "Neusisbewegung", deren Schritte immer kleiner werden, dem Verschwinden immer mehr zustreben.
Die Winkeldrittel-Grenzprozesse mit Halbbalken und Gantbalken konvergieren also unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt.
Verfahrensvergleich:
Verglichen werden hier die verdreifachten WDT-Ergebniswerte (rote Winkelzahl) mit ihren Startwinkelgrößen (schwarze Zahl).
Halbbalken-Verfahren, linkes obiges Bild:
- Es wird erst nach 7 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Genauigkeit von 3 wahren Nachkommastellen erreicht.
Ganzbalken-Verfahren, rechtes obiges Bild:
- Es wird bereits nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Genauigkeit von 10 wahren Nachkommastellen erreicht.
Ganzbalken-Verfahren bei großem zu drittelnden Winkel, nachfokgendes Bild:
4.4.3.2. Exaktes Winkeldreiteilen mit Parabeln mit y=x2 und y=x3
4.4.3.2.1. Wie wird eine Parabel y=x3 (rot) bzw. y=x2 (blau) klassisch konstruiert?
A1 ist eine unabhängige Variable x, die im Zugmodus bewegt werden kann. Der abhängige Parabelpunkt für y=x2 ist Endpunkt B3 des Streckenzuges A1B1, B1B2, B2B3.. Punkt B3 zeichnet im Zugmodus als abhängig bewegter Variablenpunkt die exakte blaue Spurkurve y1=x12=A1B3=(A,A1)2. Der abhängige Parabelpunkt mit Endpunkt B5 des Streckenzuges A1B1, B1B2, B2B3, B3B4,B4B5 zeichnet im Zugmodus als abhängigen Variablenpunkt die exakte rote Spurkurve y1=x13=A1B5=(A,A1)3.
4.4.3.2.2 Überraschende dreifach simultane Winkeldrittel-Kohärenz
Cohaerentisches Geometriewissen geht über das klassische Wisen hinaus, indem erkannt wird: Zu einem Punkt auf dem Halbkreis existieren, bei kartesischen Achsen X und Y, drei verschiedene Winkeldrittel, die ursächlich zusammenhängen. Im linken Bild teilt die rote Radiusstrecke den Viertelkreis im ersten Quadranten in zwei Winkel α und β, für die gilt: α + β = 90°. Gleichzeitig teilt dieselbe Radiusstrecke den Halbkreis in zwei Winkel α und γ mit der Beziehung α + γ = 180°.
Die Winkeldrittelpunkte für α/3 und γ/3 sind durch eine Sehne miteinander verbunden, die den halbgroßen Innenkreis um M tangiert. Der Drittelwinkel β/3 wird im betrachteten Kohärenzsystem durch den Tangierungspunkt dieser Sehne festgelegt.
Die drei zusammenhängenden Winkelldrittelpunkte im Halbkreis sind ein starkes Argument für die Existenz gesamtheitlicher 3-Winkeltusammenhänge im Halbkreis, die wir später als Parabel-Zusammenhänge (quadratischen und kubische Parabelkurve) erkennen werden. Diese gesamtheitlichen Zusammenhänge entstehen nicht erst, indem zu Zirkel und Lineal ein weiteres Werkzeug Parabelschablone hinzugenommen wird. Sie sind der Geometrie inhärent. Die obigen und folgenden Konstruktionen sind und bleiben klassiche Konstruktionen auch wenn Schnittpunkte sich als Punkte von Parabeln y=x3 und y=x2 erweisen.
Vor Wantzel (1837) und auch bei ihm, sowie auch danach erfährt unser gefundener geometrisch konstruierbarer dreifache Zusammenhang keine Betrachtung. So konnte auch nicht erkannt werden, daß es zu einem Punkt auf dem Halbkreis (Endpunkt der roten Radiusstrecke im folgenden linken Bild) drei zusammenhängende verschiedene Drittelwinkel gibt, deren Verdreifachungssummen sich in diesem gemeinsamen Halbkreispunkt exakt treffen. Die läßt sich anhand der blauen Kreise links der roten Radiusstrecke und der roten und großen grünen Kreis rechts roten Radiusstrecke nachvollziehen.
Ist ein Winkeldrittelpunkt auf dem Halbkreis bekannt, können über den Sehnen-Zusammenhang quasi auch die beiden anderen Winkeldrittelpunkte bzw. Winkel konstruiert werden. Infolge gegebener Symmetrie sind dann auch die Winkeldrittel in der anderen unteren Kreishälfte gegeben, was nachfolgendes Bild zeigt.
4.4.3.2.3. Dreifach simultanes Winkeldritteln mit kubischer Parabel y=x3
Zusammenhänge der Zahlentheorie, wie sie Wantzel 1837 in seinem heute als allgemein gültigen WDT-Unmöglichbeweis verwendet, sind hier nicht im Spiel.
