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Verzeichnis zu Struktur und Inhalt
2. Grundrechenarten
2.1 SUM / DIFF (Summation / Differenzbilden)
2.1.1 Grundprozesse
2.2. MUL / DIV (Multiplizieren / Dividieren)
2.2.5. Kreis, Ellipse
2.2.5. Vier- Kreispunkte-Kohärenzen
2.2.5.2. Sehnen- und Sekanten- Kohärenz
3. Höhere Rechenarten
3.1. Konstruierte Multi-Prozesse
3.1.1 Überblick
3.2. Konstruierte Grenzprozesse
3.2.1. Überblick
3.2.2. Konstruierte Grenzprozesse lösen klassiche Aufgaben der Antike
3.2.3. Multi-Summe Grenzprozeß für Kreisverhältnis π
3.3. Potenzen / Antipotenzen (Wurzeln)
3.3.1. Überblick
4. Konstruierte Urkohärenzen / Urberechnungen
4.1 Überblick
4.1.1. Ebene gerade Figuren
4.1.1.2. Dreieck in/aus Rechteck und Quadrat
4.1.1. 3 Kreisverhältnis=Kreisumfang/ Durchmesser
4.1.1. 3.1 Rektifizieren
4.1.1. 3. 2. Abrollenvon Polygonen
4.1.1. 3. 3. Quadratur des Kreises
4.1.1. 3. 4 Kreisfläche aus flächengleichen Quadrat
4.3. Multi. Verwandtschften = Kegelschnittkurven
4.3.1. Kreis - Parabel- Kohärenz
4.3.2. Kreis - Hyperbel- Kohärenz
4.3.3. Kreis - Parabel- Hyperbel- Kohärenz
4.3.4. Kreis - Ellipse- Kohärenz
4.4. Winkel
4.4.1. Winkel nessen und erzeugen
4.4.2. Das Problem des Winkeldreiteilens (WDT)
4.4.2.1 Historische WDT-Ansätze
4.4.2.1.1. Archimedes-WDT mit Strichlineal-Konstruktion
4.4.2.1.2. Descartes WDT von 1637 mit Parabel y = 2x²
4.4.2.1.3. Wantzel Beweis der WDT- Unmöglichkeit von 1837
4.4.2.2 Cohaerentische WDT-Ansätze
4.4.2.2.1. Grundsätzliches zu Ziel- und Lösungsgestalt-Verfahren
4.4.2.2.2. Unterschied klassich vs. cohaerentisch
4.4.2.2.3. WDT-Kreuzschleifen-Konstruktion
4.4.2.2.4. 4-Streckenzug-Zielgestalt
4.4.2.2.5. Autokonvergente Grenzprozesse
4.4.2.2.5.1. Halbbalken
4.4.2.2.5.2. Ganzbalken
4.4.2.2.6. Überraschende dreifach simultane Winkeldrittel-Kohärenz
4.4.2.2.7. WDT mit Parabeln y = x2 und y=x3
4.4.2.2.7.1. Exakte Parabel-Konstruktion y=x2 (blau) bzw. y=x3 (rot)
4.4.2.2.7.2. WDT mit Parabel y=x3
4.4.2.2.7.3 WDT mit Parabel y=x2
4.4.3. Zweifel am wantzelschen WDT-Unmöglich-Beweis
4.4.3.1. Kernthese:
4.4.3.2. Descartes (1637 ) vs. Wantzel (1837):
4.4.3.3. Streitpunkt: "Kurvenkonstruktion und Einschränken bei Kurventypen"
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1. Was ist, was leistet cohaerentische Geometrie?
Teaser-Abstract
Cohaerentische Geometrie ist kein in der Wissenschaft bekannter Begriff. Dahei bedarf es dazu einiger Erklärungen. Die cohaerentische Geometrie versteht sich als Einladung, in eine neue Richtung des geometrischen Denkens aufzubrechen. Sie stellt die vertraute Vorrangstellung der Zahl in Frage, welche die klassische Geometrie zur logischen Wissenschaft macht. Im Gegensatz bringt die cohaerentische Geometrie anschauliche geometrische Zusammenhänge als etwas Ursprüngliches zurück ins Spiel. Dies macht die cohaerentische Geometrie zur erkennenden Wiissenschaft. So wird erkannt, daß die elementaren exakten Kurven Gerade, Kreis , Parabel ... , wie sie bei klassichen Konstrktionen gedacht werden, nach gleichen Erzeugungsprizipien erzeugt sind. Nun werden die Parabeln und auch die bislang unbetrachtet bleibenden konstruierbare autokonvergenten Grenzprozesse als konstruierbare Pozesse betrachtet. Sie werden nicht mehr willkürlich ausgeschlossen. Auch das Problem der Quantisierung wird hier betrachtet.
Die mitgeteilte cohaerentische Geometrie ist keine lange gereifte Theorie, sondern ein Anstoß, der zeigt, die teils vorhandene Skepsis zur uneinegeschränkten Gültigkeit der bekannten klassischen „Unmöglichkeitsbeweise“ zum Winkedritteln, zu Kreisquadratur und zum Volumendoppeln des Würfels ist gerechtfertigt. Mit den veränderten Paradigmen der cohaerentischen Geometrie werden neue Einsichten erkennbar. Parabelkurven und unendliche Grenzprozeß-Konstruktionen werden in der bekannten Geometrie nicht betrachtet, sind ausgeschlossen. In der cohaerentischen Geometrie sind sie nicht ausgeschlossen, wird den historischen willkürlichen Einschränkungen der klassichen Geometrie nicht gefolgt. Besonders fällt ins Auge, die drei Problemaufgaben der Antike werden unter den neuen Rahmenbedingungen anschaulich nachvollziehbar lösbar. Es sind Ergebnisse die jenseits des engen, etwas dogmatischen Zahlmodells heutiger Mathematik liegen. Diese gibt endliche Schritte für die anerkannte wahre Lösung vor. Das geht an der Reelität vobei und wird schon durch den allgemeingültigen Quantisierungseffekt mit prinzipiellen Quantisierungsfehler gestützt. Die hier vorgestellten cohaerentischen Gedanken und Konstruktionen wollen zum Weiterdenken anregen. Sie machen sichtbar, dass Geometrie mehr sein kann als eine Illustration arithmetischer Regeln – sie kann ein eigenständiger, lebendiger Erkenntnisweg sein. Wer sich darauf einlässt, wird entdecken, dass manche alten Probleme nicht so übergreifend „unmöglich“ sind, wie sie lange galten. Es lohnt, diesen angedachten Weg aufzugreifen und weiter zu führen.
Die cohaerentische Geometrie geht insgesamt der Frage nach, ob niedrige und höhere Berechnungszusammenhänge primär von geometrischer Natur sind oder auf arithmetisch-algebraischem Wissen beruhen? Es zeigt sich hierbei, die Grenzen der Zahl sind nicht die Grenzen der Geometrie. Während die Zahlentheorie lediglich zeigt, dass bestimmte kontinuierliche Ergebnisgrößen nicht durch diskrete Zahlen darstellbar sind, bedeutet dies nicht, dass hier geometrische Erzeugungsprozesse unmöglich wären. Statt sich willkürlich, wie bei der euklidischen Geometrie, auf endliche Schritte zu beschränken, erkennt die cohaerentische Geometrie, es gibt unbegrenzt fortsetzbare Konstruktionen. Sogar als autokonvergente geometrische Grenzprozesse, bei denen bereits jedes Zwischergebnis eine reproduzierbare Teilrealisation des Ganzen ist. So zeichnet sich zu den heute erwarteten Geometrie-Grundlagen ein abweichendes Paradigma ab.
Die im 19. Jahrhundert bewiesenen unmöglichen Konstruktionen gehen von der Zahl aus. Cohaerentische Geometrie kehrt hier zurück zur Relation, von einer gerasterten zu einer kontinuierlichen Kohärenz, von einer „unmöglichen“, künstlich eingeschränkten, zu einer konstruktiven uneingeschränkten Geometrie, was über klassischen Geometrie hinausgeht.
In aller Kürze: Worum geht es?
