4.4.2. Zweifel am wantzelschen WDT-Unmöglich-Beweis 

Aufsatzgliederung:  
  • 4.4.2.1.         Teaser Abstrakt
  • 4.4.2.2.         Mögliches Winkeldritteln 1637 (Descartes) vs. unmögliches Winkeldritteln (Wantzel) 1837:
  • 4.4.2.3           Streitpunkt:  Einschränken  der Kurventypen
  • 4.4.2.4..        Unverkürzter  vs.  eingekürzter  Katalog geometrische Funktionskurven  
  • 4.4.2.5.         Worauf stützt sich  Wantzels WDT-Unmöglichbeweis von 1837 ?
  • 4.4.3.5           Historische und neue Winkeldreiteilungen (WDT)
 
 
4.4.2.1. Teaser Abstrakt
Kernthese:

Seit 1837 gilt der Beweis von Pierre Wantzel als unerschütterlicher Eckstein der klassischen Geometrie: Mit Zirkel und Lineal sei das exakte Winkeldritteln unmöglich. Doch dieser Beweis beruht auf einer methodischen Einschränkung – er erkennt nur jene Konstruktionen als exakt an, die als endliche Sequenz von   Kreis- und Gerade- Objekten erzeugt werden.

In der cohaerentischen Geometrie dagegen sind Kreise, Geraden und Parabeln keine Werkzeuge, sondern elementare Funktionsformen zu den Grundoperationen des Rechnens. Jede Kurve steht für einen stetigen Zusammenhang zwischen Größen. Sobald diese funktionale Ebene zugelassen wird, verliert der wantzelsche Beweis seine absolute Aussagekraft(gültigkrot): Wantzel beweist keine geometrische, sondern eine zahlentechnische Grenze des Möglichen. Rechnen ist als geometrisch konstruertes Rechnen auch ohne Zahlen möglich, als fortlaufender Zusammenhang von Operationen. Ganz ohne diskrete Schritte kommt man hier auch  nicht aus. Die Schritt-für-Schritt-Verläufen sind   etwas Ursprüngliches , wie der Herzschlag, nicht abgeleitet aus Zahlen. Vom lebendigen Ablauf wird erst nachträglich zu Zahlen und einem Zahlenraster abstrahiert.

 

Das Unmöglich-Ergebnis zum Winkeldritteln von Wantzel (1837)  besagt:  Winkeldritteln ist mit endlich viel konstruierten Kurvenobjekten von Kreis- und Gerade  unmöglich. Endlose Grenzprozesse  mit konstruierten Wiederholsequenzen von Lineal - und Kreis-Objektem hat Wantzel  nicht btrachtet und macht dann auch keine   konkrete Aussage über mögliches WDT oder nicht. Neuere Konstruktionen zeigen hierzu nun mehrere  verschiedene exakte Z&L-Lösungwege.  die  vom Prinzip her bis ins Unendliche nachverfolgbare geometrisch konstruierte Z&L-Sequenzen sind.

  • WDT mit Halbierungen, die N.Fialkowski 1860 veröffentlicht.
  • WDT mit Zielfigur und  ihr zustrebend bewegter Lösungsfigur, wobei  eine   konstr. Grenzsequenz die Bewegug realisiert.
  • WDT mit Parabeln y=x^2 und y=x^3, die nach gleichem Prinzip wie Gerade und Kreis konstruieurt werden. Ein neues Werkzeug oder ein neues Kostruktionsprinzip/-methode wird dabei nicht hinzugenommen. 
4.4.2.2.  Descartes (1637 ) vs.  Wantzel (1837):
Im Widerspruch zu Wntzels Unmöglichbeweis steht das  im Jahr 1637 veröffentlichten Buch "La Geomeria" von Descartes.   Winkeldritteln mit  Lösungsgleichungen vom 2. Grad wird dabei  endlich vielen Schriten relisiert.  Dieser Sachverhalt steht im gewissen doppelten Widerspruch zu Wantzels Einsichten:
  • Descartes (1637) ging in seiner analytischen Geometrie davon aus, dass jede geometrische Aufgabe, also auch das Winkeldritteln, auf eine algebraische Gleichung zurückgeführt werden kann. In seinem Denken ist die Geometrie durch  elementare Gleichungen beschreibbar, die in den elementare  Kurven wie Gerade, Kreis, Parablen, Hyperbeln Gestalt annehmen. Descartes hatte keinen Grund die sogenannten höheren Kurven   neben Gerade und Kreis, aus seinen Betrachtunge auszuschließen. Die  abhängigen Variablenpunkte diesr höheren Kurven sind genau so mit endlicher Konstruktion erzeugbar wie bei Gerade und Kreis. Descartes hat für seinen Geometriebegriff gezeigt, daß mit einer  gezeichnet gedachten Parabel y=x^2 ein exaktes Winkeldritteln mit nur endlich vielen konstruierbaren  Kuvenobkelten Gerade, Kreis und einer quadratische Parabel möglich ist.
  • Wantzel (1837) hingegen argumentierte mit einem rein algebraischen, innerhalb der Zahlentheorie angesiedelten Geometrieverständnis. Er zeigte, dass die Gleichung, die beim Winkeldritteln eines beliebigen Winkels entsteht, allgemeinen zu einer kubische Gleichung führt, die nicht durch Radikale lösbar ist. Er schloss daraus: Das exakte Winkeldritteln ist allein mit Zirkel und Lineal unmöglich.

Damit ergeben sich Widersprüche, wenn unbetrachtet bleibt, daß beide von unterschiedlichen Geometriebegriffen ausgehen.

  • Für Descartes ist das geometrische Objekt real, sobald es durch eine stetige Kurve klassich konstruiert werden kann.

  • Für Wantzel ist es nur dann real, wenn es in das Zahlraster der algebraisch (quadratisch) konstruierbaren Punkte fällt.

In moderner Sicht widersprechen sich die beiden also nicht in der Logik, sondern in der Grundannahme, was Geometrie überhaupt bedeutet:

  • Descartes’ Geometrie ist von Natur aus uneingeschränkt kontinuierlich und funktional.  Ihre stetigen funktionale Zusammenhänge (Beziehungen) haben natürliche Rechengrößen, die keine Zahlen sind.

  • Wantzels Geometrie ist arithmetisch.   Punkte werden als „existent“ anerkannt, die durch endliche Rechenoperationen in gequantelten Zahlenraum mit Zahlen erreichbar sind.

Aus der Perspektive der cohaerentischen Geometrie löst sich der scheinbare Widerspruch auf, sobald   verstandnen ist,  dass Descartes und Wantzel  in verschiedenen „Koordinatensystemen des Realen“ argumentieren.

  • Descartes  nutzt die natürlichen Möglichkeit im Kontinuum der Kurven.  Willkürlich getroffene Einschränken macht er nicht, wie die der konkreten Ausschlüsse der Parabeln y=x^2 und y=^3.  
  • Wantzel nutzt die Möglichkeit im Kontinuum der Kurven, macht aber willkürliche  Einschränken, indem er    Parabeln y=x^2 und y=^3 ausschließt und  das Zahlraster als zielentscheident   ins Spiel bringt.

Aus der Perspektive der cohaerentischen Geometrie löst sich der scheinbare Widerspruch auf, so bald  verstanden wird, dass Descartes und Wantzel argumentieren beide in verschiedenen „Koordinatensystemen des Realen“  . Wantzel hat die "Unmöglichkeit" innerhalb des Zahlrasters bewiesen, Descartes dagegen hat mit konkreter Konstruktion ohne die späteren wantzelschen Einschränkungen bei den Funktionskurven,  die "WDT-Möglichkeit"  mit Parabel y=x^2  vorgeziegt. 

4.4.2.3.   Streitpunkt:  "Einschränkungen bei zugelassenen  Kurventypen"
Cohaerentische Geometrie sieht sich in der Tradition zum descartschen "Geomtrievertändnis" und unterscheidet sich  von der bekannten klassiche Geometrie darin, was unter Kurve in der Geometrie zu verstehen ist?  
Nach cohaerentischer Sicht sind Gerade, Kreis, Parabel  keine Werkzeuge. Sie werden alle als klassische Kurventypen verstanden, die durch eine kontinuierliche  Bewegung eines bahngesteurten Spurpunktes entstehen. Dieser zeichnet elementaren Funktionskurven als Spur. Ob die Spurpunkte-Kurvenbahn eine Funktionskurve Gerade oder  Kreis oder Parabel ist, wird durch den  konkreten funktionalen Zusammenhang  (linear, quadratisch, kreisförmig, parabelförmig ...) gesteuert.  Bei Kreis- und Geradekurve wird diese prinzipelle Erzeugungsart mit einer quasi zwangsgesteuerter Bewegung des Spurpunktes für die kontinuierliche exakte Kurvenerzeugung als selbstverständlich  hingenommen. Dabei wird immer   ein  Gedankensprung von real fehlerbehaftet zu theoretisch ohne Fehler vollzogen. 
In historischer Zeit bis heute wird  die  prizipielle Kurvenerzeug bei Gerade und Kreis, die eine abhängige  funktionsgesteuerte  Kurvenerzeugung ist,  den    "Kegelschnittkurven  Parabel, Hyperbel ... , nich zugestanden. Die funktionsgesteuerte  Kurvenerzeugung sei als klassische Konstruktion nicht berechenbar, so daß   hier mit einem mechanischen Werkzeug, einer Parabelschablone  gearbeitet  werden muß.
 