4.4.3.2.4. Dreifach simultanes Winkeldritteln mit quadratischer Parabel y=x2 bzw. y=2x2
Die folgenden Bilder gehen über die von Descartes dargelegten Zusammenhänge hinaus. Simultan werden Mit der Parabel p7 und einem Kreis k6 werden simultan vier Schnittpunkt erzeugt. Drei davon führen zu drei verschiedenen Winkeldrittelpunkten im Halbkreis. Die Dreifachsummen der drei mit Parabel p7 erzeugten verschieden großen Winkeldrittel (blau, grün, rot) treffen sich im gemeinsamen Punkt P=S3(k2xg3). Dieser begrenzt die drei Winkel α=∠B,M,S(k2xg3) und β=∠S(Yxk2),M,S(k2xg3) ; γ=∠S(-Xxk2),M,S(k2xg3) im Halbkreis (siehe obiges rechtes Bild). Der Winkel α reicht von Schnittpunkt S3(k2xg3) bis zur positiven X- Achse, Punkt B. Der Winkel β reicht von Schnittpunkt S3(k2xg3) bis zur positiven Y- Achse, Punkt S2(Yxk2). Der dritte Winkel γ reicht von S3(k2xg3) bis zur negativen X-Achse, Punkt S(Xxk2). Beschreibung der Konstruktion und Objekt-Bezeichnungen
Die mit Kreisen k1=0.5 und k2=1 sowie der Parabel y=2x2 dargestellten Zusammenhänge realisieren ein simultanes dreifaches Winkeldritteln im Halbkreis. Die geometrischen Zusammenhänge dreier Winkeldrittelpunkte im Halbkreis werden im rechten Teilbild durch eine Sehne nachvollziehbar. Diese tangiert den inneren Kreis k1 um M. Durch den Tangierungspunkt geht die Radiusstrecke M aus, die den Punkt des inneren Winkeldrittels β/3 auf Kreis k2 festlegt. Die tangierende Sehne endet jeweils außen am Kreis k2 mit den rechten roten Winkeldrittelpunkt S8(k2xg8) für α/3 und und den linken blauen Winkeldrittelpunkt S9(k2xg9) für γ/3.
Im linken Teilbild geben die Objektbezeichnungen die Konstruktionsfolge der Objekte an, wobei mit dem inneren Kreis k1 begonnen ist. Kreis k1 weist nur die halbe Radiusgröße des größeren Kreises k2 auf. Die Gerade g3=MS3 definiert mit seinem Schnittpunkt S3(k2,g3) die drei zu drittelnden Winkel α; β und γ. Konstruiert werden dann g4 und g5, deren Schnittpunkt S5(g4xg5) der Kreismittelpunkt für den roten Kreis k6 ist. Kreis k6 schneidet eine gegebene quadratische Parabel p7 in deren Scheitelpunkt M, der Ursprungspunkt M(XxY) ist, sowie drei weiteren Parabelpunkten S7.1(k6xp7); S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Durch diese Schittpunkte werden zur Y-Achse parallele Strecken g8=(S8,S7.1) ; g9=(S9,S7.2) und g10=(S7.3, S10) gezeichnet, um die Schnitppunkte S8(k2xg8), S9(k2xg9) und S10(k2xg10) zu erzeugen. Die Schnitppunkte S8(k2xg8) und S9(k2xg9) sind zugleich die Sehnen-Endpunkte, welche die äusseren Drittelpunkte S8 und S9 markieren.
Im rechten Teilbild ist mit den grünen vier Ausfüllkreisen zu erkennen, daß der Schnittpunkt S10(k2xg10) ein quasi inverser dritter Winkeldrittelpunkt S10.1(k2xg10) für β/3 ist. Die Schnittpunkte S8(k2xg8), S9(k2xg9) und S10.1(k2xg10) markieren drei verschiedene Drittelungswinkel α/3; β/3 und γ/3.
4.4.3.2.5. WDT-Grenzprozeß mit klassisch konstruierten Parabelpunkten
Mit folgendem Bild knüpfen wir an das eingangs erörterte Verfahren mit Parabel an, das aber allein mit Kreis- und Gerade-Objekten und ohne gegebene Parabel auskommt. Die im folgenden Bild gezeichnete gestrichelte blaue Parabelkurve p dient nur der Orientierung. Gezeichnet ist sie nicht vorhanden und wird auch nicht benötigt.
Der im Ergebnisbereich benötigte Parabelverlauf wird als Krümmungskreis k4 durch drei erst konstruierte exakte Parabelpunkte (schwarz,rot, schwarz) konstruiert. Sein Schnittpunkt S(k3,k4) führt mit einer parallel zur Y-Achse verlaufenden Strecke zum relevanten Winkeldrittelpunkt S(k2xg5) auf dem Grundkreis k2. Der rote dünne Radiusstrahl markiert die Winkeldrittelgröße α. Reicht die erreichte Genauigkeit noch nicht aus, kann jetzt ausgehend vom akuellen Zwischen-Ergebnispunkt eine sich wiederholende Lösungssequenz gestartet werden usw. Theoretisch weicht dieser autokonvergente Grenzprozess mit seinem Ergebnis nach endlos vielen Wiederholsequenzen nicht mehr vom exakten Winkeldrittel ab. Da hier dem Ziel unbeschränkt zugestrebt wird, ist es ein exaktes Verfahren und keine blose Näherung. Gleiche Wiederholsequenzen mit Kreis- und Gerade-Objekten machen es möglich, die Gesamtsequenz des Grenzprozesses mit einer endlichen Beschreibung vollständig darzulegen.
Zum Genauigkeitsvergleich dient die rote Gradzahl im Bild. Sie ist die verdreifachte gemessene Ergebniszahl in Grad. Auf diese Weise kann das Drittel-Ergebnis leichter mit der schwarzen Startzahl vom zu drittelnden Winkel verglichen werden.