Die „cohaerentische Geometrie“ ist kein etablierter Begriff in der Mathematik oder Wissenschaft. Diese Arbeit stellt sie als eine neue, alternative Sichtweise auf Geometrie vor. Im Zentrum steht die Kritik an der klassischen Geometrie, die sich stark auf Zahlen und algebraische Methoden stützt. Die cohaerentische Geometrie will stattdessen die anschaulichen, geometrischen Zusammenhänge und Konstruktionsprinzipien in den Vordergrund rücken.
Was will cohaerentische Geometrie leisten?
- Sie hinterfragt die Vorrangstellung der Zahl und der algebraischen Methoden in der klassischen Geometrie.
- Sie betrachtet geometrische Objekte (wie Gerade, Kreis, Parabel) als durch grundlegende Konstruktionsprinzipien erzeugt, nicht nur als algebraische Objekte.
- Sie erlaubt auch Konstruktionen, die in der klassischen Geometrie ausgeschlossen sind, z.B. unendliche Grenzprozesse oder bestimmte Parabelkonstruktionen.
- Sie behauptet, mit diesem erweiterten Ansatz die berühmten „unlösbaren“ Probleme der Antike (Winkeldrittelung, Quadratur des Kreises, Verdopplung des Würfels) anschaulich zu lösen – weil die klassischen Unmöglichkeitsbeweise auf willkürlichen Einschränkungen bei der Kurvenerzeugung beruhen.
- Sie sieht die klassische Mathematik/Geometrie als zu eng und dogmatisch, weil sie nur endliche, exakt mit Zahlen beschreibbare Schritte als Lösungen anerkennt.
- Sie bringt das Thema „Quantisierung“ ins Spiel, also die Frage, ob es überhaupt exakte Lösungen geben kann, da es schon bei der Quantisierung des zu drittelnden Winkels keine Zahl ohne prinzipiellen Fehler gibt und damit auch nicht für das Winkeldrittel.
Zentrale Frage:
Die cohaerentische Geometrie untersucht, ob grundlegende mathematische Zusammenhänge – insbesondere zwischen niedrigen (einfachen) und höheren (komplexeren) Berechnungen – primär geometrischer Natur sind oder ob sie auf arithmetisch-algebraischem Wissen beruhen.
Kernpunkte der cohaerentischen Geometrie:
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Grenzen der Zahl vs. Geometrie:
Die klassische Zahlentheorie zeigt, dass nicht alle kontinuierlichen Größen durch diskrete Zahlen darstellbar sind. Das bedeutet aber nicht, dass die Geometrie an denselben Grenzen haltmachen muss. Die Geometrie kann Prozesse und Konstruktionen ermöglichen, die über das hinausgehen, was mit Zahlen allein beschreibbar ist.
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Unbegrenzte Konstruktionen:
Während die euklidische Geometrie sich auf endliche, diskrete Schritte beschränkt, erkennt die cohaerentische Geometrie die Möglichkeit unbegrenzt fortsetzbarer, autokonvergenter Konstruktionen. Das heißt: Es gibt geometrische Prozesse, bei denen jeder Zwischenschritt bereits eine Teilrealisation des Ganzen ist und die sich prinzipiell unendlich fortsetzen lassen.
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Paradigmenwechsel:
Die klassischen Unmöglichkeitsbeweise des 19. Jahrhunderts (z.B. die Dreiteilung des Winkels mit Zirkel und Lineal) basieren auf arithmetischen Einschränkungen. Die cohaerentische Geometrie schlägt vor, diese Einschränkungen zu überwinden, indem sie von der Zahl (diskret, gerastert) zur Relation (kontinuierlich, kohärent) übergeht. Damit wird die Geometrie nicht mehr künstlich begrenzt, sondern konstruktiv erweitert.
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Neues Verständnis von Geometrie:
Im Gegensatz zur traditionellen Sichtweise, die Geometrie als auf Zahlen und endlichen Schritten beruhend versteht, sieht die cohaerentische Sichtweise die Geometrie als ein eigenständiges, kohärentes System, das nicht vollständig durch arithmetisch-algebraische Strukturen beschrieben werden kann.
Zusammengefasst:
Die cohaerentische Geometrie stellt einen alternativen, philosophisch-mathematischen Ansatz dar, der die klassischen Grundlagen der Geometrie kritisch hinterfragt. Im Mittelpunkt steht die Idee, dass die fundamentalen Zusammenhänge in der Geometrie nicht primär von Zahlen und algebraischen Operationen abhängen, sondern von eigenständigen geometrischen Relationen und Prozessen, die über die Grenzen der Zahl hinausgehen. Dadurch eröffnet die cohaerentische Geometrie ein neues Paradigma: Cohaerentische Konstruktionen werden nicht durch arithmetisch-algebraische Unmöglichkeitsbeweise eingeschränkt, sondern sie werden durch ihre eigene, kohärente Logik und unbegrenzte Fortsetzbarkeit bei Grenzprozessen bestimmt. So entsteht ein offeneres Verständnis von Geometrie als kontinuierliches, konstruktives System, das auch neue Wege zur Lösung klassischer Probleme vorschlägt. Dabei handelt es sich jedoch nicht um eine etablierte, bereits dikutierte Theorie, sondern um einen Denkanstoß, der die bisherigen Beschränkungen der klassischen Geometrie hinterfragt und zur Erweiterung des geometrischen Denkens anregt.
Noch etwas abstrakter gefaßt:
Die Sichtweise der cohaerentischen Geometrie unterscheidet sich von der klassischen Geometrie dadurch, dass sie geometrische Objekte nicht als starre, feststehende Gebilde betrachtet, sondern als dynamische Prozesse oder Entfaltungen. Das bedeutet: Ein geometrisches Objekt ist nicht einfach „da“, sondern entsteht, entwickelt und verändert sich – es ist also ein Prozess, der sich kontinuierlich entfaltet.
In diesem Rahmen spielt die Zahl eine besondere Rolle. Während in der klassischen Mathematik Zahlen oft als abstrakte, statische Größen verstanden werden, sieht die cohaerentische Geometrie sie als „Abbildobjekt“: Zahlen sind Werkzeuge, mit denen die Prozesse der Entfaltung und Entwicklung geometrischer Strukturen handhabbar werden und besser beschreiben werden können. Die Zahl folgt den natürlichen Rechengrößen, indem sie die Prozesse der Geometrie abbildet und zugänglich macht.
Glossar zur Einführung
Klassische vs. cohaerentische Geometrie
Die nachfolgende Tabelle stellt etwas zusammenfassend dar, was vom Leser erst wirklich ganz verstanden werden kann, wenn er diese Arbeit zur cohaerentischen Geometrie vollständig durchgearbeitet hat. Die Tabelle ist eine orientierende einführende Verständnishilfe.
| Aspekt |
Klassisch: |
Cohaerentisch:
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Geometrische Grundlage
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Durch die Algebraisierung entsteht die analytische Geometrie mit diskreten Maßen und Koordinaten, die als Zahldarstellung erwartet werde.
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Fundament sind geometrische Relationen und Abhängigkeiten. Sie werden durch Schritt-für-Schritt-Prozesse beschrieben, nicht durch diskrete Zahlen, Maße oder Koordinaten als abgeleitete Größen.
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Unmöglichkeits-beweise
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Sie gelten im Rahmen der auf Gerade und Kreis-Kurven eingeschränkten klassischen Geometrie mit dem Kohärenz-Fundament Zahl.
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Sie gelten ohne Einschränkungen auf Gerade- und Kreiskurven Fundament sind geom. Relationen unnd Abhängigkeiten.
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Grenzprozess
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Ein Denken zu klassich konstruierten Grenzprozessen ist im klassischen Paradigma verboten, da es zu nur genäherten und danit falschen Ergebnissen führe.
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Unendliche Grenzprozesse sind integraler Teil
des geometrischen Zusammenhangs: Jedes Zwischenergebnis
ist bereits eine Teilrealisation, die autokonvergent auf den Grenzwert zuläuft.
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Autokonver-genz
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Begriff ist nicht gebräuchlich. Annähern erfolgt meist über Probieren, Korrigieren oder Näherungsverfahren. Die Exaktheit wird durch die Lösung algebraischer Gleichungen gewährleistet.
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Ein Prozess ist autokonvergent, wenn er von selbst, ohne probierende oder korrigierende Schritte exakt auf den Grenzwert bzw. Grenzpunkt zuläuft.
