Cohaerentic - Uncategorised

Uncategorised

Exaktes Winkedritteln mit klassich konstruierten Grenzprozessen

Anhand der in unterschiedlichen Ausprägungen überlieferten Neusis-Konstruktionen zum Winkeldritteln erkennen wir tiefer liegenden Zusammehänge und abstrahieren für die unterschiedlichen Ausprägungen ein gemeinsames Kohärenzmodell. Dieses nennen wir Zielgestalt". Bei dieser Zielgestalt ist zunächst ein gegebener Winkel verdreifacht konstruiert, so daß es bei rückwärts gerichteter Betrachtung auch eine Kohärenz zur abgeleiteten Winkeldrittelgröße gibt. Die gesuchte Gestalt der Lösungskonstruktion muß mit der Zielgestalt in konforme Übereinstimmung gebracht werden. Dazu wird mit einer Bewegung "Drehung" oder auch "Verschiebung und Drehing" ausgeführt.

Die im Folgenden gezeigte Cohaerentic-Zielgestalt, die auch beliebig große zu drittelnde Winkel direkt zuläßt, liegt eine Kohärenzstruktur zugrunde, welche wir als eine Kreuzschleifen-Konstruktion erkennen. Bei ihr rotiert um den Ursprungspunkt U der Koordinatenachsen X und Y eine grüne Radiusstrecke r mit den Endpunkten U und D1. Abhängig davon gleitet der rote Kreuzschleifenbalken von doppelter Größe zur Radiusstreck r mit seinen Endpunkten A und B an den karthesischen Achsgeraden X und Y. Mit dem Mittelpunkt M wird dabei eine Kreiskurve um den System-Ursprungspunkt U als Spur geschrieben. Dieses Kohärenzmodell beschreibt mit den 4 Bildern den besagten Winkelzusammenhang. Der grüne Radiusstrahl für den zu drittelnden Winkel kann dabei in den Quadranten 1 bis 4 liegen.

Die Richtung des Kreuzschleifenbalkens stimmt dabei immer mit der Richtung der Radiusstrecke der Winkedrittelgröße überein. Diese besonder Kohärenzeigenschaft abstrahieren wir zu einer weiteren Zielgestalt einer im Kreis liegenden Streckenzug-Zielgestalt.

Die auf dem Grundkreis liegenden Winkelmarkierungspunkkte sind durch einen innen liegenden Streckenzug aus 4 schwarzen Strecken verbunden. Jeweils zwei Strecken sind zueinander parallel.

Zum nachvollziehbaren Verständnis zeigen wir nun noch weitere 4 Bilder. Hier markiert die blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke den gesuchten Drittelwinkel. Der 3-er Zusammenhanng ist hier anhand der beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke, rot und grün, anschaulich nachvollziehbar.

Unser im Rahmen der Cohaerentic-Betrachtungen verfolgtes Ziel ist es, für die drei klassichen Konstruktionsprobleme die konstruierten Grenzprozesse mit kurzen Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten realisierbar zu machen. Unsere Lösungskonstruktion startet vom Punkt D aus und strebt dem Winkeldrittelpunkt C der Zielgestalt zu.

Der notwendige Neusis-Prozeß ist hier eine Drehung des Kreuzschleifen-Balkens in Punkt D. Die Drehung ist am Ziel, wenn bei der Lösungskonstruktion die Balken-Richtung mit der Balken-Richtung der Zielgestalt in konkruente Übereinstimmung (Deckung) gebracht ist. Der innen liegende Streckenzug hat 2 Paare paraller Strecken erreicht. Wie mit klassich konstruierten Grenzprozessen diese notwendige Drehung realisiert wird, wird später unter "Winkeldritteln" noch ausführlich dargelegt werden. Zwar ist der Umfang der ausführbaren Schritt vom Prinzip her unbeschränkt, wird aber nach wenigen Schritten mit Erreichen einer praktikablen Genauigkeit beendet.

Während bei den originalen Neusis-Prozessen offen bleibt, wie die notwendige Geraden-Drehung um Punkt D realsiert wird, ist dies beim Cohaerentic- Winkeldritteln mit Kreuzschleifen-Grenzprozeß nicht der Fall. Hier wird die zu konstruierende Lösungs-Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten exakt benannt.

Multifaches Winkeldritteln

Wir zeigen hier zuerst ein klassisch konstruiertes Kohärenzsystem zu einer gesetzmäßigen 3er-Winkelkohärenz im Viertelkreis, Halbkreis und Vollkreis. Es vermittelt die Gewissheit, daß es solche konstruierbare Kohärenzzsysteme auch für das klassisch konstruierte Winkeldritteln gibt. Die ersten beiden Bilder zeigen die Situation des Zusammenhängens der mehrfachen Winkel-Drittelungen (blaue, rote und grüne Kreise auf der Grundkreislinie für den Viertelkreis und den Halbkreis.