Wie gezeigt, werden ausgehend vom Schnittpunkt S(p,k3) drei exkate Punkte F, E, G der stückweisen Parabel p klassich konstruiert. Dies gelingt mit einer endlichen Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten. Die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel haben wir an anderer Stelle schon mehrfach beschrieben. Sie kann aber auch aus obigem Konstruktionsbild eindeutig nachvollzogen werden. Der Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisgebiet wird durch die hier drei konstrierten Parabelpunkte F, E, und G gezeichnet. Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links neben dem Punkt E platziert. Sie sollen einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von Kreis k3 liegen.
Beim nächsten Bild wird ein zweistufiges Vorgehen gezeigt. Der 1. Zyklus bzw. die 1. Stufe ist rechts rot und der 2. Zyklus bzw. 2. Stufe ist links blau gezeigt. Gestartet wird der zweite Zyklus mit dem Zwischen-Ergebniswinkel aus dem 1. Zyklus (rot). Im 2. Zyklus wird bereits eine Ergebnisgenauigkeit erreicht, die über 15 wahre Nachkommastellen hinaus geht. Um wie viele kann hier nicht mehr erkannt werden, da die Rechengenauigkeit des verwendeten Geogebra-Programms nur 15 Nachkommastellen leistet.
4.4.4. Zweifel am wantzelschen WDT-Unmöglich-Beweis
4.4.5.1. Kernthese:
Seit 1837 gilt der Beweis von Pierre Wantzel als unerschütterlicher Eckstein der klassischen Geometrie: Mit Zirkel und Lineal sei das exakte Winkeldritteln unmöglich. Doch dieser Beweis beruht auf einer methodischen Einschränkung. Wantzel erkennt nur jene Konstruktionen als exakt an, die als endliche Sequenz von Kreis- und Gerade- Kurven erzeugt werden.
In der cohaerentischen Geometrie dagegen sind Kreise, Geraden und Parabeln keine Werkzeuge, sondern elementare Funktionsformen zu den Grundoperationen des Rechnens. Jede Kurve steht für einen stetigen Zusammenhang zwischen Größen. Sobald diese gegebene funktionale Ebene nicht mehr willkürlich eingeschränkt wird, verliert der wantzelsche Beweis seinen unbeschränkten Gültigkeitsbreich: Wantzel beweist keine geometrische, sondern eine zahlentechnische Grenze des Möglichen. Rechnen ist als geometrisch konstruertes Rechnen auch ohne Zahlen, als fortlaufender Zusammenhang von Operationen, möglich. Ganz ohne diskrete Schritte kommt man hier auch nicht aus. Die Schritt-für-Schritt-Verläufe sind etwas Ursprüngliches, wie der Herzschlag und nicht abgeleitet aus Zahlen. Vom lebendigen Ablauf wird erst nachträglich zu Zahlen und einem Zahlenraster abstrahiert.
Das WDT-Unmöglich-Ergebnis von Wantzel (1837) besagt: Winkeldritteln ist mit endlich viel konstruierten Kurvenobjekten von Kreis- und Gerade unmöglich. Endlose Grenzprozesse mit konstruierten Wiederholsequenzen von Lineal - und Kreis-Objektem hat Wantzel nicht betrachtet und macht dann dazu auch keine konkrete Aussage über mögliches WDT oder nicht. Neuere Konstruktionen zeigen hierzu sogar mehrere verschiedene exakte Z&L-Lösungwege, die vom Prinzip her bis ins Unendliche nachverfolgbare geometrisch konstruierte Z&L-Sequenzen sind, wie:
- WDT mit Halbierungen, die N.Fialkowski 1860 veröffentlicht. Nikolaus Fialkowski Theilung des Winkels und des Kreises, Wien, Druch un d Verlag von Carl Gerolds-Sohn 1860
- WDT mit Zielfigur/-gestalt und ihre zustrebende Lösungsfigur/-gestalt, realisiert durch einen konstr.uierten Grenzprozeß.
- WDT mit Parabeln y=x^2 und y=x^3, die nach gleichem Prinzip wie die exakte Gerade und exakter Kreis konstruiert werden. Ein neues Werkzeug oder ein neues Kostruktionsprinzip wird dabei nicht hinzu genommen.
4.4.5.2. Descartes (1637 ) vs. Wantzel (1837):
Im Widerspruch zu Wantzels Unmöglichbeweis von 1837 steht das im Jahr 1637 veröffentlichten Buch "La Geometria" von Descartes. Vorgestellt wird darin ein Winkeldritteln (WDT) mit Lösungsgleichungen vom 2. Grad. Dieser Sachverhalt steht im gewissen doppelten Widerspruch zu den wantzelschen Einsichten:
- Descartes (1637) ging in seiner analytischen Geometrie davon aus, dass jede geometrische Aufgabe, also auch das Winkeldritteln, auf eine algebraische Gleichung zurückgeführt werden kann. In seinem Denken ist die Geometrie durch elementare Gleichungen beschreibbar, die in den elementare Kurven wie Gerade, Kreis, Parablen, Hyperbeln verschiedene Gestalt annehmen. Descartes sieht die abhängigen Variablenpunkte dieser höheren Kurven in keiner anderen Abhängigkeit als dies bei Gerade und Kreis der Fall ist. Descartes Geometriebegriff kennt keine Einschränkungen auf nur die Kurventypen Gerade und Kreis. Ohne diese Einschränkungen gelingt ihm mit einer gegebenen Parabel y=2x2 das Dreiteilen eines beliebigen Winkels in drei gleiche Teile nach endlich vielen Schritten .