 So wie Gerade und Kreis auch ohne die Werkzeuge Zirkel und Lineal konstruiert werden können, so ist   dies auch bei den Parabeln y=x^2 und y=x^3 ohne Parabelschablone möglich.
Hier gibt es eine, mathematisch nicht begründbare,  Ungleichbehandlung. Alle diese elementaren Kurventypen können  als lückenlose (kontinuierliche) Linien erzeugt werden. Voraussetzung dafür ist, daß die abhängigen Spurpunkte  auch als diskrete  abhängige Variablenpunkte mittels klassischer funktionsgesteuerter  Kurvenerzeugung berechnet werden können. Dies ist mit dem cohaerentischen Wissen möglich, das im Kapitel 3.1.3. Multi-Produkte ( https://www.cohaerentic.com/index.php/hoer/multipro/mukrisu/mugre) und hier  im Unterabschtitt "Wie wird eine gegebene kubischen Parabel konkret gezeichnet?"  ausführlich dargelegt wird.. Damit fällt der  Grund weg, die Parabeln von dieser prinzipieellen Möglichkeit der Kurvenerzeugung auszuschließen  Die historisch entstandene Ungleichbehandlung der elementaren Kurven  ist  heute nicht mehr gerechtfertigt.
Kernpunkt:  In der Literatur werden immer wieder die Parabel-Ausschlüsse damit begründet, daß die Parabel   ein nicht zugelassenes Werzeug sei. Nach cohaerentischer Sicht sind Gerade, Kreis,  Parabel usw. keine Werkzeuge, sondern Funktonskurven.
  

4.4.2.3.    Über  Wantzels WDT-Unmöglich-Beweis von 1837
Ergebnis-Darstellungsproblem im Zahlensystem
Das klassische von Wantzel 1837 erarbeitete  „Unmöglichkeitsurteil“ des Winkeldrittelns beruht auf der Reduktion zur kubischen Gleichung  cos (3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α)  bzw. sin (3α) =3 sin (α) -  4 sin3(α). In der cohaerentischen Geometrie zeigt sich hingegen, auch neben dem kubischen Zusammenhang y=x3 gibt es   quadratische Zusammenhang des Drittelns mit y=ax  für  α <-> 3α. 
Wantzel deckt anhand seines untersuchten Z&L-Winkeldrittelns ein Ergebnis-Darstellungsproblem im Zahlensystem auf. Er sieht, mit endlich vielen Z&L-Schritten können Ergebnispunkte zwischen Rasterpunkten (konstruierbare Zahlen) nicht erreicht werden, was er zum generellen Unmöglich abstrahiert, auch für konstruierte Grenzprozesse angenommen wird.     Diese Annahme wird aber schon mit Fialkowski´s Grenzprozeß- Winkeldrittel  widerlegt (1860) widerlegt, was später noch im Detail vorgestellt wird.  
 
Quantisierung
Auch folgendes Gedankenspiel kommt zu diesem Ergebnis des Nichterreichens. Die Quantisierung ist nicht nur ein physikalisches Problem. Auch in der Geometrie gibt es für jede beliebig gegebenen Winkelgröße vom Prinzip her  keine diskrete vollständig abbildenden Zahldarstellung. Es bleibt immer ein Restfehler, auch Quantisierungsfehler genannt. Wird nun diese beliebige Winkelgröße,  für die es keine vollständig abbildende Zahl gibt, gedrittelt, (z.B. mit Parabelhilfe y=xN  N=2, 3 ), hat die Ergebnis-Winkeldrittelgröße  zwar eine diskrete konstruierte Größe, aber keine dafür vollständig abbildende Zahl. Die klassische Sichtweise  folgert  daraus: Wenn es keine Ergebniszahl gibt, dann folgt daraus, daß  es auch keinen Winkeldrittelprozeß gibt und solcher Prozeß unmöglich ist.  
 
Mehr Erklärung
Bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels lesen wir zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns:
"Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen". 
Offenbar kannte Wantzel das im Jahr 1637 veröffentlichte Buch "La Geometrie" von Rennè Descartes (1596-1650) nicht, das im Widerspruch zu seiner Beweis-Einsicht von 1837 steht.    Descartes gelangt mit Zussammenhanggleichungen bzw. Kurven vom 2.Grad (Parabel y=2x2 nach endlich vielen Schritten  zu einer vollständigen Größendarstellung des exakten Winkeldrittels. Im Buch  S.Schleicher "Cohaerentic", ISBN 9783982026216 steht deshalb auf Seite 302:  
 
"Wir erkennen am descartschen Winkeldritteln, welches  Zusammenhanggleichungen vom 2.Grad zur Grundlage nimmt, dass der wantzelsche Unmöglich-Beweis  nicht so allgemein gültig ist, wie es einst erwartet und heute gelehrt wird". 
Konkrete Lösungkonstruktionen
Konkrete Lösungkonstruktionen bei denen Wantzels  Lösungsgleichungen  vom 3. Grad
 cos (β=3α) = 4 cos3(α) - 3 cos (α)  bzw. sin (β=3α) =3 sin (α) -  4 sin3(α),     der Kostruktionsplan sind,  erstellen   Wantzel   und  auch  Andere nicht.   Um  die geometrischen Kohärenzen tiefergehend  verstehen zu können realisieren wir hier solche Konstruktionen.  Unsere   folgenden Kostruktionsbilder machen dieses tiefergehende Verstehen möglich. Anhand der  textlichen  Zuordnungen der konstruierten Objekte  zu den Gleichungsgrößen,  wie z.B.  sin α = JB=MP ,  kann alles anschaulich nachvollzogen werden.   Bei den ersten beiden  Konstruktionen ist vorausgesetzt, daß die kubische Kurve y=x3 bereits vollständig gezeichnet vorliegt. Sie kann zwar mit  einem zusätzlichen Werkzeug  Schablone im 1. und 3. Quadranten  gezeichnet werden.  Das mit der gedachten fehlerlosen Schablone ist hier gleichbedeutend mit,  die Parabel y=x^2  liegt als gegebene fehlerlose Funktionskurve vor. Dies kann in der geometrischen Realität  mit einer Parabel-Schablone aber nicht erreicht werden. Die reale Schablone ist immer ein   fehlerhaftet.
Konstruktionsbeschreibung: Die   erste  Konstruktionen gilt  für eine (sin 3α)-Kohärenz   und die zweite   für eine  (cos 3α)-Kohärenz. In beiden Fällen ist der Lösungszusammenhang allerdings nur unidirektional von Winkel α zu Winkel 3α gegeben. Die Umkehrung in der Objekt- Abfolge zwecks Winkeldrittelung vom Winkel nach Winkel α  ist, wie beide obigen Konstruktionen zeigen, nicht möglich. Warum dieser Lösungsweg unmöglich ist, wird konkret   am zweiten Bild erklärt. In rückwärtiger Abfolge ist zwar die Strecke CK und der Kreisbogen KMO, den die Punkte K und O begrenzen, konstruierbar. Der dann von Punkt O aus  rückwärts folgende Kreisbogen ist nicht konstruierbar, denn es  fehlt dafür die konkrete Raduisgröße. Diese Radiusgröße  NL= cos α wird nur für die andere Kohärenzrichtung erzeugt. Wantzels Einsicht und Erwartung zu seinen Gleichungen vom 3. Grad war offenbar die Folgende. Er betrachtete seine  Zusammenhänge zum Winkeldritteln  als exakt und einzigartig zutreffend. So sah er weitere Betrachtungen zu eventuell noch anderen  möglichen Lösungskohärenzen als obselet. 
Dabei spielte offenbar auch eine Rolle, daß  Kenntnisse zu mit  Zirkel und Lineal ausführbaren  Konstruktionen begrenzt waren.  So wurden in der klassischenGeometrie  bis heute noch, nicht alle  Parabelpunkte  y=x^2  und y=x^3 als prizipiell konstruierbar angesehen. Zum mechanischen Zeichnen einer durchgängigen  Kurve  bedürfe es daher einer Schablone. Sie sei ein zusätzliches Werkzeug  über die Werkzeuge Zirkel und Lineal hinaus. Unsere obigen beiden Konstruktionen zeigen anschaulich, trotz der Nutzung eines weiteren Werkzeuges "Schablone" für y=x3  gibt es hier nach endlich vielen Schritten  keine vollständig abgeschlossene Lösungskonstruktionen  von 3α nach α .
 
Parabelkonstruktion ohne Schablone
Was ist aber, wenn alle Punkte der  Parabel  y=x3 und auch y=x2  vom Prinzip her allein mit Zirkel und Lineal bzw. als   endliche Sequenz zusammenhängender   Kreis- und Gerade-Objekte  konstruiert werden können? Weil dies der Fall ist,   können vom   Prinzip her auch alle Parabelpunkte ohne Schablone und ohne zusätzliches Werkzeug konstruiert werden.  Die   folgenden vier endlichen Konstruktionen zum Winkelverdreifachen sind Beispiele dafür, daß beliebige Parabelpunkt  für y=x3 und auch y=x2  allein mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann. Für das  mögliche oder unmögliche konstruierbare Winkeldritteln sind keine weiteren Werkzeuge entscheident, sondern die geometrische-mathematischen Zusammenhänge  mit ihren anschaulich nachvollziehbaren Eigenschaften.
 