Je nach Betrachtung füllen zwei Blöcke ungleicher Winkelgrößen α und β den Viertellkreis aus und auch den Halbkreis, sowie auch den Vollkreis. Die beiden Winkelgrößen werden in gleiche Winkelgrößen (1/3)α und (1/3)β unterteilt. Die obigen beiden Bilder sind nahezu selbsterklärend. Die den Halbkreis ausfüllenden zwei Winkelblöcke haben jeweils Sektoren rot, grün und blau und schwach rot, schwach grün und schwach blau, wobei die Sektoren rot und schwach blau über den innenliegenden roten Kreis von halber Radiusgröße des Grundkreises und tangierender blauer Sehne zusammenhängen.

Das folgende Bild zeigt, wie sich duch Symmetrie die Drittelung auch auch in dem zweiten Halbkreis fortsetzt.

Wie ist hier ein exaktes Verfahren zum klassich konstruierten Winkeldrittln zu finden? Wir wissen, es muss ein klassich konstruierter Grenzprozeß sein. Welche sind dazu bekannt? Welche sind so effizient, dass sie praktisch verwertet werden können? Hier kommt der Begriff "Effizienz" ins Spiel. Beim Internet-Lexikon Wikipedia lesen wir dazu:

"Was ist Effizienz? Effizienz bedeutet, Dinge „richtig“ zu machen. Das kann bedeuten, dass Sie schneller arbeiten, mit weniger Ressourcen auskommen, große Projekte mit einem geringem Aufwand umsetzen oder umgekehrt, „mehr“ mit „weniger“ schaffen.23.02.2024"

Klassisch konstruierte Grenzprozesse fehlen in den ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Wegen der Vorbildwirkung der ELEMENTE bleiben sie bis heute unbeachtet und nahezu unbetrachtet. So auch für das Winkeldritteln. Sie fehlen daher auch der Internet - Enzyklopädie Wikipedia. Seit dem Jahr 1837, als P. Wantzel seinen berühmten Beweis zur Unmöglichkeit der klassisch konstruierten Winkeldreitelung veröffentlichte, gilt es als erwiesen, daß es solche nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierten Zusammenhänge nicht geben könne und ihre Betrachtung nur vergeudete Zeit ist. Wantzel erkennt, es bedarf der Lösung einer Gleichung vom 3. Grad. Kreis-Gerade-Konstruktionen können aber nur Gleichungen vom 2. Grad lösen.

Den gelehrten Wissensstand zum konstruktierten Winkeldritteln wird von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammengefasst:

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"

„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."

Um hier nicht aneinander vorbei zu reden, erklären wir woran wir uns am gelehrten Wissensstand stören. Nämlich daran, dass heute immer noch gelehrt wird, es gibt "keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt".

Gemeint sind hier allein endliche Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Was aber ist mit den klassisch konstruierten Grenzprozesse, die im Grundlagenwerk ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.) fehlen? Da kommt die Frage auf, gibt es sie überhaupt,denn bei Wikipedia fehlen sie auch? Betrachten wir den Satz "exakter Grenzprozess drittelt Winkel" tiefgehender, wird immer klarer, es handelt sich um einen dynamischen, endlos fortsetzbaren Prozeß, bei dem endlos einem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt zugestrebt wird. Mit jedem Iterationszyklus wird die Ergebnisgenauigkeit weiter erhöht. Da drängt sich die Frage auf, warum soll hier der konstrierte Grenzprozess, mit seinem Schritt um Schritt logisch nachvollziehbarem Zusammenhang, generell zum falschen Ergebnis führen? Was ist hier falsch? Ist an dem nachvollziehbare Lösungszusammenhang etwas zu bemängeln oder ist es die "fachamtliche" Sichtweise mit ihrer historisch ererbten Erwartung, daß nach endlich vielen Schritten des exakte Ergebnis vollständig dargestellt ist? Vom allgemeinen Quantisierungsprinzip her ist Letzters eine unerfüllbare Erwartung, und damit eine falsche Erwartung.

Effizenter Grenzprozess drittelt Winkel

Bei unserem Grenzprozess interessiert, wie effizient ist er? Die ausgeführten klassichen Konstruktionen zeigen schon mit eine Gesamtsequenz von 4 konstruierten Urkurven-Objekten von Kreis und Gerade wird eine erste brauchbare aktuelle Ergebnisgröße mit 4 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit 14 konstruierten Objekten sind die abweichungen bereits im subatomaren Bereich mit mehr als 20 wahre Nachkommastellen, usw. Das folgene Bild liefert einen Überblick dazu.

Keine Berücksichtigung findet bei Wantzel () die vom berühmten R.Descartes () in seinem Buch "La Geometria" von 1643 veröffentliche endliche Kostruktion zum Winkeldritteln. Heute wird hier als "Unmöglich-Kriterium" angeführt, daß die zur Lösung erforderlichen Punkte der quadratische Parabel im "Ergebnisbereich" nicht und schon gar nicht alle klassisch konstruiert werden können.

Widersprüche tun sich hier auf, wenn wir zeigen, dass es einer irgendwie schon gegebenen quadratischen Parabelkurve gar nicht bedarf. Unser folgendes Bild zeigt, die notwendige Parabelpunkte F, E, G, durch die ein Schmiegungskreis zur Parabel gelegt wird, können direkt im Ergebnisbereich mit klassichen Konstruieren erzeugt werden. Darüber wird später noch ausführlich berichtet.

