Genähert oder exakt berechnen?
Exakt oder nur genähert
Verwirrung bringt es, wenn der Bergriff " genähert" im historischen Zeitverlauf für zwei sich unterscheidente Sachverhalte verwendet wird. Bei der Näherung von Kochanski (1684) für das Berechnen einer genäherten Kreiszahl πnum hat das Wort "genähert" seine Berechtigng, denn die Anzahl der wahren Nachkommazahlen ist beschränkt und kann mit mehr investierten Schritten beim Berechnen nicht erhöhrt werden. Anders ist es hingegen bei der π-Berechnung von Archimedes (287-212 v.u.Z.) ), die auf dem Wissen von Antiphon und Bryson (5.Jh.v.u.Z.) aufbaut. Hier kann mit mehr investierten Schritten, sprich gewählter immer höherer Anzahl der regulären Vielecken, die Anzahl der wahren Nachkommazahlen für πnum unbeschränkt erhöhrt werden. Real wird jedoch der konstruierte Berechnungsprozess immer nur unvollständig ausgeführt, so dass auch das Ergebnis in seiner Grösse immer nur unvollständig dargestellt wird. Es ist für den jeweils konkreten Umfang an Schritte ein exaktes Ergebnis mit unbeschränktem Potential zur Verbesserung der Darstellungsgenauigkeit.
Das Wissen zu endlosen Prozessen gibt es vom Prinzip her schon seit dem Berechnungsvorschlag zur Kreisfläche von Antiphon (5.Jhd v.u.Z.) Dieses Wissen bleibt aber lange Zeit missverstanden, unbeachtet und unbetrachtet. Ferdinand Lindemann (1854-1939) ging einst bei seinem berühmten "Transzendenz-Beweis für π" vom Kohärenzsystem Eulersche Identität eiπ-1=0 aus. , Damit har er bewiesen, alle Versuche einer klassisch konstruierten Quadratur des Kreises, die von der Eulersche Identität eiπ-1=0 als Lösungszusammenhanang ausgehen, sind unmöglich. Zu anderen, auch möglichen Lösungszusammenhängen macht der Lindemann´sche Beweis keine Aussagen.
Wegen der angesprochenen Irritationen und der von den ELEMENTEN des Euklid (ca 330v.u.Z.) ausgehenden Denkblockade zu Grenzprozessen für die drei klassischen Uraufgaben der Antike fehlen diese Prozesse bis heute in der mathematischen Literatur und in Lehrbüchern.
Heute werden exakte πnum-Berechnungen (Rechengänge), die mit mehr ausgeführtem "Rechenoperatonen" zu einer immer genaueren Ergebnisdarstellung gelangen, auf ein nur genähertes Berechnen rückgestuft und als eine Näherungsberechnung betrachtet. Als Grund dafür wird genannt, endlose Grenzprozess werden niemals vollständig ausgeführt und immer vorzeitig abgebrochen, so dass keine vollständige, immer nur eine unvollständige Ergebnis-Darstellung erzeugt wird. Hier werden wir deshalb künftig in genäherte Rechengänge mit nur begrenzt genäherten Ergebnis-Darstellungen, sowie in exakte Rechengänge, die unbegrenzt vollständigen Ergebnisgrössen-Darstellungen zustreben. Hier gibt es Parallelen zu Grössen-Darstellungen mit Dezimalzahlen.
Ist die Dezimalzahl 0,333333333... das Ergebnis eines exakten Rechengangs für 1/3 oder ist sie doch nur das Ergebnis einer genäherten Berechnung? Die mit einer endlichen Zahl von Schritten erzeugte Ergebnis-Darstellung 0,333 ist als Multi-Summe eine genäherte Ergebnis-Darstellung. Geht dieses genäherte Ergebnis auch nur aus einem genäherten Rechenplan (=Berechnungsplan, Berechnungsvorschrift) hervor, oder wird hier ein endloser exakter Berechnungsplan nur nicht vollständig abgearbeitet, also vorzeitig beendet? Mit den praktizierten drei Punkten nach der letzten Ziffer (1/3=0,333...) wird der Sachverhalt eindeutig gemacht. Diese Ergebnis-Darstellung als Dezimalzahl weist auf einen exakten endlosen Berechnungsprozess hin.
Was für genäherte und exakte Berechnungen mit Zahlen gilt, lassen wir in analoger Weise auch für die Cohaerentic Kalkulationen gelten. Diese werden als klassisch konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (Beschränkung auf Zirkel und Lineal) gezeichnet. So gelten Cohaerentic-Kalkulationen dann als gezeichnete exakte Berechnungen, wenn sie einem exaktem Berechungsplan folgen, der auch bis ins Endlose reichen kann. So kann mit einem immer weiter fortgesetztem Berechnen eine Steigerung der Genauigkeit der "unbegrenzt vervollständigten " Ergebnisgrössen-Darstellung erzielt werden.