 
Zeigt Wantzels "Unmöglich-Beweis", der  mit Gleichungen vom 3.Grad, geführt wird, daß für diese Zusammenhänge vom 3.Grad mit   endlichen Schritten kein vollständiges Winkeldrittel-Größenabbild kostruiert werden kann, wie wie wir es auch anhand unserer vorangegangenen konkreten Konstruktionen erkannt haben.
Andererseit erkennen wir,  mit Gleichungen vom 2.Grad, wie sie  Descartes in seinem Buch La Geometria von 1637 nutzt, ist  mit endlich vielen Schritten ein vollständig konstruiertes Winkeldrittel-Größenabbild möglich. Damit trifft  Wantzels "WDT-Unmöglich", gestützt auf Gleichungen vom 3.Grad nicht  auf  Descartes mögliches Winkeldritteln  mit Gleichungen 2. Grad  (quadratische  Parabel ) zu. Hier istes   mit den Zutreffen, ob ja un ob neien, nicht?   
  
Lassen sich die wantzelschen Gleichungen   vom 3. Grad in solche vom 2. Grad überführen?
Dies scheint mit der 1. Ableitung möglich und  führt zu 
           4 (sin α)(cosα) - sin α = sin 3α   und    4(cos α)(sin2α)  - cos α = cos 3α .
Formal sind die  beiden Gleichungen richtig. Treffen sie aber auch für eine  ausgeführte Konstruktion immer noch zu? Zur Überprüfung nutzen wir dies Gleichungen als Pläne für nachfolgende  zwei   Konstruktionen. Sie leisten tatsächlich immer noch ein exaktes Winkelverdreifachen, so wie ihre Ursprungsgleichungen vom 3.Grad. 
 
 
 
 
Sogenannten drittelbare  Winkegrößen als Ausnahme:
Die Winkel 180°, 90°, 45°  usw.  werden heute als sogenannten drittelbaren Winkel bezeichnet und gelehrt. Mit einem konstruierten allgemeinen Winkeldritteln seien 180°  auf 60° und 90°   auf 30° drittelbar.  Ein    konstruiertes  allgemeines Winkeldrittelverfahren ohne Parabel, welches  die Ausnahmewinkel drittelt, gibt es aber nicht. Die Drittelg3rößen von   60° und 30° ...  sind autonom konstruierbare Grundgrößen, die nicht von 180° und 90° abgeleitet sind. Sie können  für sich allein konstruiert werden und sind zufälligerweise Winkeldrittelgröße zu 60°und zu 30°. Entscheident ist, 60° und 30° sind sie keine mit endlich vielen Schrotten konstruiert  abgeleitete  Winkeldrittelgrößen zu 180° und zu 90°. Die  gelehrten drittelbare Ausnahmewinkel bzw. ihre Ausnahmezahlen    gibt es gar nicht.
 
Quantisierungsfehler:
Wir bringen hier noch einen Sachverhalt ins Spiel, der "prinzipieller Quantisierungsfehler" heißt. Er macht  vollständige Größenabbilder  aus einer konstruierten Sequenz endlich vieler  Kreis- und Gerade-Objekte    unmöglich. So auch solche für beliebige Winkel und ihre Winkeldrittel. Dieses generelle Unmöglich ist ein natürlicher Sachverhalt, der im Zusammenhang mit Winkeldritteln bisher unbetrachtet und unberücksichtigt ist. Dies führt  zur Verwirrung und Verständnisproblem:   Winkeldritteln allein mit Gerade und Kreiskurve  ist ein endloser Prozeß, der bei Abbruch mit dem Zusammensetzen der darzustellden Winkedrittgröße noch nicht am Ende ist. Winkeldritteln allein mit Gerade-, Kreis- und Parabelkurve   ist ein endlicher Prozeß.
Das mit endlich vielen Objekten konstruierte Winkeldrittel ist immer nur eine unvollstänig dargestellte Abbildgröße für das Winkeldrittel, wie auch beim prizipiellen Quantisierungsfehler. Das bedeutet aber nicht, daß  Konstruktionsprozesse  des   Winkeldrittelns, die dem Winkeldrittelpunkt exakt und unbeschränkt zustreben, unmöglich sind.  
  
Gültigkeitsgrenzen des wantzelschen Unmöglivh-Beweises:
Wir halten hier  nochmal fest: Die zielführenden Lösungszusammenhänge vom 2. Grad zum konstruierten endlichen Winkeldritteln liegen ausserhalb des Geltungsbereichs zum wantzelschen "Unmöglich-Beweis, der sich mit unmöglich   offenbar auf konstruierte Winkedrittelungen mit Gleichungen vom 3.Grad und den Kurven Kreis und Gerade bezieht.  Über konstruierte Winkeldrittelungen mit Gleichungen vom 3.Grad und den Kurven Gerade, Kreis und Parabel macht Wantzel keine Aussagen. 
 
Z&L-konstruierte Grenzprozesse zum WDT:
Betrachtunge zu Z&L-konstruierten Grenzprozessen für das WDT führt Wantzel nicht.  So kann er auch nicht erkennen, wie damit geordnet schon  mit  Wiederholsequenzen aus jeweils wenigen Kreis-und Gerade-Objekten    der exakten Grenzgröße= Winkeldrittelgröße unbeschränkt zugestreb wird  und dies keine bloße Näherung ist.
 
Präzisierung der WDT-Zielstellung, die auch Z&L-konstrueirte Grenzprozesse zuläßt.
Neue  Einsichte zum Winkeldritteln  machen  eine Präzisierung der WDT-Zielstellung  erforderlich: 
  1. Die  neuen gesuchten Z&L-Lösungswege sollen geometrisch anschaulich und bie ins Endlose nachvollziehbar sein.
  2. Die allein mit Sequenzen aus Gerade- und Kreiskruven konstruierten Winkeldrittel-Zwischenergebnisse der Grenprozesse sollen als   konstruierte Punktefolge mit einer starken Konvergenz dem  Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt autokonvergent zustreben.
  3. Anders als bei den immer möglichen Lösungsverfahren des Probierens und der "brutalen Gewalt" soll mit den  Z&L-konstruierten  Grenzprozessen" schon mit wenigen Wiederholzyklen eine so genaue  Ergebnisgrößen erzeugt werden, die alle Anforderungen der Praxis erfüllen.  Noch späteres Abbrechen ist zwar möglich, wird aber als sinnlose Aktion erkannt, als eine Vergeudung von Recourcen. Es  wird hier  also eine hohe Effizienz angestrebt.
  4. Ein exakter Winkeldrittelpunkt ist kein Schnittpunkt zweier Geraden  oder zweier Kreise oder von Gerade und Kreis, sondern von Gerade und Parabel y=x^3 oder Kreis und Parabel y=x^2.  Später zeigen wir noch,  im Halbkreis gibt es drei Schnittpunkte für drei  Winkeldrittelpunkte. 
  
Ein starkes Argument für die Parabelkurven
Simultanes, dreifaches Winkeldritteln im "Halbkreis" mit Parabel (y=x^2 und y=x^3).
Cohaerentische Geoemtrie erkennt, zu einem Punkt auf dem Halbkreis gibt es bei kartesichen Achsen sogar drei verschiedene Winkeldrittel. Sie hängen ursächlich zusammen. Deshal gilt, ist eines der drei Winkeldrittel bekannt, bedarf es für die beiden Anderen keiner aufwendigen Winkeldittelungs-Konstruktion mehr.
Beim nachfolgend Bild mit der Sehne zwischen den äußeren beiden Winkeldritelpunkten auf dem Halbkreis tangiert den inneren halbgroßen Kreis. Die beiden Sehnenendpunkte markieren also jeweis zwei äussere  Winkeldrittelpunkte. Der dritte Winkeldrittelpunkt ist durch eine von M ausgehende, senkrecht auf der Sehne stehenden Radiusstrecke bestimmt.  
Bei Wantzel und auch bei Anderen erfährt dieser geometrische konstruierbare Zusammenhang keine  Betrachtung. So konnte  auch nicht erkannt werden,  daß es  zu einem Punkt  auf dem Halbkreis (Endpunkt der roten Radiusstrecke) drei verschiedene Drittelwinkel (schwarz, rot, blau)  gibt, deren Verdreifachungssummen sich in diesem  gemeinsamen Halbkreispunkt  exakt treffen. Unsere folgenden beiden Bilder  zeigen diese gesetzmäßigen dreifachen Winkelzusammenhänge für zwei verschieden große zu drittelnde Winkel. 
 

Im obigen linken Bild  teilt die rote Radiusstrecke den Viertelkreis  im 1.Quadranten in zwei Winkel  (α+β)=90°. Weiterhin teilt sie den Halbkreis in je zwei Winkel α und γ für die gilt α+γ=180°. Die Winkeldrittelpunkte für  α/3 und  für γ/3  sind durch eine Sehne miteinander verbunden, welche  den   halbgrossen Innenkreis um M tangiert. Der Winkel β/3 wird im betrachteten Kohärenzsystem durch den Tangierungspunkt der Sehne festgelegt. Diese angesprochenen Zusammenhänge  zeigen nochmals die nächstfolgenden Bilder. 