- Wantzel (1837) hingegen argumentierte mit einem rein algebraischen, innerhalb der Zahlentheorie angesiedelten Geometrieverständnisses. Wantzel zeigte, dass die Gleichung, die ein Winkeldritteln eines beliebigen Winkels beschreibt, im Allgemeinen ein kubische Gleichung sein muß. Da solche Gleichungen nicht durch Radikale lösbar sind, schloss er daraus: Das exakte Winkeldritteln ist allein mit Zirkel und Lineal unmöglich.
Descartes Winkeldritteln mit Parabel y=2x2 von 1637 steht somit im Widerspruch zu Wantzels Einsichten von 1837. Dieser Widerspruch löst sich auf, wenn beachtet wird, daß Descartes und Wantzel von unterschiedlichen Geometriebegriffen ausgehen:
-
Für Descartes ist ein geometrische Objekt real, wenn es durch klassich konstruierbare Sequenzen von Gerade-Kreis-Objektet erzeugt werden kann, wie z.B. die Parabelpunkte y=x2.
-
Für Wantzel ist ein geometrisches Objekt nur dann real, wenn es in das Zahlraster der algebraisch (quadratisch) konstruierbaren Punkte fällt.
In moderner Sicht widersprechen sich die beiden also nicht in der Logik, sondern in der Grundannahme, was Geometrie überhaupt bedeutet:
-
Descartes’ Geometrie ist von Natur aus uneingeschränkt kontinuierlich und funktional. Ihre stetigen funktionale Zusammenhänge (Beziehungen) haben natürliche Rechengrößen, die keine Zahlen sind.
-
Wantzels Geometrie ist arithmetisch. Punkte werden als „existent“ anerkannt, die durch endliche Rechenoperationen im gequantelten Zahlenraum mit Zahlen erreichbar sind (kostruierbare Zehlen).
Cohaerentischen Geometrie sieht sich in der Tradition des descartschen Geometrie-Verständnisses.
- Descartes nutzt die gegebenen inhärenten natürlichen Kohärenz-Möglichkeit (Kurven) im Kontinuum. Willkürliche Einschränken bei den inhärenten Kurventypen macht er nicht. weil er keinen Grund dafür sieht. Descartes hat mit konkreter exakter Konstruktion mit gegebener Parabel y=2x2 eine exakte Winkedreiteilung mit endlich vielen Schritten vorgezeigt.
- Wantzel nutzt die Möglichkeit im Kontinuum der Kurven, macht aber willkürliche Einschränken, indem er das Zahlraster als zielentscheident ins Spiel einbringt und dafür weitere Einschränkung bei den Kurventypen auf nur Gerade- und Kreis-Kurve machen muß. Mit seinen Randbedingungen beweist Wantzel eine nur eingeschränkte "WDT-Unmöglichkeit" innerhalb des Zahlrasters.
4.4.5.3. Streitpunkt: "Kurvenkonstruktion und Einschränken bei Kurventypen"
Cohaerentische Geometrie sieht sich in der Tradition zum descartschen "Geomtrievertändnis" und unterscheidet sich von der bekannten klassichen Geometrie insbesondere in dem Verständnis, wie eine elementare Kurve von Gerade, Kreis, Parabel, Hyperbel usw. als mathematisch exakte Kurve erzeugt und bereitgestellt wird? Unterschiede gibt es auch im Verständnis, was das konstruierte Winkeldritteln für eine Art von Prozeß ist?
- Das Problem, Art von Prozess: Die cohaerentische Sicht: Für einen zu drittelnden Winkel gibt es bei einer Quantifizierung mit nur endlich vielen Schritte keine fehlerfrei abbildende Zahl und erst bei endlos vielen Schritten nähert sich der Restfehler dem Nichts, der Null. Dieser allegemiene Sachverhalt trifft dann auch für die Größe eines gedrittelten Winkels zu. Dafür braucht es keine weiteren Beweise. Die mit Lineal- und Kreis-Objekten konstruiertes Winkeldrittel erreichen mit endlich vielen L&K-Objekten nur eine unvollständige fehelrbehaftete Größendarstellung, als Zahl. Die coharentische Sichtweis ist auf die verschiedenen möglichen unendlichen Prozesse gerichtet, die als konstruierte Grenzprozesse tatsächlich unbeschränkt der theoretischen existierenden Winkeldrittelgröße zustreben. Bei cohaerentischer Betrchtung wird nicht zur Einsicht gelangt, warum Wantzel seinen Unmöglichbeweis führt, obwohl die Betrachtung des Problems Quantifizierens hier zu einem allgemeineren "Unmöglich" führt?