Auch bei diesen GRenzprozessverfahren wird mit nur wenigen Schritten zu einer nahezu unendlich kleinen Ergebnisabweichung gelangt. Es ist kein riesiger unendlicher Aufwand erfoderlich, wie er beim "Verfahren der brutalen Gewalt" auftritt. Mit den konstruierten Grenzprozessen wandelt sich die Endlichkeitsforderung aus der Antike zur Forderung nach hoher Effizienz, wobei mit nur wenigen Schritten bis zum befriedigend genauen Ergebnis gelangt wird.

Kürzester, effizientester Winkeldrittelprozess

Unsere endlos konstruierbaren Grenzprozesse zum Winkeldrittel, die mit der Zielgestalt "Kreuzschleifen-Konstruktion arbeiten, kennen wir in unterschiedlichen Ausprägungen. Welcher davon ist der Vorzug zu geben? Hier kommt der Begriff "Effizienz" ins Spiel. Beim Internet-Lexikon Wikipedia lesen wir dazu:

Für unser Problem bedeutet das, wir suchen nach der kürzesten Sequenz konstruierter Kreis- und Gerade-Objkete die aktulelle Winkeldrittelgrößen erzeugt, welche dem Grenzpunkt=exakter Winkeldrittel-Punkt auf dem Grundkreis zustreben und nur noch eine verschwindend kleine Abweichung bis zum Grenzpunkt aufweisen.

Natürlich interessiert die effizienteste davon.

Video

Winkelverhältnis α /3

Das Winkelverhältnis α /3 ist als Ergebnis der Grenzpunkt eines klassisch, mit einer endlosen Sequenz von Kreis- und Grade-Objekten konstruierten Grenzprozesses.

Bis zu dieser Einsicht gab es einen langenWeg mit vielen verwirrenden Rätseln.

_{Einführung in das Problem des Winkeldrittlens}

Die Zahl "3" steht oft für ungelöste Fälle, auch für mysteriöse und religiöse Zusammenhänge. So wird in der Bibel die Umfanglänge eines kreisrunden Beckenrandes mit 3 mal größer als der Durchmesser angegeben. Ist dieses mitgeteilte Verhältnis ein Ergebnis eines Ausmessens? Offenbar nicht. Schon in der der Antike Versuche man, dieses Ergebnis ist eine Näherung, zum wahren Ergebnis, das etwas größer als 3 ist. Seitdem wurde die 3 in der Bibel nicht weiter präzisiert. Ein Grund hier zu zögern war wohl auch die Einsicht, daß ein ermitteltes Größenabbild nie ganz eindeutig eine ganzzahlige Vervielfachung eines kleinsten Maßes (Maßschrittes) ist. Dieses allgemeine Phänomen gibt es somit auch für das Kreisverhältnis sowie auch für die Winkelgrößen.

Der französische Mathematiker P. Wrantzel (1814-1848) ist mit einer anderen Betrachtung zu dem selben Ergebnis für die reprodutierbare Darstellung des Winkeldrittels gelangt. Er folgert daraus, mit einer nur endlich Sequenz gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte gibt es keinen vollständigen Konstruktionsplan. Deiser kann damit auch nicht zur vollständigen, exakte Darstellung des Winkeldrittels führen. Ist für Wrantzel hiermit bewiesen, was heute allgemein akzeptiert ist? Gibt es tatsächlch keinen zutreffenden natürlichen geometrischen Zusammenhänge für eine exakte Winkeldrittel-Konstruktion, die als Kohärenzmodell anschaulich logisch nachvollziehbar ist? So wird es heute zumindest gelehrt.

Bei diesen Voraussetzungen sind alle Versuche eines Winkeldrittlns mit klassich konstruierten Grenzprozessen unausgesprochen mit einer Art "Denkblockade" belegt. Denn, wenn hier die Lösungszusammenhänge fehlen. kömnnen auch alle Versuche mit klassich konstruierten Grenzprozessen keinen Erfolg haben.

Im gewissen Widerspruch dazu stehen die schon seit dem Altertum bekannten nichtklassischen Verfahren für ein exaktes Winkeldritteln. Sie erfordern weitere hinzu genommenen Hilfswerzeuge bzw, schon gegebenen höheren Kurven, wovon die Kegelschnittkurven Kreis, Hyperbel, quadr. Parabel und Ellipse die einfachsten sind. Warum Wrantzel bei seinem Unmöglich-Beweis diese Winkeldrittel-Kohärenzen unbetrachtet läßt, darüber kann nur spekuliert wedern?

Wie werden nachfolgend zeigen, daß es durchaus Sinn macht, diese alte Tradition der Denkblockade zu verlassen. Es zeigt sich dabei, ein klassisch konstruiertes exaktes Winkeldreiteilen über eine ganze Drehung ist, wie zutreffende natürliche geometrische Kohärenzen zeigen, mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sehr effizient zu realisieren. So werden schon mit weniger als 20 gezeichneten Objekten von Kreis und Gerade bereits solch hohe Genauigkeiten bei der konvergenten Ergebnisdarstellung erreicht, daß die alltägliche Anforderungen weit überschritten werden. Die ererbte uralte Erwartung, eine genaue Darstellung der Winkeldrittelgröße im subatomaren Bereich sei nur mit nahezu endlos vielen konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten zu erreichen, erweist sich als Irrtum. Die auftretende extrem starke Konvergenz der effizienten autokonvergenten Grenzprozesse wurden und werden bis heute nicht erwartet.