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Teilrealisation-
Gültigkeit
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Zwischenergebnisse eines Grenzprozesses gelten lediglich als blose „unvollkommene Approximation“.
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Jede Zwischenstufe ist eine eigenständige, reproduzierbare Teilrealisation einer ganzheitlichen geometrischen Realität.
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Problem der geometrischen
Quantisierung
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Bleibt weithehend unbetrachtet
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Wird betrachtet. Die Einsicht zur unmöglichen Zahldarstellung einer kontinuierlichen Abbildgröße in endlichen Schritten, geht über Wantzels Unmöglich-Einsicht hinaus, ist allemeiner. |
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Paradigma
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Paradigma „Zahl" bestimmt das Grunlagendenken zu geometrischen Berechnungsaufgaben.
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Paradigma „Relation" bestimmt das Grunlagendenken zu geometrischen Berechnungsaufgaben. Zahl ist abgeleitet.
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| Winkeldrittelung und Prozesse |
Das Winkeldritteln mit Zirkel und Lineal gilt als „unmöglich“, weil nicht in endlich vielen Konstruktionsschritten das Ziel erreicht werden kann. Umgehungen mit Parabeln oder anderen Kurven werden als „fremde Hilfsmittel“ betrachtet und bleiben außerhalb des klassischen Paradigmas. |
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1.1. Grundgedanke und Zielbegriff
Der Begriff "Cohaerentisch" ist zur Abgrenzung eingeführt. Er grenzt die cohaerentische Geometrie vor allem gegenüber der euklidischen und arithmetisch-algebraisch interperetierten Geometrie ab. Eine Kernmotivation für die angestrebten Paradigmenwechsel geht von den berühmten Unmöglichbeweisen zu den drei Problemaufgaben der Antike und ihren
unzulässigen Verallgemeinerungen aus. So wird von unmöglichen vollständigen Ergebnisdarstellungen unzulässig auf unmöglich konstruierte Erzeugungsprozesse abstrahiert. Das heute dazu gelehrte Wissen beschreiben mit folgender
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
die Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger.
Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
Dieses gelehrte Wissen vermischt zwei Begriffe, setzt sie quasi gleich. In der geometrischen Realität ist aber der Größendarstellungsprozeß für ein Größenabbild "Zahl" nicht gleich dem des geomtrischen Erzeugungsprozesses für die geometrischen Ergebnisgröße "Winkeldrittel". Ein nicht abschließend Darstellenkönnen bedeutet nicht, dass es kein mit jedem Schritt weiteres Zustreben zum exakten, logisch nachvollziehbaren Grenzwert gibt. Hier muß noch daran erinnert werden, das Quantisierungsproblem mit prinzipiellem Quantisierungsfehler ist allgemeingültiger als der wantzel`sche Unmöglich-Beweis von 1837, der nur eingeschränkt für Drittelungsversuche des Winkels mit Gleichungen vom 3. Grad (kubische Parabel) zutrifft. Wantzel irrt als er glaubt, daß auch ein Winkeldritteln mit Parabel y=x^2 unmögich sei. Daher betrachtet er es nicht. Mit cohaerentisches Winkeldritteln wird gezeigt, die sichtbare Grundlage geometrischer Zusammenhang ist nicht der einzelne Winkelzusammenhang sondern das ganzheitliche System von Winkeln im Halbkreis.
-
Euklid arbeitet konstruktiv-anschaulich (Zirkel & Lineal).
-
Die späteren modernen Unmöglichkeitsbeweise (z. B. Winkeldrittelung, Kreisquadratur) stammen aber aus der algebraisch-zahlentheoretischen Interpretation der Geometrie (Körpererweiterungen, Galois-Theorie).
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Diese setzen die Zahlentheorie als „Grundlage“ der Geometrie voraus, was zwar formal sehr mächtig, aber für die Wirklichkeit des geometrischen Handelns (Konstruktionen, Prozesse, Visualität) nicht identisch mit der ursprünglichen euklidischen Praxis ist.
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Die „Unmöglich“-Urteile sind damit keine rein geometrische Realttät, sondern Aussagen über arithmetisch.algebraische Rechenstrukturen, die auf Geometrie projiziert werden.
Hier setzt die cohaerentische Geometrie an:
Sie sagt, geometrische Wirklichkeit ist nicht auf Zahlentheorie reduzierbar. Wird es gemacht, führt es zu Problemen:
- Arithmetisch-algebraisch interpretierte Geometrie sagt, für das unmögliche Winkeldritteln ist wichtig, daß Parabelpunkte y= x2 und y=x3 und insbesondere y=xN mit N >3 nicht für alle x konstruierbar sind und begründet dies auf der theoretischen Grundlage zu Zahlenkohärenzen.
- Cohaerentische Geometrie sagt hingegen, Parabelpunkte y=xN mit N= 2; 3; 4 ..... sind sehr wohl vom Prinzip her für alle gegebenen x jeweils mit endlichen Schritten konstruierbar. Dies wird mit keiner Theorie begründet, sondern mit entsprechenden sichtbar, logisch nachvollziehbaren Konstruktionen demonstriert. Diese kommt ohne Zuhlfenahme von Zahlen und der Zahlentheorie aus. Zu Einzelheiten siehe dazu auf Unterseite 2.2.1. Parabel https://www.cohaerentic.com/index.php/kreis/produktekte/param und 3.1 Multi-Produkte "https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu/mugre.
Was grenzt sich ab, wovon grenzt es sich ab?
Mit welchen Paradigmen wird sich abgegrenzt? Die heutigen Argumentationen und Erklärungen zu den grundlegenden geometrischen Zusammenhängen stützen sich seit Euklid immer mehr auf Einsichten zur Zahlentheorie. In diesem Rahmen wird zu respektablen Ergebnissen gelangt, was Mathematiker befriedigt, aber Lernende eher verwirrt als erhellt. Die Einsichten zu den formalen Unmöglichkeitssätzen zu den klassichen drei Aufgaben der Antike Winkeldritteln, Kreisfläche in ein flächengleichesQuadrat wandeln und Würfelvolumen verdoppeln sind nicht mit sichtbaren, nachvollziehbaren geometrischen Prozessen geführt.
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„Unmöglich“ in der klassischen Geometrie heißt somit nicht, dass die erwartete gesuchte Figur bzw. Größe selbst nicht existiert.
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Es heißt nur: In dem Zahlmodell, das wir benutzen, können wir sie nicht als Zahl konstruieren.
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Das tieferliegende Problem ist: Geometrische Figuren lassen sich nie vollständig in Zahlen einfangen – jede Zahl als diskretes Objekt ist nur eine Annäherung.
1.2. Konsequenz aus Quantifizierung
a) Zahl ist keine vollständige Beschreibung
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Eine Zahl ist nur ein Abbild, ein Symbol für eine diskrete Größe.
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Sie kann einen geometrischen Zusammenhang niemals vollständig erfassen, weil sie diskret ist, während die Figur bzw. die geometrische Größe kontinuierlich ist.
b) Was stattdessen zählt
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Entscheidend ist nicht allein das Ergebnis als Zahl, sondern der Erzeugungsprozess, der zur Ergebnisfigur /Ergebnisgröße führt.
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Der Erzeugungsprozess kann aus einer endlichen oder auch prinzipiell unendlichen Abfolge von sichtbaren, nachvollziehbaren Konstruktionsschritten mit Kreis und Gerade bestehen.