- Problem, wie wird zu exakten Kurvenverläufen gelangt? Die real gezeichneten Kreise und Geraden sind immer fehlerbehaftet? Hier kommt der "bahngesteurte" Spurpunkt ins Spiel, welcher in gedanklicher Abstraktion exakte elementare Funktionskurven als Gerade, Kreis, Parabel usw. zeichnet. Dazu bedarf es eines jeweils konkret aktiven linearen, quadratischen, kreisförmigen, parabelförmigen Zusammenhangs. Im Rahmen des klassichen Geometrieverständnisses wird bei Kreis- und Geradekurve diese prinzipelle Erzeugungsart als selbstverständlich hingenommen und bleibt weitgehend unangesprochen. Diese gleiche funktionsgesteuerte Kurvenerzeugung ist auch für die Kurven Parabel, Hyperbel usw. gegeben. Jetzt aber kommt eine, mathematisch nicht begründbare Ungleichbehandlung. In der klassichen Geometrie wird willkürlich der Katalog der verfügbaren elementaren Funktionen auf Gerade und Kreis eingekürzt und die Parabeln als unzulässig ausgeschlossen. Begründet wird dies mit, alle diese über Kreis und Gerade hinausgehenden Kurventypen können nicht als lückenlose (kontinuierliche) Linien wie bei Gerade und Kreis erzeugt werden, was nicht stimmt. Die mathematisch exakte Kreis- und Geradekurve werden nicht wirklich durch die realen Werkteuge erzeugt, sondern funktionsgesteuert, wie auch die Parabelkurven y=x^2 und y=x^3. Wie diese Erzeugung mit cohaerentischen Wissen möglich ist, wird im Kapitel 3.1.3. Multi-Produkte ( https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu/mugre) und hier im Unterabschtitt 4.4.3.2.5. Klassische Konstruktion der Parabeln y=x3 (rot) und y=x2 (blau) ausführlich dargelegt. Damit fällt der Grund weg, die Parabeln von dieser prinzipiellen Möglichkeit der Kurvenerzeugung auszuschließen Die historisch entstandene Ungleichbehandlung der elementaren Kurven ist heute nicht mehr gerechtfertigt.
Kernpunkt: In der Literatur werden immer wieder die Parabel-Ausschlüsse damit begründet, daß die Parabel ein nicht zugelassenes Werzeug sei. Nach cohaerentischer Sicht sind Gerade, Kreis, Parabel usw. keine Werkzeuge, sondern verschiedene Funktonskurven.
4.4.5.4. Descartes WDT von 1637 mit Parabel y=2x2
Aus dem Buch "La Geometria "von 1637 des berühmten René Descartes (1596-1650) geht hervor, das ein exaktes Winkeldritteln auf der Grundlage von Gleichung vom 2. Grad möglich ist.
Ein Teil der Fachwelt sieht die descartessche Lösung heute immer noch als nur eine Näherung. Deshalb abstrahiert das KI-Portal "frage.de"09.12 .2024 aus dem angelernten Wissen zum wantzelschen "Unmöglich- Beweis":
"Ja, das Descartes-Winkeldritteln kann nur genähert mit einer quadratischen Parabel gelöst werden. Laut Wantzel ist es nicht möglich, Winkel mit nur einem Zirkel und einem Lineal exakt zu dritteln, da dies eine Lösung einer Gleichung dritten Grades erfordert. Die Verwendung einer quadratischen Parabel ermöglicht lediglich eine Annäherung an die Lösung, jedoch keine exakte Lösung des Problems. [x]"
Descartes gelangte nach endlich vielen Schritten zu einer vollständig konstruierten Größendarstellung eines dreigeteilten Winkels zwischen den Punkten P und N, wie das Bild im Buch "La Geometrie", auf Seite 399 zeigt.
Eine vollständig konstruierte anschaulich nachvollziebare Lösungssequenz von Kreis und Gerade-Objekten ist auf Seite 399 allerdings nicht zu erkennen. Erschwerend ist, es gibt keine übereinstimmenden gemeinsamen Buchstaben-Symbole in der linken und rechten Teilkonstruktion. Beim obigen rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel ∠PON und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT, ∠TOQ und ∠QON zu erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das anschauliche Verständnis zum konstruierten Zusammenhang behindert. So ist aus dem linken Teilbild heraus kein Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen. Die von Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat offenbar dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß lange in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind unter dem Suchwort "Dreiteilung des Winkels" viele Lösungsversuche gesammelt und ausführlich besprochen. Die Lösung von Descartes ist dabei nur kurz erwähnt. Das obige Bild von Descartes ist dort ganz weggelassen und bleibt unbetrachtet und unerklärt, so daß unter "Dreiteilung des Winkels" die besondere Bedeutung des exakten Lösungsprozesses mit Lösungsgleichungen vom 2.Grad nicht thematisiert wird.
4.4.5.5. Wantzels WDT-Unmöglich-Beweis von 1837
4.4.5.5.1. Wantzel erkannt ein Ergebnis-Darstellungsproblem im Zahlensystem
Das klassische von Wantzel 1837 erarbeitete „Unmöglichkeitsurteil“ des Winkeldrittelns beruht auf der Reduktion zur kubischen Gleichung cos (3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw. sin (3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α). In der cohaerentischen Geometrie zeigt sich hingegen, auch neben dem kubischen Zusammenhang y=x3 gibt es quadratische Zusammenhang des Drittelns mit y=ax2 für α <-> 3α.
Wantzel deckt anhand seines untersuchten Z&L-Winkeldrittelns ein Ergebnis-Darstellungsproblem im Zahlensystem auf. Er sieht, mit endlich vielen Z&L-Schritten können Ergebnispunkte zwischen Rasterpunkten (konstruierbare Zahlen) nicht erreicht werden, was er zum generellen Unmöglich abstrahiert, auch für konstruierte Grenzprozesse angenommen wird. Diese Annahme wird aber schon mit Fialkowski´s Grenzprozeß- Winkeldrittel widerlegt (1860) widerlegt, was später noch im Detail vorgestellt wird.