 

Ist ein Winkeldrittelpunkt auf dem Halbkreis gegeben, so können über den Sehnen-Zusammenhang quasi auch die  beiden  anderen Winkeldrittelpunkte bzw. Winkel konstruiert werden.  Infolge gegebener Symmetrie sind dann auch die Winkeldrittel  in der anderen unteren Kreishälfte gegeben, was nachfolgendes Bild zeigt.

 
 

Gelehrter Erkenntnisstand  zu den klassichen Aufgaben der Antike, so auch zum Winkeldritteln

Das heutigen Wissen der Mathematik / Geometrie  zu den griechischen Konstruktionproblemen wird in der

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"
 von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger  wie folgt zusammengefaßt:  
 
Im Kapitel 1
„Die klasssischen griechischen Konstruktionsprobleme“:
 
„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."
 
Es zeigt sich, letztlich wird auch heute bei der Erwartung der Antike geblieben, "Alles ist Zahl", "Alles hat seine Zahl" und wenn nicht, wird dazu eine solche definiert. Diese Erwartung führt bei Lernenden zu Verständnisproblemen und Verwirrung. 
So wurde für das konstruierte Winkeldrittel zunächst eine mit endlich vielen  Schritten vollständig konstruiertes zusammengesetztes Größenabbild-Darstellung erwartet. Dies Erwartung  ist aber schon wegen des prizipiellen Quantisierungsfehlers immer nur unvollständig erfüllbar. Das erwartete vollständig konstruierte  Größenabbild vom Winkeldrittel ist somit ohne  "unendlichen Prozeßschritte"  unmöglich erreichbar.  Zur tiefergehenden Erklärung sei noch ein anderes Beispiel gegeben.                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                        Für die  Cohaerentic-Sichtweise ist  es etwas fragwürdig und nicht ganz zutreffend, wenn die  analoge Größe   Kreisverhältnis = gestreckter Kreisumfang / Kreisdurchmesser mit Kreiszahl benannt wird und damit eine grundlegende  analoge Größe zu einer diskreten  Zahl gemacht wird, die es aber so gar nicht gibt. Das Kreisverhältnis ist und bleibt eine  analoge Größe. Mit Kreiszahl  ist  hier wohl mehr ein  endloser Digitlisierungsprozeß gemeint, der  trotz  endlos fortschreitender Quantisierung  zu keiner aktuell vollständigen diskreten  Darstellung eines Endergebnisses   πZahl  gelangt.
 
Historisches
Seit der Antike wird für die klassischen drei Aufgaben  nach  endlichen Lösungskonstruktionen gesucht.  Dies ist wegen des Quantisierungsproblems eine  in sich widersprüchliche Erwartung und Aufgabenstellung, weil es  folgenden  Sachverhalt unberückdichtigt läßt: Es gibt kein fehlerfreies, durch Schritte geprägtes  quantisiertes Größenabbild.  Wir wissen heute, alle Versuche mit endlich vielen Schritten eine  reproduzierbare, vollständig abbildene Größenabbild-Darstellung zu erreichen, können nur falsch sein. Trotzdem wird hier eine  exakte Lösung für besagte  Aufgabe  gefordert. Diese Forderung geht aber etwas an dem heute erreichten Wissen vorbei. Im Internet-Lexikon Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels, 27.5.2024),    wird daher unter "Dreiteilung des Winkels" das bislang gelehrte  absolute "Unmöglich" etwas zurück genommen. Es ist dort  geschrieben:
 
"Obwohl eine klassische Konstruktion  nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt. 
 
Dabei wird hier besonders an das Winkeldritteln von Archimedes (287-212 v.u.Z.) erinnert. 
Archimedes Lineal WDT
 
 
Aufösung der widerspüchlichen Einsichten von    René Descartesund Pierrè Wantzel 
Bei Wikipedia  https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels22.11.2024 lesen wir zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns:
"Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen". 
 
Bei Wikipedia (https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel 22.11.2024) ist zur Unmöglichkeit des klassich konstruierten Winkeldrittelns mit Parabel zu lesen,
"Eine Parabel lässt sich auch als Trisektrix verwenden, das heißt mit ihr als zusätzlichem Hilfsmittel ist die exakte Dreiteilung beliebiger Winkel mit Zirkel und Lineal möglich. Man beachte, dass dies nicht im Widerspruch zur Unmöglichkeit der Winkeldreiteilung mit Zirkel und Lineal steht, da nach den klassischen Regeln für Konstruktionen mit Zirkel und Lineal die Verwendung von Parabeln nicht erlaubt ist."   
 
Man beachte hier, wie mit der Wahl der  Regeln die offensichtliche "Ungereimtheit" mit der Parabel y=x^2 aus der Welt geschafft wird. Hier tut sich eine Widerspruch auf. Pierre Wantzel (1818-1848) geht von der  kubische Parabel aus, läßt also Konstruktionen mit ihr zu,  quasi gegen die "klassichen Regeln". Hingegen werden  aber quadratische Parabeln als mögliche Lösungszusammenhänge  ausgeschlossen.  Die ist   willkürlich, wie es   eingangs im Kapitel schon ausführlich begründet wurde.
 
Pierrè Wantzel (1818-1848) kannte offenbar das im Jahr 1637 von René Descartes (1596-1650)  veröffentlichte Buch "La Geometria" nicht, in dem  ein  exaktes Winkeldritteln mit Gleichungen vom 2.Grad und schon gezeichneter  quadratischer  Parabel  vorgestellt wird.   Wantzel hätte bei Kenntnis dieses Buches wohl nicht  behauptet, dass  für ein konstruiertes   exaktes Winkeldritteln  ein  Lösungszusammenhang vom 3. Grad unabdingbar erfoderlich sei und trotzdem mit endlichen  vielen  Kreis- und Gerade-Schritten das exakte Ziel nicht erreicht werde.   Der Widerspruch   aus dem descartes´schen Buch von 1637 und der wantzelsche Beweis-Einsicht" von  1837 ist bislang nicht wirklich aufgelöst? Versucht wird es. So wird bei Wikipedia   das Nutzen einer Parabel  das Hinzunehmen   eines unzulässigen weiteren Werkzeuges erklärt. Eingangs haben wir es schon erklärt, eine Parabel ist eine Fuktionskurve wie auch Gerde und Kreis   usw..
Dann gibt es noch einen anderen, immer wieder vorgeragenen Einwand. Mit Zirkel und Lineal seien nicht alle abhängigen Parabelpunkt konstruierbar. Es gäbe hier Lücken. Dies ist aber heute widerlegt. Wie abhängige Parabelpunkte y=x^n ... n=2; 3; 4; 5 ... ausgehend von gegebenen unabhängigen x-Punkten mittels kurzer  Kreis- und Gerade-Objekte-Sequenz konstruiert werden können, ist u.a. auch im Buch"Cohaerentic,ISBN 9783982026216, Seite 200 ff.  beschrieben.
Das Nichterlauben des Konstruierens von  Parabelpunkten ist mit heutigem Wissen  somit unbegründet und damit ein willkürlicher Akt. Es findet  sich auch nicht direkt in den klassischen Regeln der Antike.
 
Der offensichtliche Widerspruch zwischen Descartes und Wantzel löst sich auf, indem  der Gültigkeitsbereich des wantzelschen "Unmöglich-Beweises" auf seine Beweisgrundlage die Lösungsgleichungen vom 3. Grad und ihre Lösung nur mit Kreis- und Gerade-Kurve beschränkt bleibt.  
 
 
Wie wird eine gegebene kubischen Parabel konket gezeichnet?
Sie wird nicht anders als die Kurven Gerade und Kreis gezeichtet. Das generelle Prinzip des Kurvenzeichnens stellt sich wie folgt  dar.  Das konstruieren einer Geraden und eines Kreises ist prinzipiell auch ohne das Benutzen der Werkzeuge Lineal und Zirkel möglich. 
  1. Die Zusammenhänge werden   anhand der descartschen Koordinatenmethode erklärt. Wird ein Punkt   auf der   Ebene auf der x-Achse als  unabhängige Variable bewegt, folgt der gekoppelte abhänge Variablenpunkt y(x) kontiniuierlich nach und zeichnet seine Sprurkurve für die ausgeführte Bewegng. Die arithmetisch formulierte Beschreibung  des Zusammenhangs  von unabhängiger zu abhängiger Variablen ist  mit y= a*x für eine  Kurve Gerade durch den Ursprungpunkt beschrieben und mit   y=cos α für eine  Grundkreiskurve und mit   y=x*x  für eine Normalparabel  und mit y=x*x*x für eien kubische Parabel. die durch den Ursprungpunkt geht.    Die funktionale Abhängigkeit   steuert, ob eine Kurve eine Gerade oder ein Kreis oder eine Parabel wird.
  2. Die erzeuge Spurkurve ist also eine abhängige Funktionskurve (Funktionsgraph).  Der im Lineal gespeichert funktionale Zusammenhang findet sich in der  Linealgestalt und ihrer Positionierung. Beim Kreis in der   konstanten Radiusstrecke zwischen Zirkelspitze und Bleistiftspitze und der Positionirung des Mittelpunktes, Bei der quadratischen und der kubischen  Parabel in einem gesetmäßigen Zusammenhang, durch y=x^2 ind y=x^3  symbolisiert.
  3. Analog zur Z&L-Konstruktion von Gerade und Kreis kann in der mittels  Parabel-Konstruktion  anschaulich nachvollzogen werden, warum und wie sich der abhängige Parabelpunkt y=x^2 und y=x^3 bewegt, wenn die unabhängige Variable bewegt wird.
 Konstruktion einer quadratischrn und einer kubischen Parabeln    y=x+x und y=x+x+x
 
 
Mit Punkt A wird der Ursprung des  kartesischen Achsensystems gewählt. Mit dem waagerecht an Punkt A angelegten Libeal wird die x-Achse gezeichnet,  Entlang des Lineals zeichnet der bewegt Punkt die x-Achse als   Spur.  Die Bahn des bewegte Punktes  wird  durch funktionale Linealkurve gesteuert. Analog dazu wird die y-Achse, senkrecht zu x-Achse und durch Punkt A  gezeichnet. Dann wird ein Punkt F auf der x-Achse frei gewählt und damit die Einheit, Srecke AF=1, definiert. Weiter wird eine Gerade senkrecht zur X-Achse durch F gezeichnet und eine weitere sekrecht zur X-Achse durch E. 
 