_{Von der Antike bis heute}

Ausgehend von dem oben dargelegten Wissen suchen wir nicht nach einer konstruierten Zahl, welche den Drittelwinkel ohne Restfehler darstellt. Wir suchen nach exakten Kohärenz-Modellen, welche die Dreierkohärenz von Winkeln als klassisch konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten anschaulich nachvollziehbar darstellen. Ein erstes Kohärenz-Modell hierzu veröffentlichte bereits Archimedes (287-212 v.u.Z.). Es ist im folgenden Bild in der linken oberen Bildecke gezeigt. Das rechte Bild veranschaulicht die konkrete Lösungsumsetzung des Archimedes-Vorschlages.

_{In diesem Beitrag werden die gezeichneten Objekte in ihrer Abfolge mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Zur eindeutigen Zuordnung sind die Zahlen noch um Buchstaben ergänzt, Ist das dezeichnete Ojekt ein Kreis kommt ein k oder K hinzu, Bei einer gerade/Strecke kommt ein g oder G. und bei einem Schnittpunkte ein S hinzu . Bei einem S3(k1xg3) symbolisiert "x" das Schneiden/Kreuzen der Objekte k1 und g3.}

Dieses klassich konstruierten Kohärenz-Modells macht mit seiner Sequenz der zusammenhängend konstruierten Objekte von Kreis und Gerade anschaulich nachvollziehbar, wie von einem kleinen gegebenen Winkel zu ganzzahlig vervielfachten Winkeln gelangt wird. Auch die umgekehrte Betrachtungsrichtung, vom gegebenen großen Winkel hin zum kleinen abgeteilten Winkel, ist möglich.

_{Vervielfachen}

Vervielfachen ist bei einem vorhandenen Kreis K mit einem eingezeichneten Winkels schon mit nur zwei weiteren aufeinander folgend konstruierten Kreisen möglich.

_{Vervielfachen zum Kleinen hin}

Das Dreiteilen des Winkels ist auch ein Vervielfachen, statt der vielen großen Teile gibt es hier nun vile kleine Teile. Der Strahlensatz, mit dem ein beliebiges Verviefachen einer Strecke zum Kleinen hin möglich ist, führt bei Drehungen/Winkeln nicht zum Ziel.

Einen für Winkel ersten Lösungsansatz hat bereits Archimedes (287-212 v.u.Z.) veröffentlicht. Bei seinem Winkel-Kohärenzmodell wird in der einen Betrachtungsrichtung ein vervielfachter Winkel erzeugt. Die aufeinander folgenden Dreiecke mit jeweils gleichlangen zwei Seiten zeigen Symmetrie. Für das Vervielfachen zum Kleinen hin wird mit der umgekehrten Betrachtungsrichtung gearbeitet. Das Lösungsprizip ist, die Lösungskonstruktion wird Schritt um Schritt mit der bekannten Zielgestalt des 3er-WDT-Kohärenzmodells zur Deckung gebracht. Die Schritt um Schritt herbei geführte Übereinstimmung mit der "Zielgestalt" ist erreichbar, kann aber real nicht eindeutig festgestellt werden. Die Überenstimmung wird nur als Gedanke realisiert.

Archimedes (287-212 v.u.Z.) fügte dem den Drittelwinkel markierendem Lineal zwei Striche durch die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) hinzu, mit einem Abstand von der Radiusgröße /M,S(XxK)/. Wird das auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt es eine Drehung gegenüber X- und Y-Achse und erreicht den gesuchten exakten Drittelwinkel, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt, was aber nur gedanklich erfüllt werden kann.

Mein klassisch konstruiertes WDT-Kohärenz-Modell (linke Bildhälfte) kombiniert das archimedes´sche Modell. Rechts im Bild wird ein extskter WDT-Grenzprozeß gezeigt, dessen klassich konstruierte Grenzprozeß schon nach wenigen konstruierten Objekten abgebrochen werden kann, da dann die gemessene verdreifachte Drittelwinkelgröße (rote Zahl) schon über 15 wahre Nachkommastellen mit denen der Startwinkelzahl übereinstimmen.

Gegeben Objekte sind:

- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M

- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ

Die kurze konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:

1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse

2. Strahl g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet

3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA

4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet.

5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)

6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S6(g5×k6) und S6.1(g4×k6).

7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.

8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S8(g7×k8) und S8.1(g4×k8).

9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.

10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8).

11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.

12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und

S12.1(g4×k12).

13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnitt-

punkt S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert.

-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten Drittelwinkel ∠AMD.

Zum Zweck eines einfacheren Nachprüfens und Vergleichens der digitalen Ergebnisgenauigkeit ist der erzeugte Drittelwinkel mit den inneren roten Kreisen verdreifacht.

_{Kreuzschleifen-WDT- Kohärenzmodell}

Bei dieses etwas abstrakteren WDT-Kohärenzmodell bewegt sich der Mittelpunkt C einer Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Strecke mit ihren Endpunkten E und F an den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.