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Damit ist die Lösung in der Figur- bzw. Größenentstehung selbst verankert, nicht in der Zahl, die man ihr später zuschreibt.
c) Beispiel: Parabelpunkte y=xN mit N= 2; 3; 4; ... klassich konstruieren
- Klassisch: „Unmöglich, weil keine Zahl die Lösung oberhalb der Quadraturen (N>2) vollständig ausdrücken/darstellen könne.“
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Cohaerentisch: Möglich, weil die Lösungsgröße für N nach endlichen Wiederholzyklen zur wiederholten Multiplikation vollständig erzeugt und dargestellt ist.“ Beispiele für konstruierte Parabelpunkte y=xN mit N= 1; 2; 3; .... sind im Rahmen cohaerentischer Paradigmen auf https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu/mugre und im Buch S.Schleicher Cohaerentic ISBN S.200 konstruiert.
d) Beispiel: Winkeldritteln klassich konstruieren
- Klassisch: „Unmöglich, weil keine Zahl aus Quadraturen die Lösung vollständig ausdrücken könne.“
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Cohaerentisch:
a) „Möglich, weil Ergebnisgröße aus Quadraturen die Lösung vollständig ausdrücken kann und jeder Parabelpunkt y=xN mit N=2; 3; 4; .... durch endliche Wiederholsequenzen konstruierbar ist.“
b) „Möglich, weil ein exakter endlicher systematischer Prozess mit gegebener Parabel y=x^2 und einer konstruierten Sequenz aus Kreis- und Geraden-Objekten das simultane dreifache Dritteln dreier aneinander grenzender Winkel im Halbkreis sichtbar und logisch nachvollziehbar erzeugt (Systemkohärenz). Der dafür prinzipiell erforderliche unendliche Erzeugungsprozeß versteckt sich in der hier gegebenen Parabel y=x2, für die er aufgewendet wird.
c) „Möglich mit einem exakten endlosen Prozess, der die Bewegung hin zu einer Winkeldrittel-Zielfigur realisiert und zwar mittels Wiederholseuquenzen aus endlich vielen Kreis- und Geraden-Objekten, so daß sichtbar und logisch nachvollziehbar tatsächlich dem exakten Grenzwert=Winkeldrittel zustrebt wird und keine blose Näherung stattfindet!
Die Einsichten zum "Unmöglich"sind innehalb des gedanklich gesteckten Rahmens der Zahlentheorie ohne Widersprüche, also für die Mathematik richtig. In Bezug zur Geometrie als einen Teil der erfahrbaren Realwelt weisen die besagte Einsichten zum verallgemeinerten "Unmöglich, wie oben aufgezeigt, erhebliche Widerspruch auf.
Wo grenzen sich die beiden unterschiedlichen Paradigmen voneinander ab?
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Ontologischer Ansätz:
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Zahlformalismus: „Zahl ist die Grundlage, Geometrie ist abgeleitet.“
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Cohaerentisch: „Relation ist die Grundlage, Zahl ist ein abgeleitetes Größenabbildmodell .“
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Wahrheitsbegriff:
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Zahlformalismus: „Unmöglichkeitssätze“ gelten absolut im Modell und werden oft wie allgemeingültige Aussagen über Geometrie formuliert, was verwirrt.
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Cohaerentisch: Dieselben Unmöglichkeitssätze werden als Rahmenaussagen gesehen, deren Geltung auf das dem Beweis zugrunde gelegten Zahl-Modell beschränkt ist und die geometrische Realität nicht ausreichend abbildet.
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Realitätsbezug:
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Zahlformalismus: nimmt stillschweigend an, das Zahlmodell bilde die reale Geometrie vollständig ab.
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Cohaerentische Geometrie macht explizit sichtbar, dass das Zahl-Modell nur eine Verengung ist, und rückt hier Geometrie wieder als Teil der erfahrbaren Realwelt in den Vordergrund.
Die zusammenfassende Argumentation zum Paradigmenkonflikt ist:
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Innerhalb der Zahlformalistik ist erkannte „Unmöglichkeit“ korrekt.
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Bezogen auf Geometrie als Realität ist dieses „Unmöglich“ aber falsch, weil es das falsche Paradigma verallgemeinert.
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Die cohaerentische Geometrie zeigt praktisch durch Konstruktionen, unter anderem auch zu Parabelpunkten y=xN, dass der Widerspruch zum Unmöglich nicht bei der Geometrie liegt, sondern bei der Verkürzung durch das Zahl-Modell.
Entwicklung im historischen Zeitverlauf:
Die ELEMENTE von Euklis (ca 330 v.u.Z) lehren endliche Konstruktionen, da erwartet wird, daß unendliche Konstruktionen blose Näherungen liefern, nichts Exaktes, was in endlichen Schritten vollständige dargestellt werden kann. Euklidische Geometrie lehrt geometrisches und arithmetisch-algebraisches Wissen zu den Grundbeziehungen, die mit endlich vielen Schritten umzusetzen sind. Die cohaerentische Geometrie konzentriert sich auf die Grundbeziehungen eines konstruierten niederen bis höheren Rechnens und lehrt dazu geomerisches Wissen. Was unterschwellig bei euklidischer Geometrie bleibt, ist das Gefühl, die Einsicht, daß mit der Beschränkung auf endliche viele Schritte der allgemeine Prozeß des Entwickelns unterbrochen und abgeschnitten wird. Ein Weiterdenken zu geometrisch konstruierten Multiprozessen und Grenzprozesse höherer Rechenarten fand und findet nur in der mathematischen Welt der Zahlen statt. Die Vorstellung von durchgängig rein geometrisch konstruierten Erzeugungsprozessen für das Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Durchmesser fehlt. Sie sind aber als konstruierte unendlichen Multipozesse und Grenzprozesse ohne Zahlen der Geometrie inhärent.
Hier setzt cohaerentische Geometrie ein. Sie überwindet die Erwartung der euklidischen Geometrie, daß eine darstellbare diskrete Zahl das Ergebnis sein soll. Nun wird ein darstellbarer nachvollziehbarer Weg geometrischer Zusammenhänge als Ergebnis gesucht, ohne daß dafür Zahlen benötigt werden. Die Einsicht "ohne Zahlen" ist für die Grundlagen wichtig, bedeutet aber nicht, daß damit die Bedeutung und der Wert der Zahlen geschmälert wird. Cohaerentische Geometrie erkennt, die euklidische Beschränkung auf endliche Schritte ist nur ein Teil der natürliche Realität und nicht der Weisheit letzter Schluß. Cohaerentische Geometrie überwindet die euklidische Einsicht zur Anzahlbeschränkung der Schritte bzw. konstruierten Objekte. Überwunden wird die Grundannahme von der Priortät der Zahlen, der Zahlenkohärenzen und der daraus abgeleiteten Geometrie.
Kernpunkte:
- Euklidische Geometrie, wie sie in den ELEMENTEN systematisch angelegt wurde, hat eine klare Regel. Nur endliche Konstruktionen gelten als zulässig. Damit lässt sich ein sehr mächtiges, in sich geschlossenes Gebäude errichten. Dieses ist aber bewusst abgeschnitten von der Vorstellung rein geometrischer Berechnungsgrundlagen und von konstruierten unendlichen Prozessen ohne Zahlen.
- Eine cohaerentische Geometrie verschiebt den Blick: Nicht mehr allein das exakte Endresultat in endlich vielen Schritten ist das Ziel, sondern auch konstruierte Punktefolgen mit anschaulich nachvollziehbarem Weg. Solche bei denen sich das Netz von Zusammenhängen, im Zeichnen, im Wiederholen und im Grenzverhalten offenbart.
- Klassische Geometrie schränkt den Katalog möglichen Kurven, welche die geoemtrischen Zusammenhänge beschreiben, bewußt auf Gerade und Kreis ein. AndereKurven werden aks Erwieterung gesehen. Cohaerentische Geometrie mach das nicht, siwhr die euklische Perspektive als Einschränkung, da die Kurvenerzeugung nach gleichen prinzipiellen Vorgehen geschehe.
Wesentliche Merkmale euklidische und coharentische Geometrie im Vergleich
| Aspekte |
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Cohaerentisch |
| Beweisform |
Schrittweiser, synthetischer Aufbau mit Flächenzerlegung |
Aussage und Beweis im selben Bild, ohne separate Schritte |
| Methodik |
Speziell für einzelne Sätze (z. B. Pythagoras) |
Modular erweiterbar auf viele Sachverhalte (Mul, Div, Winkel…) |
| Zielsetzung |
Strenge, formalisierte Geometrie |
Visuelle Verständlichkeit, intuitive Einsicht |
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Die radikale Konsequenz daraus ist:
- Während die euklidische Tradition ein „Scheitern“ endlicher Lösungskonstruktionen zu den leicht verständlichen drei Aufgaben der Antike eine Grenze des Möglichen sieht, deutet die cohaerentische Geometrie dieselben Sachverhalte als Einsicht in eine unendliche, aber Schritt um Schritt nachvollziehbare Entfaltung geometrischer Ordnung.