 
 
 
Simultanes, dreifaches   Winkeldritteln mit gegeben gezeichneter Parabel y=x3 
 
 
 
Simultanes, dreifaches   Winkeldritteln mit gegebener gezeichneter Parabel y=x2 
 
Aus dem Buch "La Geometria "von 1637 des berühmten René Descartes (1596-1650) geht hervor, das ein exaktes Winkeldritteln auf der Grundlage von Gleichung vom  2. Grad möglich ist.
Ein Teil der Fachwelt sieht die descartessche Lösung heute immer noch als nur eine Näherung. Deshalb abstrahiert das KI-Portal "frage.de"09.12 .2024  aus dem angelernten Wissen zum wantzelschen "Unmöglich- Beweis": 
"Ja, das Descartes-Winkeldritteln kann nur genähert mit einer quadratischen Parabel gelöst werden. Laut Wantzel ist es nicht möglich, Winkel mit nur einem Zirkel und einem Lineal exakt zu dritteln, da dies eine Lösung einer Gleichung dritten Grades erfordert. Die Verwendung einer quadratischen Parabel ermöglicht lediglich eine Annäherung an die Lösung, jedoch keine exakte Lösung des Problems. [x]"
 
Descartes gelangte nach endlich vielen Schritten zu einer vollständig konstruierten Größendarstellung eines dreigeteilten Winkels zwischen den Punkten P und N, wie das  Bild  im  Buch "La Geometrie", auf Seite 399 zeigt.
 
Eine  vollständig  konstruierte anschaulich nachvollziebare Lösungssequenz von Kreis und Gerade-Objekten ist hier allerdings nicht zu erkennen.  Erschwerend ist, es gibt keine übereinstimmenden gemeinsamen Buchstaben-Symbole in der linken und  rechten Teilkonstruktion. Beim obigen rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel  ∠PON  und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT,  ∠TOQ  und  ∠QON  zu  erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das anschauliche Verständnis zum konstruierten Zusammenhang behindert. So ist aus dem linken Teilbild heraus kein  Bezug zur Dreiteilung direkt zu erkennen. Die von Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat offenbar dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß lange in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind unter dem Suchwort "Dreiteilung des Winkels" viele Lösungsversuche  gesammelt und ausführlich besprochen. Die Lösung von Descartes  ist dabei nur  kurz erwähnt. Das obige Bild von Descartes ist dort ganz weggelassen und bleibt  unbetrachtet und unerklärt, so daß unter "Dreiteilung des Winkels"  die besondere Bedeutung des exakten  Lösungsprozesses mit Lösungsgleichungen vom 2.Grad nicht thematisiert wird.
 
Simultanes, dreifaches   Winkeldritteln mit quadratischer Parabel
Unsere  folgenden Bilder gehen   über   die von Descartes dargelegten Zusammenhänge hinaus, indem  simultan mit der Parabel p7 und einem Kreis k6  vier  Schnittpunkt erzeugt werden, wovon drei  zu drei   verschiedenen   Winkeldrittelpunkten im Halbkreis führen.  Die Dreifachsummen der drei mit Parabel p7 erzeugten verschieden großen Winkeldrittel (blau, grün, rot) treffen sich im gemeinsamen Punkt P=S3(k2xg3), der die drei Winkel α=∠B,M,S(k2xg3) und β=∠S(Yxk2),M,S(k2xg3) ; γ=∠S(-Xxk2),M,S(k2xg3)  im Halbkreis  begrenzt (siehe folgendes rechtes Bild). Der Winkel  α reicht von Schnittpunkt S3(k2xg3) bis zur positiven X- Achse Punkt B.  Der Winkel β reicht von Schnittpunkt S3(k2xg3)  bis zur positiven Y- Achse Punkt S2(Yxk2) und der dritte Winkel γ  von S3(k2xg3) bis zur negativen X-Achse Punkt S(Xxk2). 
Beschreibung der   Konstruktion und Objekt-Bezeichnungen
Die mit Kreisen k1=0.5 und k2=1 sowie der Parabel y=2x^2 dargestellten Zusammenhänge realisieren ein simultanes dreifaches Winkeldritteln im Halbkreis. Die  geometrischen Zusammenhänge dreier  Winkeldrittelpunkte  im Halbkreis   werden   im rechten Teilbild  durch eine Sehne nachvollziehbar, welche den inneren  Kreis k1 um M tangiert und der Tangierungspunkt den Punkt des inneren Winkeldrittels β/3 auf Kreis k2 festlegt. Die tangierende Sehne endet  jeweils am äusseren Kreis k2 mit den rechten roten  Winkeldrittelpunkt S8(k2xg8) für  α/3  und und den blauen Winkeldrittelpunkt S9(k2xg9) für γ/3 am linken Ende.
Im linken Teilbild geben die Objektbezeichnungen die Konstruktionsfolge der Objekte an, wobei mit dem inneren  Kreis k1 gegonnen ist. Kreis k1 weist  nur die halbe Radiusgröße des größeren Kreises k2 auf. Die Gerade g3=MS3 definiert mit seinem Schnittpunkt S3(k2,g3) die drei  zu drittelnden Winkel  α; β und γ. Konstruiert werden dann g4 und g5, deren Schnittpunkt  S5(g4xg5) der Kreismittelpunkt für den roten Kreis k6 ist.  Kreis k6 schneidet eine gegebene quadratische Parabel p7 in deren  Scheitelpunkt M, der Ursprungspunkt M(XxY) ist, sowie drei weiteren Parabelpunkten S7.1(k6xp7); S7.2(k6xp7 ) und S7.3(k6xp7). Durch diese Schittpunkte werden  zur Y-Achse parallele  Strecken g8=(S8,S7.1) ; g9=(S9,S7.2)  und g10=(S7.3, S10) gezeichnet, um die  Schnitppunkte S8(k2xg8), S9(k2xg9)  und S10(k2xg10) zu erzeugen. Die Schnitppunkte S8(k2xg8) und S9(k2xg9)  sind zugleich die Sehnen-Endpunkte, welche die äusseren Drittelpunkte  S8 und S9 markieren.
Im rechten Teilbild ist mit den grünen vier Ausfüllkreisen zu erkennen, daß der Schnittpunkt S10(k2xg10) ein quasi inverser dritter Winkeldrittelpunkt S10.1(k2xg10) für β/3 ist.  Die Schnittpunkte S8(k2xg8), S9(k2xg9)  und S10.1(k2xg10) markieren drei verschiedene  Drittelungswinkel α/3; β/3 und γ/3.
Das simultane Winkeldritteln ist  mit  Parabeln der Form  y=(N (x^2)  mit (N=(1; 2, 4; 8 ...))  
bzw. (N=(1/2, 1/4;1/8 ...)) möglich.  
 

 

Winkeldritteln mit Grenzprozeß und nur wenigen klassich konstruierten  Parabelpunkten

Mit folgendem Bild knüpfen wir an das eingangs schon erörterte Verfahren mit Parabel an, das   allein mit Zirkel und Lineal für  Kreis- und Gerade-Objekte  auskommt. Im folgenden Bild  wird die schon gezeichnete   Parabelkurve p, hier als gestrichelte blaue Kurve p angedeutet, nicht benötigt.

Der  im  Ergebnisbereich benötigte Parabelverlauf   wird hier  stückweise als Krümmungskreis k4   konstruiert, der durch drei konstruierte exakte Parabelpunkte geht. Sein Schnittpunkt S(k3,k4) führt mit einer parallel zur Y-Achse verlaufenden Strecke zum relevanten Winkeldrittelpunkt S(k2xg5) auf dem Grundkreis k2. Der rote dünne Radiusstrahl markiert die zu drittelnden  Winkel α; β;   und γ. Reicht die erreichte Genuigkeit nicht aus, kann nun ausgehend vom akuellen Zwischen-Ergebnispunkt eine sich wiederholende Lösungssequenz gestartet werden usw. Theoretisch  weicht  dieser autokonvergente Grenzprozess mit seinem Ergebnis nach endlos vielen Wiederholsequenzen nicht mehr vom exakten Winkeldrittel ab.   Da hier dem Ziel unbeschränkt zugestrebt wird, ordne ich es  als exaktes Verfahren ein. Gleiche Wiederholsequenzen mit Kreis- und Gerade-Objekten machen es möglich, die Gesamtsequenz des Grenzprozesses mit einer endlichen Beschreibung vollständig darzulegen.    