Anhand der zwei Paare paralleler Strecken im Kreis um M ist gut zu erkennen, daß diese Konstellation auch ein Merkmal für eine vorhandene Winkeldreierkohärenz ist.

Aus dem Sachverhalt, daß das Zurechtschieben bis zur Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt nur theoretisch erfüllbar ist, erwächst der Wunsch, zu einem Schritt um Schritt nachvollziehbaren autokonvergenten Prozeß des "Zurechtschiebens" zu gelangen. Ein Prozeß, der nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert werden kann. Von der Antike bis heute sind in der Fachliterarur keine solchen Lösungen zu finden. Mit dem folgendes Bild lasse ich den abstrakten Zusammenhang nochmals deutlich hervortreten.

Ein Dreierzusammenhang auf der Kreiskurve ist dann gegeben, wenn der schwarze zusammenhängende Streckenzug im Kreis aus 4 Strecken, je nach Betrachtungsstartpunkt,

alternierend zwei paralle Strecken hat.

Dieses klassich konstruierte WDT-Kohärenzmodell leistet in der einen Betrachtungsrichtung ein Verdreifachen des gegebenen Winkels bzw. Kreisbogens (rotes Dreieck), ohne daß das allgemein bekannte Verdreifachens zum Einsatz kommt. In der andereen Betrachtungsrichtung ist mit den zurecht gerückten zwei parallelen Strecken im Kreis das gesuchte Drittel des Kreisbogens markiert.

Oben wurde schon gezeigt, wie der Prozeß des Zurechtschiebens (Neusis-Prozeß) in einen nur mit den Objekten von Kreis und Gerade konstruierten autokonvergenten Grenzprozeß übergeführt werden kann. Es folgen nun weitere Beispiele dazu:

In der vorigen Konstruktion geht die nicht eingezeichnete Lösungskurve (Trisektrix-Kurve) durch die nacheinander erzeugten Punkte D; C; K usw. Sie schneidet schießlich im Grenzpunkt = Ergebnispunkt den um Mittelpunkt M verlaufenden Kreis k1. Die Strecke zwischen Kreiskurve im 2. Quadranten und Y-Achse hat dann die gleiche Größe erreicht, wie der Kreisradius =MA.

Beim nächsten Bild wird bei der Neusis-Einschiebung mit der ganzen Kreuzschleifen-Streckenlänge gearbeitet. die dann von der Größe des Kreisdurchmessers von k2 ist. Diese größere Länge verbessert die Konvergenz.

_{Multifache 3er-Winkelkohärenz}

Überraschend ist, es gibt nicht nur die einzelne 3er-Winkelkohärenz, sondern eine multifache 3er-Kohärenz im Gesamtsystem, wie folgendes Bild zeigt. Mit den angebrachten Objektkennzeichnungen kann die Sequenz der erzeugten Objekte Kreis und Gerade wieder leichter nachverfolgt werden.

_{Elementare geometrischen Kohärenzen und ihre Darstellung mit klassischen Konstruktionen}

_{Dreiteilung des Kreises}

Wir beginnen diese Betrachtungen mit einem einfachen Kohärenzsachverhalt. Mit ihm wird ein Dreiteilen schon mit einer Sequenz zusammenhängend konstruierter zwei gleich großer Kreise und einer Geraden durch den Kreismittelpunkt M erreicht. Dieses Dreiteilen kommt ganz ohne Kenntnis von Zahlen und einem Rechnen mit ihnen zustande. Das "gelbe gleichseitige Dreieck" ist das Ergebnis einer Sequenz zusammenhängender Objekte von Kreisen und Geraden.

In der folgende Abfolgeliste sind die gezeichneten Objekte Kreis k, Gerade g, und Schnittpunkt S(k1xg3) entsprechend ihrer Aufeinanderfolge angeordnet und benannt:

beliebig liegende Gerade g1 im ebenen R^2-Erfahrungsraum
gezeichneter, beliebig liegender Punkt M=S2 auf der Geraden g1
schwarzer Kreis k3 um den Mittelpunkt S2=M, der zwei Schnittpunkte S3-1 und S3-2 auf der Geraden g1 erzeugt
um Punkt S3-1 konstruierter roter Kreis k4, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S4-1 und S4-2 auf k3 erzeugt.
gelbes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-1; S4-1 und S4-2
um Punkt S3-2 konstruierter roter Kreis k6, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S6-1 und S6-2 auf k3 erzeugt, .
rotes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-2; S6-1 und S6-2, welches mit seinen Seitenstrecken die des gelben Dreiecks schneidet und so weitere innen liegende 6 Schnittpunkt als Teilungspunkte S7-1; S7-2; S7-3; S7-4; S7-5; S7-6 erzeugt.

Auf dem schwarzen Kreis k3 gibt es 6 reguläre Teilungspunkte S3-1; S3-2; S4-1; S4-2; S6-1; S6-2 und noch 6 innen liegende Schnittpunkt S7-1 bis S7-2 der Seitenstrecken der Dreiecke gelb und rot. Diese erhöhen auf eine reguläre Zwölf-Teilung des Kreises. Die Operationen des Dreiteilens produzieren auf der Grundlage der systematische Kohärenz im euklid´schen R^2 -Raum (ebener Raum) zugleich duale Vervielfachungen hin zum Großen und hin zum Kleinen. Das Große sind die Anzahl 12 der Kreissegmente und das Kleine ist die Flächengröße der erzeugten, hier nicht eingezeichneten, Kreissegmente.