- Cohaerentische Geometrie erkennt die Endlichkeitsbeschränkung als eine mögliche Konvention, aber nicht als der Weisheit letzter Schluss.
- Cohaerentische Geometrie integriert die unendlichen Prozesse als legitimen Teil der geometrischen Realität und gewinnt dadurch bessere Einsichten, als mit der bislang gelehrten „Unmöglichkeit“.
Die cohaerentische Sicht öffnet ein anderes Paradigma:
Euklidische Geometrie: Exaktheit = Endlichkeit.
Cohaerentische Geometrie: Exaktheit = Nachvollziehbare, anschauliche Struktur, die wegen der Raumeigenschaft Kontinuität bis zum Grenzfall fortgedacht werden kann. Es gibt hier keinen Widerspruch. Die cohaerentische Geometrie steckt den Rahmen weiter. Sie akzeptiert die euklidische Sicht als „Sonderfall
mit Endlichkeitsdogma“ als bewußt eingeschränkte Betrachtungsmöglichkeit.
Die cohaerentische Geometrie ist ein neuer Zugang zu elementarer Geometrie
Hier ist das Fundament nicht das Zahlensystem, sondern die unmittelbare geometrische Kohärenz, das anschaulich erfahrbare, stetiges Zusammenwirken der Grundkurven Kreis und Gerade. Dabei wird die beschränkende Tradition der euklidischen Geometrie auf endliche Schritte überwunden. Die Beschränkung auf Kreis- und Gerade-Objekte wird nicht verworfen, es wird bei diesen beiden zentralen Kurvenobjekten verblieben. So werden neue Bedeutungen und neue Konstruktionen möglich. Es wird die Einbeziehung von DGS (Dynamischer Geoemtrie-Software) möglich, was z.B. das cohaerentische Konstruieren eines Parabelpunktes y=x^2 und seiner Parabelspurkurve im DSG-Zugmodus ermöglicht. Anstelle von abstrakten Definitionen wie „Punkt ohne Ausdehnung“ und „breitenlose Linien“ untersucht die cohaerentische Geometrie nachvollziehbare, endliche Konstruktionsprozesse und deren Grenzfälle. Jeder Schritt dieser Grenzprozesse liefert ein exaktes Zwischenergebnis, das im Grenzfall die exakte Lösung darstellt. Diese Grenzprozesse erzeugen mit Kaskaden von Autokonvergenz keine bloße Näherung. Im Mittelpunkt steht nicht das Abzählen diskreter Punkte, sondern das Erkennen und Konstruieren von Formen aus kontinuierlichen, kohärenten Symmetrie- und Erhalt- Zusammenhängen. Punkt und Linie werden auf Grundlage real erfahrbarer geometrischer Phänomene präzisierend neu definiert. So wird das klassische Paradoxon euklidischer Geometrie vermieden, dass das „Nichts eines Punktes“ eine Linie ausfüllen soll.
Nähe zur Realität
Die cohaerentischen Konstruktionen sind näher und stärker an der realen Welt dran, als die der klassischen euklidischen Geometrie. Viele Formen und Prozesse der realen Welt sind tatsächlich kontinuierlich und nicht diskontinuierlich und nicht endlich abgeschlossen. In der Natur und Technik begegnen uns oft Kurven und Formen, die durch Grenzprozesse modelliert und beschrieben werden können. Viele cohaerentische Konstruktionspläne umfassen daher endlos viele Anweisungen, was mit Wiederholsequenzen erreicht werden kann. Viele diese cohaerentischen endlosen Grenzprozesse streben als Autokohärenzkaskade mit sichtbar nachverfolgbaren, sich wiederholenden Kreis- und Gerade-Objektsequenzen gesetzmäßig, ohne probierende Schritte, einem sinnvollen exakten Grenzpunkt zu.
Zusammenfassung zum Grundunterschied:
Im Allgemeinen lassen sich die cohaerentischen Konstruktionen durchaus als Weiterdenken der euklidischen Geometrie verstehen. Sie verlassen zwar bei der Begrenzung der Schritte das Regelwerk der klassischen euklidischen Geometrie, bleiben aber dem Geist des Konstruierens und Sichtbarmachens treu.
Didaktischer Aspekt:
Cohaerentische Geometrie ist ein möglicher Weg, um Geometrie tiefer, lebendiger und prozesshafter zu lehren und zu verstehen. Cohaerentische Geometrie ist ein Weiterdenken statt eines Widerspruchdenkens. Sie ist kein Bruch, sondern eine Erweiterung: Sie respektiert das Prinzip der Konstruktion mit den Grundkurven Kreis und Gerade, ergänzt es aber durch sichtbare Einbeziehung auch nicht endlich konstruierbarer Probleme. Sie eröffnet einen Weg, um Unmögliches (im klassischen Sinn) auf neue Weise begreifbar zu machen. Sie überschreitet das formale Regelwerk Euklids, aber nicht seine konstruktive Denkweise. Die Ansätze zu einer cohaerentischen Geometrie werden im Buch von S. Schleicher, „Cohaerentic“ (ISBN 97839820252-1-6) sowie auf dieser web-Seite www.cohaerentic.com in den Modulen
- Warum konstruiert berechnen?
- Grundrechenarten
- Höhere Rechenarten
- Konstruierte Urberechnungen
dargelegt.
1.3. Gegenüberstellungen der beiden Sichtweisen bei Punkt und Linie
Euklid schreibt: „Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Die Enden einer Linie sind Punkte.“ (Elemente, Definition 1) Der Punkt ohne Ausdehnung ist ein reines Orts- oder Positionssymbol, kein physisches Etwas. Er hat keine Länge, keine Fläche, kein Volumen.
Euklid schreibt: „Eine Linie breitenloser Länge.“ Spätere Mathematiker (v. a. im 19./20. Jahrhundert) lehren: Eine Linie ist eine unendliche Menge von Punkten.
Problem: Eine Summe von Nichts ergibt immer noch Nichts. Wie kann eine Kontinuität (z. B. ein Liniensegment mit Länge 1) aus einer diskreten, ausdehnungslosen Menge bestehen?
Hier entsteht ein philosophisch wie mathematisch berechtigter Widerspruch.
Im Erfahrungsraum kann eine Linie als Grenze zwischen zwei raumausfüllenden Medien wahrgenommen werden (z. B. rot–grün, grün–weiß oder rot–weiß).
Die Grenzlinie dehnt sich quer zur Übergangsrichtung aus und wird in der Abstraktion zur Linie ohne Breite.
Die cohaerentische Linie ist damit sowohl ein real erfahrbares Kohärenzobjekt als auch ein Darstellungsmittel für geometrische Objekte, insbesondere für translatorische und rotatorische Transformationen oder funktionale Zusammenhänge durch Linienkurven. Die einfachste cohaerentische Linienkurve ist die Kreiskurve. Ihre wahrgenommene Größe hängt zunächst vom Betrachtungsabstand ab, doch die Kreisgestalt bleibt unverändert. Dieses konstante Verhältnis von Umfang zu Durchmesser (π) kann als geometrische Figur konstruiert werden.
Die cohaerentische Gerade entsteht als Grenzfall: ein unendlich großer Kreis mit unendlicher Kreislinie. Ein Blick auf ein lokales Stück der Kreiskurve mit unendlichem Radius lässt sie als Gerade erscheinen. Sie ist gleichzeitig Gerade und Kreiskurve, also das exakte Ergebnis eines gedacht konstruierten Grenzprozesses (Teilbild d)).
Cohaerentischer Punkt
Der cohaerentische Punkt kann als Ergebnis verschiedener Grenzprozesse erscheinen:
- als Schnittpunkt cohaerentischer Linien, ohne eigene materielle Existenz
- mit unendlich kleiner Ausdehnung, als unendlich kleiner Kreis mit unendlich kurzer Kreislinie
- als Spurerzeuger einer kontinuierlichen Bewegung eines Schnittpunkts in unendlich kleinen Schritten.
Die cohaerentische Geometrie lotet bewußt die Grenze, das Spannungsfeld zwischen konstruierten endlichen und unendlichen Berechnungszusammenhängen aus. Anders als bei euklidischer Geometrie wird bewußt nach sichtbaren nachvollziebaren Grenzprozessen gesucht, die ganz ohne Rechengößen "Zahlen" auskommen.