Quantisierung
Auch folgendes Gedankenspiel kommt zu diesem Ergebnis des Nichterreichens. Die Quantisierung ist nicht nur ein physikalisches Problem. Auch in der Geometrie gibt es für jede beliebig gegebenen Winkelgröße vom Prinzip her keine diskrete vollständig abbildenden Zahldarstellung. Es bleibt immer ein Restfehler, auch Quantisierungsfehler genannt. Wird nun diese beliebige Winkelgröße, für die es keine vollständig abbildende Zahl gibt, gedrittelt, (z.B. mit Parabelhilfe y=xN N=2, 3 ), hat die Ergebnis-Winkeldrittelgröße zwar eine diskrete konstruierte Größe, aber keine dafür vollständig abbildende Zahl. Die klassische Sichtweise folgert daraus: Wenn es keine Ergebniszahl gibt, dann folgt daraus, daß es auch keinen Winkeldrittelprozeß gibt und solcher Prozeß unmöglich ist.
Mehr Erklärung
"Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von
Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine
algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine
konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen".
Offenbar kannte Wantzel das im Jahr 1637 veröffentlichte Buch "La Geometrie" von Rennè Descartes (1596-1650) nicht, das im Widerspruch zu seiner Beweis-Einsicht von 1837 steht. Descartes gelangt mit Zussammenhanggleichungen bzw. Kurven vom 2.Grad (Parabel y=2x2) nach endlich vielen Schritten zu einer vollständigen Größendarstellung des exakten Winkeldrittels. Im Buch S.Schleicher "Cohaerentic", ISBN 9783982026216 steht deshalb auf Seite 302:
"Wir erkennen am descartschen Winkeldritteln, welches Zusammenhanggleichungen vom 2.Grad zur Grundlage nimmt, dass der wantzelsche Unmöglich-Beweis nicht so allgemein gültig ist, wie es einst erwartet und heute gelehrt wird".
4.4.5.5.2. Konkrete Lösungkonstruktionen mit der wantzelschen Dreiteilungsgleichung
Konkrete Lösungkonstruktionen bei denen Wantzels Lösungsgleichungen vom 3. Grad
cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α) bzw.
sin (β=3α) =3 sin (α) - 4 sin3(α), der Kostruktionsplan sind, erstellen Wantzel und auch Andere nicht. Um die geometrischen Kohärenzen tiefergehend verstehen zu können realisieren wir hier solche Konstruktionen. Unsere folgenden Kostruktionsbilder machen dieses tiefergehende Verstehen möglich. Anhand der textlichen Zuordnungen der konstruierten Objekte zu den Gleichungsgrößen, wie z.B. sin α = JB=MP , kann alles anschaulich nachvollzogen werden. Bei den ersten beiden Konstruktionen ist vorausgesetzt, daß die kubische Kurve y=x
3 bereits vollständig gezeichnet vorliegt. Sie kann zwar mit einem zusätzlichen Werkzeug Schablone im 1. und 3. Quadranten gezeichnet werden. Das mit der gedachten fehlerlosen Schablone ist hier gleichbedeutend mit, die Parabel y=x^2 liegt als gegebene fehlerlose Funktionskurve vor. Dies kann in der geometrischen Realität mit einer Parabel-Schablone aber nicht erreicht werden. Die reale Schablone ist immer ein fehlerhaftet.
Konstruktionsbeschreibung: Die erste Konstruktionen gilt für eine (sin 3α)-Kohärenz und die zweite für eine (cos 3α)-Kohärenz. In beiden Fällen ist der Lösungszusammenhang allerdings nur unidirektional von Winkel α zu Winkel 3α gegeben. Die Umkehrung in der Objekt- Abfolge zwecks Winkeldrittelung vom Winkel 3α nach Winkel α ist, wie beide obigen Konstruktionen zeigen, nicht möglich. Warum dieser Lösungsweg unmöglich ist, wird konkret am zweiten Bild erklärt. In rückwärtiger Abfolge ist zwar die Strecke CK und der Kreisbogen KMO, den die Punkte K und O begrenzen, konstruierbar. Der dann von Punkt O aus rückwärts folgende Kreisbogen ist nicht konstruierbar, denn es fehlt dafür die konkrete Raduisgröße. Diese Radiusgröße NL= cos α wird nur für die andere Kohärenzrichtung erzeugt. Wantzels Einsicht und Erwartung zu seinen Gleichungen vom 3. Grad war offenbar die Folgende. Er betrachtete seine Zusammenhänge zum Winkeldritteln als exakt und einzigartig zutreffend. So sah er weitere Betrachtungen zu eventuell noch anderen möglichen Lösungskohärenzen als obselet.
Dabei spielte offenbar auch eine Rolle, daß Kenntnisse zu mit Zirkel und Lineal ausführbaren Konstruktionen begrenzt waren. So wurden in der klassischenGeometrie bis heute noch, nicht alle Parabelpunkte y=x^2 und y=x^3 als prizipiell konstruierbar angesehen. Zum mechanischen Zeichnen einer durchgängigen Kurve bedürfe es daher einer Schablone. Sie sei ein zusätzliches Werkzeug über die Werkzeuge Zirkel und Lineal hinaus. Unsere obigen beiden Konstruktionen zeigen anschaulich, trotz der Nutzung eines weiteren Werkzeuges "Schablone" für y=x3 gibt es hier nach endlich vielen Schritten keine vollständig abgeschlossene Lösungskonstruktionen von 3α nach α .
Parabelkonstruktion ohne Schablone
Was ist aber, wenn alle Punkte der Parabel y=x3 und auch y=x2 vom Prinzip her allein mit Zirkel und Lineal bzw. als endliche Sequenz zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte konstruiert werden können? Weil dies der Fall ist, können vom Prinzip her auch alle Parabelpunkte ohne Schablone und ohne zusätzliches Werkzeug konstruiert werden. Die folgenden vier endlichen Konstruktionen zum Winkelverdreifachen sind Beispiele dafür, daß beliebige Parabelpunkt für y=x3 und auch y=x2 allein mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Für das mögliche oder unmögliche konstruierbare Winkeldritteln sind keine weiteren Werkzeuge entscheident, sondern die geometrische-mathematischen Zusammenhänge mit ihren anschaulich nachvollziehbaren Eigenschaften.