Der nächst naheliegenden Frage wurde schon im Altertum nachgegangen. Kann der Winkel zwischen den Teilungspunkten rot und gelb in gleich einfacher Vorgehensweise ausgeführt werden? Hierzu gibt es schon seit der Antike mehrere Ansätze zu Lösungen. Allerdings gibt es zum Winkeldreiteilen bis heute gewisse Unklarheiten und auch Mißverständnisse. Diese Situation mündet in Streit, der auch den sogenannten Grundlagenstreit der Mathematik berührt, welcher in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts besonders heftig ausgetragen wurde.

Wir sehen wir das Ganze. Da gibt es Mißverstämdnisse zu den im 19. Jahrhundert geführten arithmetisch-algebraischen Beweisen der Mathematik, denn exakte Prozesse eines exakt konstruierten Winkeldreiteilens werden als "unmöglich" gelehrt. Dazu ist im Lexikon Wikipedia unter Dreiteilung des Winkels im Abschnit "Klassische Probleme" _{https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)}geschrieben:

Eine allgemeine Dreiteilung ist daher nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden, etwa eine Trisektrix, oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen darstellbar (siehe Abschnitt Näherungsverfahren).

Hier werden zwei verschiedene Arten von Dreiteilungen angesprochen. Die erste Art produziert dann theoretisch exakte Drittelwinkel-Lösungen, wenn zusätzliche Hilfsmittel und Werkzeuges hinzu genommen werden die noch notwendigen "Prozesse des exakten Einpassungen und Platzierens". Es wird einfach vorausgesetzt, daß dies mit theoretischer Exaktheit ausgeführt wird. Die hinzu genommenen Hilfswerkzeuge können ein Rechtwinkelhaken, ein Tomahawk oder auch eime Schablonen zu verschiedenen Zusammenhangkurven (Kohärenzkurve) sein. Schon Archimedes (287-212 v.u.Z.) veröffentlichte eine solchen exakten Lösungsprozeß mit dem Hilfswerkzeug "Lineal mit Mass-Strichen", siehe oben. Bei der zweiten Art der beliebig guten Näherungslösungen ist noch zu unterscheiden zwischen:

beschränkter Konvergenz, die für Näherungsverfahren zutrifft.
unbeschränkte Konvergenz, die für klassisch konstruierte Grenzprozesse zutrifft. Dieser Prozeß des Zustrebens kann theoretisch ohne Ende fortgesetzt werden. Eine gegebene starke natürliche Konvergenz macht dies überflüssig.

In der Fachwelt werden die verschiedene Typen von Kohärenzkurven unter dem Sammelbegriff Trisektrix angesprochen. Viele dieser Kurven sind vom 2. Grad. Die älteste bekannte Kohärenzkurve ist die Trisektrix des Hippias (5. Jhd.v.u.Z.), auch als Quadratrix des Dinostratos (4.Jhd.v.u.Z.) bekannt. Sie wird als Spurkurve durch simultane zwei Bewegungen erzeugt, die Rotation der schwarzen Radiusstrecke NR um Punkt M und die Translation der Balkenstrecke AB in Achsrichtung CM, wie es das folgende linke Bild zeigt. Der Schnittpunkt zeichnet dann die Quadratrix als Spurkurve. Das rechte Bild zeigt, wie die Trisektrix des Hippias auch mit quasi simultannen fortwährenden Halbierungen des Kreisbogens CD und der Achsstrecke CM als exakte Punktekurve CQE konstruiert werden kann.

Mit der Kohärenzkurve CQE wird nicht nur eine spezielle 3-er Kohärenz modelliert, sondern eine allgemeine proportionale bidirektionale Kohärenz zwischen der Rotatation um M und Translation zwischen C und M.

_{Exakte WDT mit gegebener Parabel nach Descartes (1596-1750)}

Lange Zeit unbetrachtet blieben WDT-Lösungen mit einer Parabel als Trisektrixkurve. Der berühmte Descartes (1596-1750) war der Erste, der diesen Lösungszusammenhang gefunden hat und in seinem Buch "La Geometrie" im Jahre 1637 veröffentlichte. Im Internet-Lexikon Wikipedia _{https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)} bleibt diese exakte WDT gegenüber den anderen nichtklassischen Lösungsverfahren mit Trisektrixkurven nur sehr kurz erwähnt und bleibt unterbewertet. Da dazu kein Bild gezeigt wird, gibt es bei Wikipedia keine tiefer gehende Erörterung der 3er-Zusammenhänge. Ein Grund für das geringe Interesse an der Parabel-WDT mag auch darin liegen, daß Descartes mit seinem beigefügten Bild seine Winkeldreiteilung nicht ausreichend anschaulich nachvollziehbar erklärte.

Die von Descartes an den beiden linken und rechten Teilbildern angebrachten Buchstaben finden sich im jeweils anderen Teilbild nicht wieder. Insgesamt ist das Bild wenig selbsterklärend.