In der cohaerentische Geometrie gibt es nicht das klassische, oft übersehene Paradoxon der euklidischen Geometrie (und der klassischen Mengenlehre), wo der Punkt ohne Ausdehnung als punktuelles „Nichts“ kontinuierlich die Linie längs ausfüllt. Die euklidische und cohaerentische Geometrie unterscheiden sich bei den Eigenschaften (Axiomen) der zwei Grundobjekte / Grundzusammenhänge Punkt und Linie. Daduch werden euklidische und cohaerentische Konstruktionen in ihrer Struktur grundlegend anders geprägt.
Coharentische Kurve
Die cohaerentischen Kurven unerscheiden sich von einer Linie nicht in der prizipiellen Erzeugung. Ein bewegter Punkt zeichnet eine sichtbare Spur, eine Linie. Der Unterschied wird duch ihre verschiedenen Krümmungen bestimmt. Keine Krümmung ist eine gerade Linie, winw Gerade. Eine endlos große Krümmung hat ein Kreis, der auf einen Punkt geschrumpft ist. Die Potenzkurven des N-ten Grades (y=x^N) haben keine konstante Krümmung, sondern eine, die von der Größe der aktuellen unabhängigen Variablengröße noch algebraischen Verknüpfungsgrundsätzen abhängt, sprich nach elementaren Rechenoperationen.
Unerschiede „Euklidische zu Cohaerentische Geometrie“ — mit konkreten Beispielen zu fünf Uraufgaben
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Aspekt
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Euklidische Geometrie
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Cohaerentische Geometrie
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Begriff
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Historisch gewachsene Konstruktionstradition auf Basis von Euklids Axiomen
und der Zusatzkonvention „Zirkel & Lineal, endliche Schritte“.
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Neu eingeführter Begriff zur Abgrenzung
– Schwerpunkt sind
nachvollziehbare geometrische Zusammenhänge und
konstruierte formalisierte Grenzprozesse.
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Konstruktions-
prinzipien
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Axiome von Euklid + historische Zusatzregel: Nur endliche Zirkel- & Lineal-
Konstruktionen erlaubt. Ergebnis muss nach endlich vielen Schritten vollständig vorliegen.
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Präzisierte, realitätsnähere Axiome zu Punkten, Linien und Figuren. Zulässig sind endliche Konstruktionen
und gesetzmäßige Grenzprozesse mit Kreis- und Gerade-Objekten, die konvergent sind und
potenziell unendlich viele Schritte umfassen dürfen.
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Linien sind Punktmengen. Flächen sind Linienscharen.
Die Linie entsteht durch
Aneinanderreihung von
Punkten.
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Eine Linie ist als ein Kohärenzobjekt definiert. Eine Linie wird als Grenze zwischen zwei raumausfüllenden
Medien wahrgenommen. Als Grenzlinie dehnt sie sich
quer zum Medienübergang aus. Sie wird zum Raumobjekt Linie ohne Breite abstrahiert.
Die Linie ist keine Aneinanderreihung von Punkten.
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Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Die Enden einer Linie sind Punkte. Diese sind Grundbausteine/Grundobjekte ohne Ausdehnung und füllen
die Linie in Ausdehnungsrichtng.
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Cohaerentische Punkte sind Schnittpunkte von breitenlosen Linien. Sie haben keine eigene materielle Existenz und auch keine räumliche Ausdehnung.
Sie sind keine Bausteine, die in der Summe keine
Strecke, keinen Kreisbogen, keine Fläche ausfüllen.
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Prinzip
des
Konstruierens
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Aufbau erfolgt punktmengen-theoretisch und additiv mit endlich viel Objekten: Punkt → Linie → Fläche→ Raum.
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Kein punktmengentheoretischer Aufbau mit endlich vielen Objekten. Zugelassen sind endlich und
endlos viele Kreis- und Gerade-Objekte
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Füllung und
abzählbare Struktur
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Geometrie wird über Mengen und Additionen konstruiert, was mit,
dem Punkt
als Füllbaustein realisiert wird. Daraus gehr die Idee der endlichen Schrittfolge hervor.
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Geometrie wird nicht über Mengen und Additionen konstruiert. Der Punkt als kein Füllbaustein nimmt
der Idee der endlichen Schrittfolge ihren
ontologischen Zwang. Die Forderung nach Abgeschlossenheit wird nicht nur gelockert,
sondern grundsätzlich neu gedacht.
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Konsruktionen
mit
Grenzprozessen
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Nicht erlaubt,
da sie nur beschränkte, bloß probierend gewonnenen Näherungen realisieren.
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Erlaubt,
sofern sie geometrisch konvergieren und
der Grenzwert im Modell eindeutig definiert ist.
Konstruierte endlose Grenzprozesse
sind mehr als bloße Näherungsprozesse.
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Beispiel 1:
Satz des Pythagoras
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Flächenzerlegung der Kathetenquadrate und Einbettung ins Hypotenusenquadrat.
Kein durchgehender Zirkel-&-Lineal-Prozess; Beweisführung auch mit getrennten
algebraischen Rechnungen. Aussage und Beweis sind getrennt.
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Direkte, anschauliche Konstruktion nur mit geometrischen Bewegungen (Rotation,
Verschiebung, Spiegelung) zur Sichtbarmachung des Flächenerhalts. Symmetrie statt Maßstab
Beweis der Flächengleichheit erfolgt unmittelbar
in der Figur,
nicht durch separate Rechnung.
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Beispiel 2:
Winkeldritteln
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Beweis (Wantzel 1837): Für beliebige Winkel unmöglich mit Zirkel & Lineal in
endlichen Schritten. Unmöglichkeit gilt wegen der
der Körpertheorie: 2^(1/3)
liegt nicht im Zirkel-Lineal-Körper.
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a) Mit gegebener Parabel 𝑦 = 𝑥^2 : Mit endlich vielen Kreis- und Geraden.Objekten wird ein simultanes Dreifach-Winkeldritteln von
3 Winkeln realisiert, die ein Halbkreispunkt mit x- und y- Achse aufspannt.
Damit gilt Wantzels "Unmöglichbeweis" nur für Verfahren, die mit kubischen Gleichungssystemen arbeiten.
b) Mit konstruierter Folge von Parabelpunkten 𝑦 = 𝑥^2 :
Ausgehend von 3𝛼 wird eine Folge von Parabelpunkten konstruiert, die gesetzmäßig mit Autokonvergenzkaskade den Drittelpunkt als Grenzpunkt zustreben.
c) Mit Zielgestalt: Konstruierte Autokonvergenzkaskade ( gezeichneter Grenzprozeß) erzeugt schrittweise, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten, eine Dreh-Annäherung an die exakte Winkeldrittel-Richtung.
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Beispiel 3:
Rektifikation des
Kreisumfangs (π)
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Keine durchgehende Zirkel-&-Lineal-Konstruktion bekannt. Das Archimedes- Verfahren liefert Zahlenwerte durch polygonale Approximation, aber keine
reine geometrische Strecken-darstellung. Unmöglichkeit
wird heute begründet mit
Transzendenz von π.
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Archimedes’ Verfahren liefert Zahlenwerte durch polygonale Approximation, aber keine reine geometrische Streckendarstellung. Ziel: Geometrische Darstellung des Kreisverhältnisses 𝜋
als Rechteckfigur. Grundlage sind konvergente
Grenzprozesse: z. B. kohärentisches Abrollen regulärer Vielecke (4-, 6-, 8-Eck …) oder schrittweises Gerade-biegen gleichlanger Kreisbögen. Diese Methoden sind effizienter und liefern mit weniger Aufwand genauere Ergebnisse als die Archimedes- Polygonmethode.
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Beispiel 4:
Volumendoppeln beim Würfel
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Unmöglich in endlichen Schritten, da 2^(1/3) nicht durch Zirkel & Lineal konstruierbar ist.
Die Unmöglichkeit der Würfel-doppelung beruht allein auf Körpertheorie: 2^(1/3)
liegt nicht im Zirkel-Lineal-Körper.
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Zahl als Grenzwert eines konstruktiven Prozesses – existiert als „Grenzidentität“ im Modell.
Mit einem Grenzpzeß wird eine konvergente
Punktefolge konstruiert, deren Fortsetzung als Kurve dem Grenzfall=Grenzwert 2^(1/3) zustrebt.