Zeigt Wantzels "Unmöglich-Beweis", der mit Gleichungen vom 3.Grad, geführt wird, daß für diese Zusammenhänge vom 3.Grad mit endlichen Schritten kein vollständiges Winkeldrittel-Größenabbild kostruiert werden kann, wie wie wir es auch anhand unserer vorangegangenen konkreten Konstruktionen erkannt haben.
Andererseit erkennen wir, mit Gleichungen vom 2.Grad, wie sie Descartes in seinem Buch La Geometria von 1637 nutzt, ist mit endlich vielen Schritten ein vollständig konstruiertes Winkeldrittel-Größenabbild möglich. Damit trifft Wantzels "WDT-Unmöglich", gestützt auf Gleichungen vom 3.Grad nicht auf Descartes mögliches Winkeldritteln mit Gleichungen 2. Grad (quadratische Parabel ) zu. Hier istes mit den Zutreffen, ob ja un ob neien, nicht?
4.4.5.5.3. Lassen sich die wantzelschen Gleichungen vom 3. Grad in solche vom 2. Grad überführen?
Dies scheint mit der 1. Ableitung möglich und führt zu
4 (sin α)(cos2 α) - sin α = sin 3α und 4(cos α)(sin2α) - cos α = cos 3α .
Formal sind die beiden Gleichungen richtig. Treffen sie aber auch für eine ausgeführte Konstruktion immer noch zu? Zur Überprüfung nutzen wir dies Gleichungen als Pläne für nachfolgende zwei Konstruktionen. Sie leisten tatsächlich immer noch ein exaktes Winkelverdreifachen, so wie ihre Ursprungsgleichungen vom 3.Grad.
Sogenannten drittelbare Winkegrößen als Ausnahme:
Die Winkel 180°, 90°, 45° usw. werden heute als sogenannten drittelbaren Winkel bezeichnet und gelehrt. Mit einem konstruierten allgemeinen Winkeldritteln seien 180° auf 60° und 90° auf 30° drittelbar. Ein konstruiertes allgemeines Winkeldrittelverfahren ohne Parabel, welches die Ausnahmewinkel drittelt, gibt es aber nicht. Die Drittelg3rößen von 60° und 30° ... sind autonom konstruierbare Grundgrößen, die nicht von 180° und 90° abgeleitet sind. Sie können für sich allein konstruiert werden und sind zufälligerweise Winkeldrittelgröße zu 60°und zu 30°. Entscheident ist, 60° und 30° sind sie keine mit endlich vielen Schrotten konstruiert abgeleitete Winkeldrittelgrößen zu 180° und zu 90°. Die gelehrten drittelbare Ausnahmewinkel bzw. ihre Ausnahmezahlen gibt es gar nicht.
Quantisierungsfehler:
Wir bringen hier noch einen Sachverhalt ins Spiel, der "prinzipieller Quantisierungsfehler" heißt. Er macht vollständige Größenabbilder aus einer konstruierten Sequenz endlich vieler Kreis- und Gerade-Objekte unmöglich. So auch solche für beliebige Winkel und ihre Winkeldrittel. Dieses generelle Unmöglich ist ein natürlicher Sachverhalt, der im Zusammenhang mit Winkeldritteln bisher unbetrachtet und unberücksichtigt ist. Dies führt zur Verwirrung und Verständnisproblem: Winkeldritteln allein mit Gerade und Kreiskurve ist ein endloser Prozeß, der bei Abbruch mit dem Zusammensetzen der darzustellden Winkedrittgröße noch nicht am Ende ist. Winkeldritteln allein mit Gerade-, Kreis- und Parabelkurve ist ein endlicher Prozeß.
Das mit endlich vielen Objekten konstruierte Winkeldrittel ist immer nur eine unvollstänig dargestellte Abbildgröße für das Winkeldrittel, wie auch beim prizipiellen Quantisierungsfehler. Das bedeutet aber nicht, daß Konstruktionsprozesse des Winkeldrittelns, die dem Winkeldrittelpunkt exakt und unbeschränkt zustreben, unmöglich sind.
4.4.5.5.4. Gültigkeitsgrenzen des wantzelschen Unmöglich-Beweises:
Wir halten hier nochmal fest: Die zielführenden Lösungszusammenhänge vom 2. Grad zum konstruierten endlichen Winkeldritteln liegen ausserhalb des Geltungsbereichs zum wantzelschen "Unmöglich-Beweis, der sich mit unmöglich offenbar auf konstruierte Winkedrittelungen mit Gleichungen vom 3.Grad und den Kurven Kreis und Gerade bezieht. Über konstruierte Winkeldrittelungen mit Gleichungen vom 3.Grad und den Kurven Gerade, Kreis und Parabel macht Wantzel keine Aussagen.
Z&L-konstruierte Grenzprozesse zum WDT:
Betrachtunge zu Z&L-konstruierten Grenzprozessen für das WDT führt Wantzel nicht. So kann er auch nicht erkennen, wie damit geordnet schon mit Wiederholsequenzen aus jeweils wenigen Kreis-und Gerade-Objekten der exakten Grenzgröße= Winkeldrittelgröße unbeschränkt zugestreb wird und dies keine bloße Näherung ist.