Exakte elementar konstruierte Berechnungen sind solche, bei denen aus dem konstruiertem Rechengang (Rechenplan=Berechnungsplan= Berechnungsvorschrift= bildliches Kohärenzsystem) direkt auf das zweifelsfreie Zutreffen und Richtigsein des Ergebnisses geschlossen werden kann. Wie später noch gezeigt wird, sind die genäherte π-Konstruktion von Kochanski (1685) oder von Dinostratos (ca.4.Jh.v.u.Z.) Beispiele für prinzipiell begrenzte Ergebnisgrössen-Darstellungen.
Beim gezeichneten Berechnen von Uraufgaben, zu denen wir das Winkeldritteln, das Kreisquadrieren und Würfeldoppeln und weitere zählen, wird von einer klassischen euklidischen Konstruktion gesprochen, wenn folgende Lösungsauflagen und Beschränkungen und eingehalten werden:
- nur mit einem endlichen Umfang an Denk- und Zeichenschritten arbeiten.
Insbesondere durch die zweite Beschränkung sind Grenzprozesse, wie sie zu den Berechnungen rund um den Kreis unerlässlich sind, ausgeschlossen. Ohne konstruierte Grenzprozesse ist hier ein exaktes Berechnen aber unmöglich. Dies wurde für die drei Uraufgaben auch mathematisch bewiesen. Andererseits wird heute immer öfter auch betrachtet, dass klassisch konstruierte Lösungen möglich werden, wenn zusätzlich Werkzeuge und schon gegebene Kohärenz-Kurven benutzt werden dürfen (siehe Wikipedia, Suchwort "Konstruktion mit Zirkel und Lineal").
Begrenzt genähertes π-Konstruieren
Dinostratos (ca.4.Jh.v.u.Z.) arbeitet mit der Kohärenzkurve Trisectrix des Hippias von Elis (5.Jh.v.u.Z.), die späterwegen des Zusammenhangs zu π dann in Quadratrix umbenannt wurde. Dinostratos gibt keinen konkreten Berechnungsplan an. So bleibt für die Erzeugung der Quadratrix die von Hippias. erdachte kinematische Erzeugungsvorschrift. Bei dieser gibt es kein Schritt um Schritt gezeichnetes Erzeugen von Kurvenpunkten und auch kein
anschaulich sinnfälliges Schritt um Schritt Nachvollziehen. Ob und warum das Ergebnis |ME|/|MD|= 2/π genähert oder exakt zutrifft, bleibt offen?
Der Unterschied von genäherter und exakt konstruierter Ergebniserzeugung liegt in den gezeichneten Berechnungsplänen. Bei Kochanski und Dinostratos ist das Ergebnis jeweils eine Überraschung, da es nicht sinnfällig aus den Schritten des aufgezeigten Rechengangs gefolgert werden kann. Dies ist anders bei den hier und im Buch Cohaerentic vorgezeigten Cohaerentic-Kalkulationen. Der gezeichnete Rechengang dieser Kalkulationen bleibt im Rahmen natürlicher Erfahrung anschaulich verständlich. Das angestrebte Ergebnis lässt sich schon nach endlich vielen Schritten des sequenziell gezeichneten Rechengangs erkennen. Das Ergebnis wird logisch und stringent berechnet und nicht herbei probiert. Bei den Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb probierende Schritte nicht zugelassen. Die Urrechenschritte (Urrechenoperationen) Doppeln und Halbieren, sowie die grundsätzlichen Gesetze im Erfahrungsraum, die Symmetrie und ein allgemeiner Erhalt-Grundsatz (Nichts verschwindet im Nichts und Nchts kommt aus dem Nichts) sind, spielen dabei eine dominierende Rolle. Dazu gibt es hier und im Buch Cohaerentic viele Beispiele.
A.Kochanski (1685) veröffentlichte für ein genähertes π-Berechnen eine heute häufig zitierte klassische Konstruktion.
Das Ergebnis ist nach wenigen Schritten erreicht. Mit weiteren Berechnungsschritten, sprich durch mehr Rechenaufwand, kann keine genauere Ergebnisdarstellung erreicht werden. Der gezeichnete Berechnungsplan umfasst nur wenige Schritte.
Unbegrenzt genähertes π-Konstruieren mittels Grenzprozess
Kreisverhältnis π = (Länge des gestreckten Kreisumfangs) / Durchmesser