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Beispiel 5:
Rotorische<-> translatorische Transfomation
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Nicht bekannt und nicht angestrebt als durchgehende Konstruktion mit endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten
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Wird betrachtet und realisiert.
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Reine Theorie: Exakte Lösungen nur innerhalb der durch Axiome und Konstruktionsprinzipien gesetzten Grenzen. Alles andere gilt als „nicht konstruierbar“.
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Erweiterte Theorie: Erkennt Raumkontinuität
als nutzbare Eigenschaft und verleiht
den Grenzwerten konstruktiver Prozesse
formalen Status.
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In der euklidischen Sicht steht die Zahl als abstraktes, von der Darstellbarkeit
losgelöstes Objekt im Vordergrund.
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In der kohärentischen Sicht sind die geometrischen Relationen und Größen grundlegend, die Zahl
ist lediglich ein „nachträglich“
quantisiertes Abbild davon.
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Wird nicht thematisiert.
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Wird thematisiert
Winkeldritteln, Kreisquadratur und Würfelvolumendoppelung sind hier schon wegen des prinzipiellen Quantisierungsfehlers generell in endlich vielen Schritten nicht möglich.
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Modelliert einen idealisierten, vollständig kontrollierten, aber begrenzten
Ausschnitt der Geometrie.
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Bindet die Gesetze des Kontinuums und
die Grenzen der Darstellung
in kohärente Modelle ein.
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Beispiele für cohaerentisch konstruierte Urberechnungen sind:
Winkeldrittelungen, die mit konstruierten unendlichen Grenzprozessen realisiert werden.
a) einmal, beim endlichen Winkeldritteln mit Parabel y=x^2 versteckt sich der prinzipiell erforderliche Grenzprozeß in der gegebenen, mit unendlich vielen Schritten konstruierten "Parabelkurve".
b) in einem anderen Fall wird mit einem real sichtbaren autokonvergentem Grenzprozeß eine Neusis-Drehung realisiert, welche eine Geraden in die Richtung des Drittelwinkels dreht.
c) Ein noch anderes, wesentliches Beispiel ist das Schritt um Schritt Geradestrecken des Bogens vom Kreisumfang, der seine Länge von Streckungsschritt zu Streckungsschritt beibehält, um im Grenzfall seine lineale gestreckte Länge bestmöglich zu erreichen. Realisiert wird das Srecken mit einer durchgehend konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten, ganz ohne Zuhilfenahme von Zahlen. Dabei wird von der zunächst endlich angelegten euklidischen zur cohaerentischen unendlichen Konstruktion übergegang und damit zum konstruierten Grenzprozeß.
Zwei Denkmodelle
Klassisch-mengenlogisches Modell (z. B. Cantor, Dedekind, Hilbert): Die Kontinuität wird durch die Dichte und Vollständigkeit der reellen Zahlen erzielt. Die Linie wird definiert als Menge von reellen Zahlen (Koordinaten) und bleibt so eine symbolische Fiktion. In der Abstraktion erzeugt der ausdehnungslose Punkt durch „Aneinanderreihen“ eine Länge. Dieses Bild ist kontraintuitiv und paradox.
Die Kritik hierzu richtet sich gegen die Vermischung des diskreten Punkts mit der kontinuierlichen Linie. Diese Denkmodell beruht auf abstrakter symbolischer Definition, nicht auf Erfahrung oder Konstruktion.
Cohaerentisches Modell: Der Punkt ist kein abstrakter Ort, sondern eine Schnittstelle zweier sichtbarer, sich schneidender Linien. Er ist ein real gezeichneter Kreuzungspunkt. Linien entstehen nicht als Punktmengen, sondern durch Querbewegungen eines Grenzübergangs zwischen zwei wahrnehmbarer Medien. Die Linie ist Spur eines bewegten diskreten Kurvenpunktes. Der Punkt ist nicht ein atomarer Baustein, sondern Teil einer Abgrenzungsbeziehung.
Das cohaerentische Modell mit etwas weniger abstrakter Interpretation zu Linie und Punkt führt zu einem Paradigmenwechsel im Sinne des Übergangs von einer alten Betrachtungsweise, bei der nur endlich vielen Schritten bzw. konstruierten Grundobjekten, zu wahren exakten Ergebnissen führen. Nun wird neu mit unendlich viel zugelassenen Schritten gearbeitet, was zuvor undenkbar oder sogar abgelehnt wird.
Ein wesentliche Unterschied zwischen den beiden betrachteten Denkmodellen ist:
Neben den bisher euklidischen Konstruktionen aus nur endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten, werden nun auch cohaerentische endlose Konstruktionen aus Kreis- und Gerade-Objekten bewußt zugelassen. Für die konsruierten Grenprozesse wird dabei gefordert, die Punktefolge der Zwischenergebnisse muß mit endlich viel konstruierten Objekten eine erfahrbare gesetzmäßige Kohärenz aufweisen, d.h. ohne Probieren, möglichst autokonvergent erzeugt werden. Dann strebt auch die konstruierten Punktefolge der Zwischenergebnisse im Grenzfall dem exakten Grenzpunkt tatsächlich zu. Die Zwischenergebnis-Punkte markieren hierbei eine noch nicht vollständig zusammengesetztes Zielobjektgröße (Ergebnisgröße).
Denkblockade
Die große Vorbildwirkung, welche vom Grundlagenwerk Elemente des Euklid (ca. 330 v.u.Z) ausgeht, führte zu einer Art Denkblockade für endlose Zusammenhänge und damit für endlos konstruierte Grenzprozesse. In den Elementen wird sich auf Konstruktionen beschränkt, die eine vollständige Ergebnisdarstellung nach endlich vielen Schritten bzw. einer endlichen Sequenz gezeichneter Kreis- und Gerade-Objekte liefern. Alles Andere wird als nicht vollkommen, als unvollständig, als nur eine bloße Näherung betrachtet. Die cohaerentischen Konstruktionen überwinden diese beschränkende Denkblockade. Es werden nun auch bewußt endlose Grenzprozeß-Konstruktionen betrachtet, mit denen die erfahrbare Realität umfassender abgebildet werden kann. Ansätze, das Problem mit den endlosen Zusammenhänge irgendwie praktisch zu bewältigen, gibt es aber schon seit der Antike. Bekanntestes Beispiel dafür ist die von Archimedes (287- 212 v.u.Z.) geführte Ermittlung zum
Kreisverhältnis π = Kreisumfamglänge/Kreisdurchmesser,
was die Längenermittlung der gerade gebogenen Kreisumfangslinie erfordert. Die Ermittlung des Archimedes ist aber keine cohaerentische Konstruktion und auch keine durchgehend reine euklidische Konstruktion. Sie geht zwar von gesetzmäßigen geometrischen Zusammehängen aus, umfasst aber auch numerische Berechnungen. Sie liefert als Ergebnis eine Zahl und keine geomerische Ergebnnisgröße Strecke. Im Unterschied dazu wird bei der cohaerentischen Ermittlung des Kreisverhältnisses eine durchgehend konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten erzeugt. Der cohaerentische Konstruktionsplan umfasst auch Wiederholkzyklen mit gleicher Schrittfolge bzw. gleicher Zyklussequenz der Grundobjekte. Dadurch ist er bis ins Unendliche bzw. Endlose bekannt und beschreibbar. Dabei werden die konstruierten Zwischenergebnisse nicht durch Probieren gewonnen. Sie streben als gesetzmäßig kohärente und konvergente Punktfolge einem exakten Grenzwert/Grenzpunkt zu. Dieser ist eine sichtbar nachvollziehbare geometrische Größenerzeugung. In gedanklicher Abstraktion wird nach unendlich vielen Schritten im Grenzfall der Grenzpunkt erreicht, welcher die konstuierte gerade gestreckte Kreisbogenlänge markiert.
Einbeziehung von klassisch konstruierten Grenzprozessen
Die cohaerentische Geometrie gelangt gegenüber der euklidischen Geometrie zu erweiterten Einsichten zu Urzusammenhängen eines geometrischen Berechnens ohne Zahlen, sogar bis hin zu geometrisch nachvollziebaren Konstruktionen zu Potenz- und Logarithmen-Zusammenhängen. Der Kreis als ganzheitliches, symmetriegeprägtes Köhärenzsystem, sowie klassisch konstruierte geometrische Grenzprozesse spielen dabei eine wesentliche Rolle.