Präzisierung der WDT-Zielstellung, die auch Z&L-konstrueirte Grenzprozesse zuläßt.
Neue Einsichte zum Winkeldritteln machen eine Präzisierung der WDT-Zielstellung erforderlich:
- Die neuen gesuchten Z&L-Lösungswege sollen geometrisch anschaulich und bie ins Endlose nachvollziehbar sein.
- Die allein mit Sequenzen aus Gerade- und Kreiskruven konstruierten Winkeldrittel-Zwischenergebnisse der Grenprozesse sollen als konstruierte Punktefolge mit einer starken Konvergenz dem Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt autokonvergent zustreben.
- Anders als bei den immer möglichen Lösungsverfahren des Probierens und der "brutalen Gewalt" soll mit den Z&L-konstruierten Grenzprozessen" schon mit wenigen Wiederholzyklen eine so genaue Ergebnisgrößen erzeugt werden, die alle Anforderungen der Praxis erfüllen. Noch späteres Abbrechen ist zwar möglich, wird aber als sinnlose Aktion erkannt, als eine Vergeudung von Recourcen. Es wird hier also eine hohe Effizienz angestrebt.
-
Ein exakter Winkeldrittelpunkt ist kein Schnittpunkt zweier Geraden oder zweier Kreise oder von Gerade und Kreis, sondern von Gerade und Parabel y=x^3 oder Kreis und Parabel y=x^2. Später zeigen wir noch, im Halbkreis gibt es drei Schnittpunkte für drei Winkeldrittelpunkte.
4.4.5.6. Winkeldritteln durch Grenzprozess mit Halbierungen
Nicolaus Fialkowski (1818-1902) war ein österreichischer Mathematiker, der in seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12 einen exakten Grenzprozeß zum Winkeldreiteilen durch fortgesetzt konstruiertes Halbieren veröffentlichte. Dabei wird eine immer dichtere Punktefolge erzeugt, die gesetzmässig ihrem Grenzpunkt, dem exakten Winkeldrittelpunkt zustrebt.
Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und bleibt damit "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen klassich exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" ist hier deshalb etwas widersprüchlich und weniger zutreffend als der Begriff exakter Grenzprozeß. Bei diesem ist das gedachte exakte Grenzpunkt-Ergebnis = Winkeldrittelpunkt in Gedanken, sprich theoretisch, nach endlos vielen Schritten erreicht.
Die Ergebnis-Darstellung ist hier mit endlich vielen Schritten niemals ganz vollständig als Zusammensetzung erzeugbar. Trotzem ist ihr Erzeugungsprozeß ein exakter unbeschränkter Konstruktionsprozeß und kein genähert beschränkter, wie die häufig zitierte Streckenkonstruktion des genäherte Kreisverhältnisses π, die vom polnischen Mathematiker Adam Kochanski (1631-1700) im Jahre 1647 veröffentlicht wurde.
Zum besseren Verständnis müssen wir hier auch das Problem der Quantisierung betrachten. Dazu ist bei Wikipedia 7.11.2024 unter Suchwort " "Quantisierungsabweichung" zu lesen:
"Die Quantisierungsabweichung oder der Quantisierungsfehler ist die Abweichung, die bei der Quantisierung von analogen Größen entsteht (z. B. bei der Analog-Digital-Umsetzung). Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung nur diskrete Werte verwendet.
Fialkowski erkennt ganz klar, sein Winkelteilen ist quasi ein konstruiertes exaktes Berechnen, bei dem mit mehr Schritten die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:
"Mann kann durch fortgetztes Halbiren der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".
Leider trägt Fialkowski selbst zu einem schnelles Vergessen seines erfundenen exakten Winkeldrittel-Grenzprozesses bei. Er schreibt hierzu:
"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."
Theoriefindung zum Winkeldritteln mit Halbierungs-Grenzprozeß
Bei der Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt Fialkowski in seinem Buch auch den Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der eine Konchiode für das Winkeldritteln ins Spiel bringt. Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski dann:
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man: ... α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
Schliesslich leitet Fialkowski daraus die 1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;" her und schreibt:
" ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
Verkürzte Halbierungs-WDT durch ein nachgeschaltetes konstruiertes Dritteln
Das Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um eine nachgeschaltetes klassisch konstruiertes Dritteln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende Bild zeigt einen hierfür genutzten Zusammenhang.
In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.
Geometrische Konstruktion als Berechnungsplan, auch für Grenzprozesse
Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir die Sequenz der klassiche konstruierten Kreis- Gerade-und auch Parabel-Objekte, mit denen durch Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreibbar sind. Die Gesamtheit der Teilrechengänge sind als endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem ein Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird. Durch ein hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel zu einem klassisch konstruierten Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist, der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein.
Eine real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan, denn sie beschreibt alle Schritt-Aktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen). Da dieses Fortsetzen theoretisch endlos möglich ist, gibt es keine Beschränkung, sodaß von einem unbeschränkten Prozeß gesprochen wird. Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen schon nach 7 Halbierungen.
Beim nächsten Bild werden von innen nach außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden. Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach 4 und außen nach 5.
Beim folgenden Bild erleichtert die von Innen nach Außen gezeichnet Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild gibt es keine nachgeschaltetes geometrisches Dritteln. So wird hier erst nach 11 Halbierungen eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von wenigel als 1/1000 Grad erreicht.
Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seinen Winkeldrittelungen durch Halbieren:
"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
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