Die rote Gradzahl im Bild ist die  verdreifachte gemessene Ergebniszahl in Grad. Auf diese Weise kann  das Drittel-Ergebnis leichter mit der schwarzen Startzahl vom zu drittelnden Winkel verglichen werden.

Wie gezeigt, werden ausgehend vom  Schnittpunkt   S(p, k3)     drei  exkate Punkte F, E, G der stückweisen Parabel p klassich konstruiert. Dies gelingt   mit einer  endlichen  Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten. Die klassiche Konstruktion von Punkten einer quadratischen Parabel  haben wir an anderer Stelle schon mehrfach beschrieben. Sie kann aber auch  aus obigem Konstruktionsbild eindeutig nachvollzogen werden. Der Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisgebiet wird  durch die hier drei konstrierten Parabelpunkte F, E, und G gezeichnet.  Gestartet wird die Konstruktion mit einem grob geschätzten Drittelwinkel, indem der mittlere Parabelpunkt E in der Nähre von Kreis k3 platziert wird. Die beiden anderen Parabelpunkte F und G werden quasi symmetrisch rechts und links neben dem Punkt E platziert. Sie sollen   einmal im Kreis k3 und einmal ausserhalb von Kreis k3 liegen. 

Beim  nächsten Bild wird ein zweistufiges Vorgehen gezeigt. Der 1. Zyklus bzw. die 1. Stufe ist rechts rot und der 2. Zyklus bzw. 2. Stufe ist  links blau gezeigt. Gestartet wird der zweite Zyklus mit dem Zwischen-Ergebniswinkel aus dem 1. Zyklus (rot). Im 2. Zyklus wird bereits eine Ergebnisgenauigkeit erreicht, die über   15  wahre Nachkommastellen hinaus geht. Um wie viele kann hier nicht mehr erkannt werden, da die Rechengenauigkeit des verwendeten Geogebra-Programms nur 15 Nachkommastellen  leistet.

 

 

 
 
 
Winkeldritteln durch Grenzprozess  mit Halbierungen
Nicolaus Fialkowski (1818-1902) war ein österreichischer Mathematiker, der in seinem Buch "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12  einen  exakten Grenzprozeß zum Winkeldreiteilen durch fortgesetzt konstruiertes Halbieren veröffentlichte. Dabei wird eine immer dichtere Punktefolge erzeugt, die gesetzmässig ihrem Grenzpunkt, dem exakten  Winkeldrittelpunkt zustrebt. 

 

Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und bleibt damit  "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen klassich  exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" ist hier deshalb  etwas widersprüchlich und weniger zutreffend als der Begriff exakter Grenzprozeß. Bei diesem ist das gedachte exakte Grenzpunkt-Ergebnis = Winkeldrittelpunkt  in Gedanken, sprich theoretisch,  nach  endlos vielen Schritten  erreicht. 

Die Ergebnis-Darstellung ist hier mit endlich vielen Schritten niemals ganz vollständig als Zusammensetzung erzeugbar. Trotzem ist ihr Erzeugungsprozeß ein exakter unbeschränkter Konstruktionsprozeß und kein genähert beschränkter, wie die  häufig zitierte  Streckenkonstruktion des genäherte Kreisverhältnisses π,  die vom polnischen Mathematiker Adam Kochanski (1631-1700) im Jahre 1647  veröffentlicht wurde.

Zum besseren Verständnis müssen wir hier auch das Problem der Quantisierung betrachten. Dazu ist bei Wikipedia 7.11.2024  unter Suchwort " "Quantisierungsabweichung"  zu lesen:

"Die Quantisierungsabweichung oder der Quantisierungsfehler ist die Abweichung, die bei der Quantisierung von analogen Größen entsteht (z. B. bei der Analog-Digital-Umsetzung). Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung nur diskrete Werte verwendet.

Fialkowski erkennt ganz klar, sein Winkelteilen ist quasi ein konstruiertes exaktes  Berechnen, bei dem mit mehr Schritten die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:

"Mann kann durch fortgetztes Halbiren  der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".

Leider trägt Fialkowski    selbst  zu einem  schnelles Vergessen seines  erfundenen exakten Winkeldrittel-Grenzprozesses  bei.  Er schreibt hierzu:

"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen  diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Theoriefindung zum Halbierungs-Winkeldritteln 
Bei der   Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt  Fialkowski  in seinem Buch auch den  Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der  eine Konchiode für das Winkeldritteln  ins Spiel bringt.  Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski  dann:
 
„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man:       ...     α (1/4+1/42+1/43+ 1/44 + ... ins ∞ ) = α /3“
 
Schliesslich leitet Fialkowski  daraus die  1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;"   her und schreibt:
     " ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"
 
Verkürzte Halbierungs-WDT durch nachgeschaltetes konstruiertes  Dritteln
Das  Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um  eine nachgeschaltetes   klassisch konstruiertes  Dritteln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende  Bild zeigt einen hierfür  genutzten  Zusammenhang.

In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte  Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.

 

Geometrische Konstruktion als Berechnungsplan  

Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir auch die Sequenz der klassiche konstruierten Kreis- und Gerade-objekte, die durch Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreiben kann. Die Gesamtheit der  Teilrechengänge sind  als   endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem  ein Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird.  Durch ein   hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel  zu einem klassisch konstruierten  Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist,  der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein. 

Eine real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan, denn sie beschreibt alle Schritteaktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der   Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen). Da dieses Fortsetzen theoretisch endlos möglich ist, gibt es keine  Beschränkung, ist unbeschränkt.     Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen  schon nach 7 Halbierungen.

 
Beim  nächsten Bild  werden von innen nach außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden.  Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach  4 und außen nach 5.   
 
 
Beim folgenden Bild erleichtert  die von Innen nach Außen gezeichnet  Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild  gibt es keine nachgeschaltetes  geometrisches  Dritteln. So wird   hier erst nach  11 Halbierungen   eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von  wenigel als   1/1000 Grad erreicht.  
 
 
Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seinen Winkeldrittelungen durch Halbieren:
"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."
 
 
Neusis-Konstruktionen
Wie seit der Antike bekannt ist,  gelingt das Winkeldritteln   indirekt, quasi  etwas auf Umwegen.  Dazu werden  die möglichen Konstruktionen des Verdreifachens zu Ziegestalt-Konstruktionen gemacht, deren Gestalt durch die  Winkel α und 3α geprägt ist, was sich in besonderen erfüllten Gestaltkriterien zeigt, wie eine Größengleichheit bei einer Strecke oder durch eine simultane zweifache Parallelität.  Die zu lösende Aufgabe besteht darin, die Lösungsgestalt-Konstruktion mit der Zielgestalt-Konstruktion in Deckung, in Übereinstimmung zubringen. Ist dies erreicht, ist auch das gesuchte Winkeldrittel erreicht. Die hierzu erforderliche Bewegung wird schon in der Antike als Neusis-Bewegung bezeichnet.  Mit  dieser wird ein noch von der Zielgestalt abweichendes Objekt in Richtung Gestaltübereinstimmung  bewegt. Auf diese Weise wird  dem Winkeldrittelpunkt unbeschränkt zugestrebt. Dazu gibt es später noch mehr Details.
Vom Prinzip her können  auch unsere eingangs gezeigten Konstruktionen solche Zielgestalt-Konstruktionen sein. Ein Arbeiten mit ihnen ist aber nicht sehr effizient. Deshalb werden wir nach solchen mit besserer Kohäerenz-Nachvollziehbarkeit suchen  und diese zum Einsatz bringen. 
 
Zielgestalt-Konstruktionen   mit analogen Neusisbewegungen
 
Die Zielgestalt-Konstruktion relisiert den Lösungsweg vom Winkel α/3 nach α. Die Neusis-Bewegung eines Objektes der Lösungsgestalt-Konstruktion bingt dies  mit der Zeilgestalt-Konstrktion in Deckung, zur Gestalt-Übereinstimmung. Ist das erreicht, ist auch das exakte Winkeldrittel erreicht
Unser Fortschritt besteht hier in der Überführung der quasi analog vollzogenen Neusisbewegung in eine   "schrittweise konstruierte" Grenzprozeß-Neusisbewegung, welche  Schritt um Schritt ausgeführt wird.  Hierbei wird mit endlos unbeschränkt fortsetzbaren  Wiederholzyklen  eine immer dichtere  Punktefolge konstruiert, die ihrem Grenzpunkt, dem exakten  Winkeldrittelpunkt,  gesetzmässig zustrebt und in gedanklicher Abstraktion auch erreicht. 
Eine  grundlegende Zielgestalt ist eine  Konstruktion, welche  den einfachen Winkel und  dessen vervielfachte  Winkel aufweist. Wird eine  Lösungsgestalt-Konstruktion mit der Zielgestalt-Konstruktion in Übereinstimmung gebracht, weist sie  den einfachen Winkel und dessen vervielfachte  Winkel auf, wie es nachfolgendes Bild zeigt.
 