Mit den geometrischen Kalkulationen der Cohaerentic werden auch die Punkte von Parabeln im karthesischen Koordinatensystem effizient konstruierbar. Sie können so beliebig dicht benachbart konstruiert und dadurch immer genauere Schmiegungskurven für den Grenzbereich der geometrischen Grenzprozesses erzeugt werden. Auf diese Weise wird die Dreiteilung des Winkels nach Descartes durchgehend mit einer Autokonvergenz klassich konstruierbar. Dem descartes´sche Verfahren kommt daher eine besondere Bedeutung zu. Sie ist der Grund für uns, die von Descartes mit einer quadratischen Parabel als Kohärenzkurve aufgezeigten Zusammenhänge ausführlicher als bei Wikipedia zu betrachten. Als Grundlage dafür nehmen wir unsere folgenden klassichen Konstruktionen, die als anschaulich nachvollziehbare Sequenzen von Kreis und Gerade-Objekten ausgeführt werden.

Im Interesse einea besseren Durchblicks ist im obigen linken Bild zunächst nur das klassische konstruierte Kohärenzsystem mit der Parabel gezeigt. Im rechten Bild sind die gezeichneten Objekte in ihrer Abfolge wieder mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Auf diese Weise wird die Konstruktion als Sequemz gezeichneter Objekte mit ihren angebrachten Kennzeichnungen zur Objektfolge und Objektart besser verständlich. Bei den nun folgenden Bilder wird zwecks eines bessren Durchblicks nur die Sequenz für die einfache 3er-Kohärenz betrachtet.

Im linkenTeilbild wird mit Hilfe der gezeichnet gegebenen Trisektrix-Kurve y=x² (quadratischen Parabel p7 ) der gegebene Winkel ∠(B,M,S3) zum gesuchten Drittelwinkel ∠B,M,S8 dreigeteilt. Hingegen wird im rechten Teilbild ohne gegebene Parabel mit nur einem kostruierten Parabelpunkt S9(g5xg9 ) der gegebene Winkel ∠(B,M,S4) zum gesuchten verdreifachten Winkel ∠B,M,S12(k1xg12) vervielfacht. Der Schnittpunkt S12(k1xg12) wird in der sequentiellen Abfolge der Objekte mit Strecke g12 erzeugt.

_{Wie können Trisektrix-Kohärenzkurven klassisch konstruiert werden?}

In der Neuzeit werden die Punkte von Kurven mit Hilfe von Zahlen mit Computern berechnet und dann Punkt um Punkt eine Punktekurve gezeichnet. Mit immer mehr, schließlich endlos dicht benachbarten Punkten geht die Punktekurve in eine gedanklich geschlossene Spurkurve über. Für die gezeichnete Erzeugung der Kegelschnittkurven Hyperbel, Parabel und Ellipse sind schon seit der Antike Fadenkonstrktionen und auch mechanische Geräte/Werkzeuge bekannt. Theoretisch werden auf diese Weise ideale exakte Kurven erzeugt, was in der alltäglichen Praxis aber nicht zutriffft. Hier macht die Mathematik der Antike einen gedanklichen Sprung und setzt einfach voraus, daß die verschiedenen, quasi mechanisch erzeugten Trisektrixkurven, als exakte Kurven einfach vorhanden sind. Auf dieser Grundlage können dann exakte Dreiteilungszusammenhänge elementar konstruiert werden.

Mit nicht idealen Kurvenverläufen und nicht idealen Platzierungen der Kurven und Hilfswerkzeuge wird trotz eines exakten Lösungs-Zusammenhangs nur zu beschränkt genäherten Ergebnissen gelangt. Die in der Literatur zitierten Näherungsverfahren sind von dieser Art des beschränkten Konvergierens. Ein erreichter kleinster Fehlerabstand zum wahren Ergebnis kann hier mit mehr Konstruktionsaufwand nicht weiter abgenaut werden.

Anders bei den Lösungsverfahren mit exakten Trisektrixkurven vom 2. Grad, deren Punkte klassich konstruiert werden können. Dann ist mit einem klassich konstruierten Grenzprozeß ein unbeschränktes Konvergieren an den wahre Ergebnispunkt = Grenzpunkt möglich. Die Abweichung des letzten Zwischenergebnisse zum wahren Ergebnis können hier mit immer mehr betriebenem Konstruktionsaufwand immer weiter verkleinert werden. Allerdings erwartet die Fachwelt, seit der Antike bis heute, sehr sehr viele, quasi endlos viele zu zeichnenden Objekte aa<erwartet, ehe mit dem letzten Winkel-Zwischenergebnis zu einer für die Praxis befriedigenden Genauigkeit gelangt wird, beispielsweise 15 wahre Nachkommastellen bei der Winkelgröße. Anders fomuliert, es wurde und wird hier keine starke Konvergenz erwartet. Die mangelnde Motivation führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade. Über einen sehr langen Zeitraum fehlte die Motivation zu exakten Lösungsverfahren mit Hilfe von klassisch konstruierten Grenzprozessen zu forschen.