Nähe zur Realität
Die cohaerentischen Konstruktionen sind näher und stärker an der realen Welt dran, als die der euklidische Geometrie. Viele Formen und Prozesse der realen Welt sind tatsächlich kontinuierlich und nicht diskontinuierlich und endlich abgeschlossen. In der Natur und Technik begegnen uns oft Kurven und Formen, die durch Grenzprozesse mit gesetzmäßigen Wiederholsequenzen erzeugt werden können. Die cohaerentischen Konstruktionspläne dazu umfassen daher endlos viele Anweisungen, was mit Wiederholsequenzen erreicht werden kann. Viele diese endlosen Grenzprozesse streben mit sichtbaren Kreis- und Gerade-Objektsequenzen gesetzmäßig, ohne probierende Schritte, einem sinnvollen exakten Grenzpunkt zu.
Zusammenfassung zum Grundunterschied :
Im Allgemeinen:
Die cohaerentischen Konstruktionen lassen sich durchaus als Weiterdenken der euklidischen Geometrie auf eine besondere, erweiterte Weise verstehen. Sie verlassen zwar das Regelwerk der klassischen euklidischen Geometrie , bleiben aber dem Geist des Konstruierens und Sichtbarmachens treu.
Didaktischer Aspekt:
Cohaerentische Geometrie ist ein möglicher Weg, um Geometrie tiefer, lebendiger und prozesshafter zu lehren und zu verstehen
Cohaerentische Geometrie ist ein Weiterdenken statt eines Widerspruchdenkens, kein Bruch, sondern eine Erweiterung: Sie respektiert das Prinzip der Konstruktion mit den Grundkurven Kreis und Gerade, ergänzt es aber durch sichtbare Einbeziehung auch nicht endlich konstruierbarer Probleme. Sie eröffnet einen Weg, um Unmögliches (im klassischen Sinn) auf neue Weise begreifbar zu machen. Sie überschreitet das formale Regelwerk Euklids – aber nicht seine konstruktive Denkweise.
Ansätze zu einer cohaerentischen Geometrie, die über euklidische Geometrie hinaus geht, werden im Buch Cohaerentic (ISBN 97839820252-1-6) sowie auf dieser web-Seite www.cohaerentic.com in den Modulen
- Warum konstruiert berechnen?
- Grundrechenarten
- Höhere Rechenarten
- Konstruierte Urberechnungen
dargelegt.
1.4 Unterschiede bei Bildern
Die etwas weniger abstrakte Betrachtungs- und Sichtweise der cohaerentischen Geometrie führt, wie oben schon beschrieben, zu etwas anderen Einsichten, was auch in Bildern und Videos sichtbar wird.
Bekanntes Kegelschnittmodell vs. Kohärenzmodelle der cohaerentischen Geometrie
Das folgende Bild zeigt schon seit dem Altertum bekanntes Wissen zu den Kegelschnittkurven.
Es gibt kaum klassische Konstruktionen, die aufzeigen, wie voneinander abhängigen Punkte auf zwei Kegelschnittkurven, z.B. Kreis und quadratische Parabel oder Keis und Hyperbel, zusammenhängen? Wie sehen die nachvollziehbaren Verbindungssequenzen von Kreis- und Gerade-Objekte konkret aus? Dies zeigen die folgenden Konstruktionsbilder und Videos. Die besagten, bislang nicht betrachtete geometrisch zusammenhängende Abhängigkeiten werden besonders gut durch Videos mit im Zugmodus bewegten Konstruktionen nachvollziehbar.
Das bekannte obige Kegelschnitt-Kohärenz-Modell unterscheidet sich von den ebenen klassisch konstruierten Kohärenz-Modellen der cohaerentischen Geometrie. Die Kurven Kreis, Parabel und Hyperbel hängen hier über elementare Rechenoperationen zusammen. Die Rechengrößen sind dabei von natürlicher geometrischer Art. Damit werden die gegenseitigen Abhängigkeiten zwischen den elementaren Kurven Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel anschaulich nachvollziehbar.
Die zwei folgenden Videos mit Bewegungen im Zugmodus vervollständigen die Betrachtungsweise der cohaerentischen Geometrie. Nachvollziehbare sichtbare geometrische Grundzusammenhänge stehen hier im Vordergrund.
Cohaerentische Konstruktionen zur Ermittlung der gestreckten Kreisunfanglänge
Das folgende Bild zeigt das schrittweise Aufbiegen eines Kreisbogens mit einer Konstruktion, die sich zu der bekannten Berechnung der Länge des Kreisumfangs durch Archimedes (287 bis 212 v.u.Z.) unterscheidet.. Anders als bei Archimedes wird hier eine duchgehende Sequenz aufeinander folgender Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert, welche damit ein sichtbar nachvollziehbares Verstehen zur gerade gestreckten Kreisbogenlänge ermöglicht.
Das schrittweise konstruierte Aufbiegen erfolgt durch durch wiederholtes, quasi simultanes Doppeln des Kreisradius und Halbieren des Restwinkels = ∠ ( S(1kxX), S(2gx4g), S(Yx3k)) bis zur Y-Achse. Der so konstruierte neue Kreisbogen hat gegenüber dem voran gegangenen, die gleiche Länge, aber nur noch die halbe Krümmung. Nach dem nächsten Zyklus gibt es wieder die gleiche Bogenlänge aber nur noch ein Viertel der Krümmung usw. Dieser Prozeß der schrittweisen Streckung ist als Wiederholzyklus endlos fortsetzbar.
Die drei klassichen Berechnungsprobleme der Antike
Die drei klassichen Berechnungsprobleme der Antike sind
das Winkeldritteln
das konstruierte Berechnen der gestreckten Kreisbogenlänge für die Kreisquadratur mit Überführung der Kreisfläche in ein flächengleiches Quadrat
das Berechnen der Würfelseitenlänge für ein doppeltes Würfelvolumen
Obwohl heute die meisten Menschen konkrete Vorstellungen dazu haben, was mit dem Begriff "Berechnen" gemeint ist, gibt es im Internet-Lexikon Wikipedia zum Begriff "Berechnen" keinen direkt aufklärenden Eintrag. Unbewußt wird beim Berechnen immer zuerst an Rechengrößen gedacht, die mit Zahlen modelliert werden.
Gelehrter Erkenntnisstand zu den klassichen drei Berechnugsaufgaben der Antike
Das heutige Wissen der Mathematik / Geometrie zu den antiken griechischen Konstruktionproblemen wird in der
"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger
wie folgt zusammenfassend beschrieben.
Im Kapitel 1 „Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“ ist zu lesen:
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
Diese Betrachtungsweise bleibt letztlich bei der Erwartung der Antike, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl". Diese Erwartung führt zu etwas Verwirrung und zu Vertändnisproblemen. Für die Winkeldrittelgröße wird daher auch ihre zugehörige Zahl als vollständige Größenabbild-Darstellung erwartet. Dies ist aber, wie schon dargegt wurde, wegen des Quantisierungsproblems mit prinzipiellem Quantisierungsfehler nicht möglich. Fragwürdig ist hierbei auch, daß heute die analoge geometrische Größe Kreisverhältnis = Kreisumfang/ Kreisdurchmesser mit Kreiszahl benannt wird. Eine Zahl wird hierbei gleich einer analoge Größe gesetzt. Dies ist eine grobe Vereinfachung und kann nicht streng mathematisch logisch, sondern nur im historischen Kontext nachvollzogen werden.
Abweichend zur euklidischen Geometrie rückt in der cohaerentische Geometrie das Problem der konstruierten Quantisierung als endloser Prozeß in den Betrachtungsfocus. Erst eine konstruierte endlos fortsetzbare Quantisierung eines analogen geometrischen Kreisverhältnisses π führt zur abstrakten Zahldarstellung Kreiszahl πZahl,∞ . Mit noch nicht unendlich hohem Quantisierungsaufwand wird nach N Schritten nur zu einem unvollständigen digitalem Größenabbild Kreiszahl πZahl,N gelangt. Diese weist , noch nicht die endlos viel möglichen wahren Nachkommastellen auf.