Seit Alters her wird diese Lösungskonstruktion  durch Neusisbewegungng  (Drehung, Verschiebung) zur Zielgestalt hinbewegt, damt ihre Gestalt mit der  gegebenen Zielgestalt-Kostruktion in Übereinstimmung kommt. Bisher  her  wird  hier mit ein analogen  Bewegen  gearbeitet, so daß von einem   analogen Neusisbewegen gesprochen werden kann. Wie diese erfolgreich realisiert wird, bleibt offen?
Wir  führen hier nun Neusis-Bewegungen  ein, bei denen das Bewegen in konstruierten autokonvergenten Schritten erfolgt. Wir sprech hier  von  einem  schrittweisen Neusisbewegen. 
Das obige Bild einer grundlegenden Zielgestalt-Konstruktion  zeigt den Zusammenhang des Winkelvervielfachens  mit  aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecken gleicher Seitenlänge. Es entsteht dabei  eine  Winkelfolge mit n Winkeln der Winkelsumme s=n*α.    Mit größer werdenden  Winkelgrößen kehrt sich die Richtung der Dreieckfolge nach links um, irgendwann wieder nach rechts usw. immer häufiger, wodurch ein anschauliches Nachverfolgen erschwert wird. Die von Archimedes (287-212 v.u.Z) bei seinem konstruierten Winkeldritteln  genutzte   Zielgestalt-Konstruktion benötigt im obigen    Bild  nur die ersten  zwei  aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke. Diese kurze Konstruktion  weist  den  einfachen, den doppelten und den verdreifachten Winkel  α;  2α;   3α  auf.
 
 
Erweiterung der zu drittelnden Winkelgröße mittels Kreuzschleifen-Konstruktion
Unser Ziel ist es hier,  das Verfahren der Winkeldreiteilung auf der Grundlage der Kreuzschleifen-Kohärenz so weiter zu entwickeln, dass auch größere Winkel direkt gedrittelt werden können. Dritteln endet hier nicht bei Prozessen, die nur endlich viele konstruierte Schritte bzw,   Kreis- und Gerade-Objekte ummfassen.
Bei den  folgenden Bildern markiert die blaue Radiusstrecke=MD den zu drittelnden Winkel und die grüne Radiusstrecke=MC den gesuchten Drittelwinekl. Den zu beweisenden nachzuvollziehenden 3-er Zusammenhnang machen hier die beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke rot und grün anschaulich. 
 
Der rote  Kreuzschleifen-Balken  AB hat eine Länge vom Grundkreisdurchmesser = 2*ME und gleitet mit Punkt A auf der X-Achse und mit Punkt B auf der Y-Achse. Sein Mittelpunkt C bewegt sich dabei auf der Grundkreiskurve k1, bzw. zeichnet diese gedanklich als Spurkurve. Die dünne grüne Radiusstrecke MC markiert die Winkelgröße α =∠E,M,C und die dicke blaue Radiusstrecke den zu drittelnden Winkel 3α .
 
Streckenzug- Zielgestallt
Die  Zlelgestalt-Konstruktion  für einen vergrößerten Winkelbereich der 3-er Winkelhohärenz wird mit unserer Kreuzschleifen-Konstruktion mögliich.   Die folgenden Bildern zeigen verschieden große  zu drittelnden Winkel (grüne Radiusstrecke) in den vier Quadranten eines descartschen Koordinatensystems. 
Diese vier Streckenzug - Zielgestalt-Konstruktionen   kommen mit nur wenigen   zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten aus. Je nach Betrachtungsrichtung vom   Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) zum dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke), oder umgekehrt, vom  dreifachen Winkel (= grüne Radiusstrecke) zum Drittelwinkel (= rote Radiusstrecke) gibt es hier eine exakte Verdreifachung oder eine Drittelung. Allerdings  begründet  hier nicht  die allgemein bekannte Verdreifachung eines Winkels durch zwei gleichgroße aneinander gereihte Kreise  den systematischen 3er-Winkelzusammenhang. Die Verdreifachung entsteht durch   die Sequenz der zusammenhängenden Strecken-Objekte im Kreisinnern und den Achsgeraden. Mit Drehung der grünen Radiusstrecke gleitet der rote Kreuzschleifenbalken, der die   Größe vom Grundkreis-Durchmesser hat, mit seinen beiden Endpunkten auf den  X- und Y-Achsgeraden. Der Balkenmittelpunkte M zeichnet dann als Spurkurve den  Grundkreis um Mittelpunkt U.
 
Einprägsame  Streckenzug-Zielgestalt-Konstruktion   
Bei den  nun folgenden Bildern wird die Abstraktion  weiter zu einer sehr einprägsamen  "Streckenzug-Zielgestalt-Konstruktion" geführt. Sie umfasst wieder einen gegebenen Winkel und seinen verdreifachten Winkel. Der besagte  systematische Zusammenhang  ist nun auch auch über eine Umdrehung (einen Vollwinkel) hinaus  nachvollziehbar.  Für die "Streckenzug-Zielgestalt-Kosnstruktion"   gilt:
 
Ein 3er-Winkelzusammenhang ist dann gegeben, wenn ein  zusammenhängender
schwarzer Streckenzug  im Kreisinnern aus zwei Paaren  
paraller Strecken besteht.  
 
 
Die folgenden zwei Bilder sind Beispiele für die als Lösungsgestalt angestrebten zwei Paare paraller Strecken im inneren des Kreises. Es sind die den  Grundkreis innen berührender Streckenzüge A,M,B,C,D  bzw.
 
 
 A1,M1,B1,C1,D1. Die  besagten zwei  Sreckenzug verbinden  den einfachen Winkel α und den dreifachen  Winkel 3α bestmöglich.  Die erste und dritte Strecke AM und BC sowie die zweite und vierte Strecke MB und CD  sind zueinander parallel.
Um die angestrebte Übereinstimmung  herbei zu führen, wird die   rote Kreiszschleifen-Balkenstrecke CD solange um Punkt D gedreht  bis die abhängige sich drehende Strecke MB parallel zur Strecke  DC zu liegen kommt.  Beim nächsten Bildbeispiel  ist der zu drittelnde Winkel   größer einer Umdrehung. Er liegt   im 5. Quadranten. Der  verbindende Streckenzug besteht hier aus den  vier gestrichelten roten Strecken.
 
  
 
Beim folgenden Bild   bewegt sich der Balkenmittelpunkt C von Strecke E,F auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Balkenstrecke   mit ihren  Endpunkten E und F an  den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.
Anhand der  zwei Paare paralleler roter Strecken im Kreis um M  kann die hier natürlich vorhandene Dreierkohärenz für Winkel gut nach vollzogen werden.  
 
Das bekannte analoge Neusisbewegen ist ein Zurechtschieben/-drehen bis zur vollständigen Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt. Es wird nur  nur theoretisch im Gedankenspiel erreicht. Daraus  erwächst  der Wunsch zu einem    klassich konstruiertem Prozeß des "Zurechtschiebens", zu einem schrittweis konstruierbarem  Neusisbewegen.    Wünschenswert ist für diesen veränderten Prozeß, daß er nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert wird. Damit kann dann die  in der Antike  gefoderte Beschränkung auf Zirkel und Linieal bzw. Kreis- und Gerade-Objekte  eingehalten werden. Von der Antike bis heute  sind in der Fachliterarur  keine solchen Lösungen  zu finden. Sie werden auch bis  heute nicht angestrebt, denn sie werden nicht erwartet.
 
Winkeldritteln mit kombinierten Zielgestalten
Im folgenden linken Bild sind zwei Zielgestalt-Konstellationen für die 3-er Winkelkohärenz   miteinder kombiniert. Links gibt es die Zielgestalt  als  "Streckenzug im Kreisinnern mit "schwarzer Strecke= AM,  dann folgen drei  rote Strecken. Nach rechts schliesst ein blauer Streckenzug an. Der  gesamte nach rechts orientierte kombinierten "Streckenzug  umfasst die "schwarze Radiusstrecke = AM dann Strecke  rot, dann Strecke   blau und Strecke blau". 
 
 
 
Die rechte   Konstruktion zeigt   einen  stark konvergierender  Winkeldrittel-Grenzprozeß welcher  mit der kombinierten Zielgestalt  und einer schrittweisen Neusisbewegung arbeitet.   Der kombinierte Streckenzug umfasst  die "schwarze Radiusstrecke= AM ,  dann eine rote Strecke und zwei  blaue Strecken  .  Wegen der starken Konvergenz kann die schrittweise   konstruierte Neusisbewegung  schon nach wenigen konstruierten Objekten mit Schnittpunkt S4(k3xg4) beendet werden. Die Ergebnisgenauigkeit ist  dann  mit über 15 wahre Nachkommastellen bereits ausreichend groß.   Zum Zweck eines leichten direkten  Vergleichens der Ergebnisgenauigkeit wird  der konstruiert  erzeugte  Drittelwinkel ausgemessen und vor dem Vergleichen verdreifacht. Dieses Verdreifachen  leisten die  zwei  roten  Kreise mit ihren Mittelpunkten auf dem roten Kreis um Mittelpunkt M.  Der vergrößerten Bereich um Punkt S4(k3xg4)  wird mit nachfolgenden Bild gezeigt.  
Beschreibung der Konstruktion:
Gegebene Objekte:
- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M
- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ 
 
Die  konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:
1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse
2. Strahl   g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet  
3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA
4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet. 
5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)
6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S6(g5×k6) und       S6.1(g4×k6).
7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.
8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S8(g7×k8) und      S8.1(g4×k8). 
9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.
10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt,  S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8). 
11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der  Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.
12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und  S12.1(g4×k12).
13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnittpunkt     S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert. 
-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten  Drittelwinkel ∠AMD. 
 