Das folgende Bild zeigt ein WDT-Verfahren bei dem keine gegebene Parabelkurve erforderlich ist. Es wird hierbei im Ergenisbereich ein Stück Parabelkurve als Schmiegungskreis konstruiert, der durch 3 kostruierte exakte Parabelpunkte im Grenzpunktbereich = Ergebnisbereich definiert ist.

Die praktische Tauglichkeit dieser Grenzprozeß-Lösung zeigt sich schon nach dem ersten konstruierten roten rechten Konvergenzzyklus mit seinem Zwischenergebnis für den Drittelwinkel mit 14 wahren Nachkommastellen. Die Sequenz des 1. Konvergenzzyklus liefert mit den rechten roten Objekten ein 1. Zwischenergebnis, welches dann Ausgangspunkt für den 2. Komvergenzzyklus (linke blaue Objekte) ist. Zwecks einer besseren Vergleichbarkeit werden die verdreifachten Zwischenergebnise des Drittelwinkels vom 1. und 2. Zyklus mit dem Startwinkel ∠AMB verglichen.

_{Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z))}

Weitere WDT-Kohärenzkurven sind die Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z)) und auch die Hyperbel, deren erste Benutzung Pappos (4.Jhd.v.u.Z.) zugeschrieben wird.

_{Konchoide des Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.)}

Die in der Fachliteratur häufig zitierte Konchoide des Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) ist gleichfalls eine Trisektrix.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Maclaurin_trisectrix.svg#/media/Datei:Maclaurin_trisectrix.svg.

_{Trisektrix von Colin Maclaurin (1698-1748)}

Die Trisektrix von Colin Maclaurin (1698-1748) ist eine spezielle Ausbildung der Konchoide, die als Kurventyp schon seit Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) bekannt ist. Eine Auflistung zu weiteren Trisektrix-Kohärenzkurven ist im Internet-Lexikon Wikipedia unter dem Suchwort Trisektrix zu finden.

_{Was ist effizienter, die "try and error" Konvergenz oder die Autokonvergenz der Grenzprozeß- Verfahren?}

Im Internet-Lexikon Wikipedia _{https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)} wird im Abschnitt Näherungsverfahren sinngemäß geschrieben, daß solche gezeichnete beliebig genaue Näherungen auch allein mit Kreisen und Geraden ausgeführt werden können. Welche Art der Näherung sind mit dem Wikipedia-Aufsatz angesprochen? Sind es Näherungen, wie sie vom Schneidermeister Kopf für die Ermittlung des Winkeldrittelns oder wie sie vom polnischen Mathematiker A.Kochanski (1631-1700) für die Ermittelung des Kreisverhältnisses π veröffenlicht wurden? Nein, diese sind damit offenbar nicht gemeint, denn sie enden nach wenigen Schritten. Lösungen mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sind es offenbar auch nicht. Solche sind in der historischen Literatur und auch im Internet-Lexikon Wikipedia nicht zu finden.

Naheliegend ist das übertragen von arithmetischen Vorgehensweisen auf klassische Konstruktionen. Bein arithmetischen Teilen wird ein erster verbleibender noch ungeteilter Rest nachfolgend auch noch geteilt usw. Diese Rest-Teilungsergebnisse werden jeweils dem vorangegangenen Teilungsergebnis zu einem aktuellen Summen-Ergebnis zuaddiert. Dieses Aktionenszyklen können immer weiter fortgesetzt werden, zumindest theoretisch. In der Praxis wird der endlos mögliche Prozeß beendet, wenn ein gewählter Abstand zum wahren Ergebnis unterschritten wird. Ein Vorgehen, wie es beim Teilen einer Zahl mit arithmetischen Rechengregeln ausgeführt wird, läßt sich also auch auf ein klassisch konstruiertes Berechnen übertragen. Solche klassische durch Schritte geprägte Konstruktionen sind bei Wikipedia nicht zu finden. Das Hintereinanderschalten des Kopfschen Näherungsverfahrens, bei dem die ungeteilten Reste immer wieder geteilt werden usw, wäre ein Beispiel dazu.

Die interessante Frage zu exakten Winkeldreiteilungen ist nach den obigen Darlegungen nicht mehr die seit der Antike verfolgte Frage, ob die Teilung mit den bekannten natürlichen geometrischen Kohärenzen exakt möglich ist oder nicht, sondern mit welchen Verfahren das Winkeldreiteilen am effizientesten möglich ist? Sind es die "try and error" konvergierenden Verfahren oder die autokonvergenten Grenzprozeß-Verfahren?

Gemeinsame Tangenten an zwei Kreise

Es gibt eine konstruierte rote Sequenz g_3 bis g_6 für die äusseren Tangenten g_6-rot an die Kreise k_1 und k_2, sowie eine grüne Sequenz der Kurven g_3 bis g_6 für die inneren Tangenten g_6-grün an die Kreise k_1 und k_2.

Die mit den Kurven-Objekten g_3 bis g_6 konstruierten Sequenzen führen unabhängi von der Grösse des Kreis k_2 bezogen auf Kreis k_1 zum Ergebnis der gemeinsamen Tangenten g_6.

Unsere hier demonstrierten Sequenzen der Kurven-Objekte g_3 bis zur Ergebnis-Tangente g_6 ist die wohl effizienteste Konstruktion gegenüber den heute bekannten Konstruktionen.