 
 
Tiefer gehende Einsichten
Die folgenden zwei Bilder führen zu   noch   tiefergehende Einsichten zum    Winkeldritteln.   Im linken Bild liegt der  zu drittelnde Winkel im 2. Quadranten und rechts  im 1. Qudranten.
 
 
 
 
 
Winkeldrittelung mit konstruierter Neusisbewegung  
Im folgenden Bild wird ein  weiteres, weniger effizientes Ganzbalken-Verfahren gezeigt, bei dem der Grenzprozeß   etwas anders realisiert wird.  Die erste konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit den Strahl g2 durch den frei gewählten Startpunkt 2 und endet mit Schnittpunkt K=S(Xxk7). Die  zweite konstruierte Berechnungs-Teilsequenz startet mit Strahl g8 durch Startpunkt K und endet mit dem Schnittpunkt T=S(Xxk14).  Im nächsten Bild ist die Umgebung der Punkte K; L und  T  vergrößert gezeigt.
 
Nach dem ersten Teilsequenz-Zyklus  wird mit Kreis k7 der Punkt K=S(Xxk7)   auf der X-Achse erzeugt.  Der Zwischenergebniswinkel ist dann mit 2 wahren Nachkommastellen erzeugt.  Mit dem zweiten Teilsequenz-Zklus wird dann die Ergebnisgenauigkeit um 4 wahre Nachkommastellen erhöht usw. 
 
 
Winkeldrittleln mit schrittweiser autokonvergenter Neusisbewegung 
1. Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im  Inneren des Grundkreises 
Beim nachfolgendem Bild  eines  Grenzprozeß-Winkeldrittelns verläßt die  konstruierte  Sequenz der kohärenten Strecken-Objekte  das Innere des Kreises nicht. Der  Grenzprozeß, der stringent dem Grenzpunkt als Ergebnis zustrebt, hat die Eigenschaft "autokonvergent" zu sein. Autokonvergent  beschreibt hier, daß keine probierenden Schritte   erforderlich sind.   Das folgenden Bild mit den  laufenden Nummern an den Objekten zeigt einen  gut verfolgbaren fortschreitenden Verlauf des mit den zwei Paaren paralleler Strecken konstruierten Grenzprozesses.  Die Strecken 3 ; 7 ; 11 usw. drehen sich immer weiter in die Richtung der X-Achse bis sie zu dieser parallel laufen. Nun markieret der rechte Schnittpunkt mit den Grundkeis  den gesuchten Winkeldrittelpunkt. Ein verkürztes Beenden des  Grenzprozesses wird erreicht,  indem durch die letzten drei Mittelpunkte der Streckenfolge 3; 7; 11 usw. der Kreis K20 konstruiert wird, welcher die Y-Achse im Punkt S(YxK20) schneidet. Durch diesen Punkt ist dann die gesuchte zur Y-Achse parallele Strecke gezeichnet, welche rechts mit ihrem Schnittpunkt mit dem Grundkreis den gesuchten Winkeldrittelpunkt markiert. Die Ergebnis-Genauigkeit in Grad ist hier nach ca. 20 konstruierten Objekten  4 wahre Nachkommastellen. 
2.  Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im  Inneren des Grundkreises 
Halbbalken.Verfahren 
Es gibt mit der Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation (Ziel-Kohärenz-Modell) noch weitere  mögliche Varianten für konstruierte Grenzprozesse, wie bereit  weiter oben schon erörtert.  
Um den Umfang der  Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind  die    konstruierten Objekte  im folgenden Bild  zum Halbbalken-Verfahren fortlaufend nummeriert. Für den im  i-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung   ki  und für die im nächsten Schritt erzeugte  Gerade  gi+1. 
 
Die erste Teil-Sequenz  umfasst hier  die Objekte   Gerade und Kreis ( g2;k3), (g4;k5) ; (g6;k7), usw.  Für die Radiusgrössen der Kreisbögen gilt:   rk3=rk5=rk7= ... =2*rk1 .     Die konstruierten Punkte D; G; K usw bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Kohärenzkurve". Diese strebt   den Grundkreis k1  zu und schneidet ihn letztlich im Punkt PWinkeldrittel. Da sich Im Ergebnisbereich der Verlauf der Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve nähert, wird durch die letzten drei Folgepunkte eine Kreiskurve gezeichnet, welche den Grundkreis k1 schneidet. Im folgenden linken Bild wird der halbe Kreuzschleifen-Balken zischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst. 
Die eingangs gezeigten Kreuzschleifen-Konstruktionen sind im linken Bild ein Halbbalken-Verfahren und im rechten Bild ein Ganzbalken-Verfahren.
 
3. Winkeldritteln mit konstruierten Objekten auch außerhalb  des Grundkreises 
Ganzbalken - Verfahren, rechts
Die folgenden   zwei Bilder  zeigen  zwei unserer neuen Winkeldrittelungen in den   Ausprägungen Halbbalken-Verfahren links  und Ganzbalken-Verfahren rechts. Bei beiden Verfahren  liegen die zu drittelnden Winkel    im ersten Quadranten. Die schrittweise konstruierten zwei Neusisbewegungen streben  mit einer autokonvergenten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten (g2; k3 usw.)  der jeweiligen  Zielgestalt zu.
Im linken Bild wird der halbe  Kreuzschleifenbalken  zwischen Y-Achse und Kreislinie Schritt um Schritt eingepasst, wodurch  als Ziel-Gestalt  die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke  entstehen.   Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs eingepasst, wodurch  als Ziel-Gestalt  wieder die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke  entstehen. Archimedes (287-212 v.u.Z.) löst das  quasi analoge Neusis-Drehschieben der halben Kreuzschleifenbalken-Strecke mit einem Lineal mit Strichen im Abstand vom Grundkreisradius.
 
Bein   rechten Ganzbalken-Verfahren wird der ganze Kreuzschleifenbalken eingepasst, was gegenüber dem Halbbalken-Verfahren effizienter ist. Eine  bestimmte Genauifkeit wird schon mit deutlich weniger Schritten erzielt. Zur Abgrenzung von einem  quasi analogen Prozess sprechen wir nun von  einer  "schrittweise  konstruierten Neusisbewegung, welche   Schritt um Schritt mit jedem Wiederholungszyklus aus Strecke- und Kreis-Objekten dem Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt auf der Kreislinie unbeschränkt zustrebt.
Die Abläufe unserer beiden hier gzeigten Winkeldrittel-Grenzprozesse konvergieren also unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt. Rechts wird bereits nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Übereinstimming des verdreifachten Ergebniswertes (rote Winkelzahl)  mit dem Startwinkelwert (schwarze Zahl) von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Hingegen werden mit dem weniger stark konvergierenden linken Grenzprozess erst  nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen  3 wahre Nachkommastellen erzielt. Unsere beiden Grenzpozess-Winkeldreilungen  arbeiten als autokonvergente Grenzprozesse, die allein mit den  Urkurven Kreis und Gerade von beliebig großen Startwerten zum exakten Winkeldrittel führen.  Hierbei sind die in der Antike gefoderte Beschränkung der Werkzeuge  auf Zirkel und strichloses Lineal eingehalten. 
Wir behaupten, die Lösung der Aufgabe, eine beliebige Winkelgröße zu dritteln,   ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald  das Wissen zur  Quantisierung (heute wird hier meist von Digitalisierung gesprochen) einbezogen wird.  So wissen wir auch,  für  beliebig große  zu drittelnden Winkel gibt es  keine vollständige quantisierte klassich konstruierte Größendarstellung ohne Restfehler. Diese Tatsache trifft damit auch auf die vom  Startwinkel abgeleiteten 1/3-Winkel zu. 
Wir wissen auch, dass ein exakter Grenzprozess   zum Winkeldritteln  den gedachten endlosen  Umfang der Operationen  nicht   vollständig abarbeiten kann.   Bleibt die Frage, führen unsere konstruierten Grenzprozesse tatsächlich, wenn sie endlos fortgeführt werden könnten, zum erwarteten vollständigen Größenabbild des Winkeldrittels? Nach den Schlüssen, welche  aus dem wantzelschen Beweis gezogen werden, gibt es keine zutreffenden Zusammenhänge, die allein mit endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten auskommen. Daher stempelt die "amtliche Mathematik" Winkeldrittelversuch, die sich nicht an die antike "Endlich-Forderung" halten, ohne jede weite Überprüfung als falsch ab. Heute wird dazu gelehrt, für die Überwindung des Unmöglich-Problems  brauche es zusätzliche Hilfsmittel, die über Kreis- und Gerade-Kurve hinaus gehen. So kann bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels   dazu nachgelesen werden:  
 
"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien und Werkzeugen, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Neusis-Konstruktion vollzogen werden"
Diese Sichtweise schafft Verwirrung, denn auch die analoge Neusisbewegung   schafft die endlos genaue Verschiebung mit einem quasi letzten endlos kleinen Schritt nicht real, sondern nur in Gedanken. Sie werden heute  als  exakte Lösungen zum Winkedrittel eingeordenet. Aus unserer Sicht sind  daher unsere Grenzprozesse, ein  exaktes Winkeldrittel, welches  wie die Neusis-Konstruktionen das exakte Ergebnis nur mit gedanklich endlos vielen Schritten  erreicht. 
Tatsache ist, zwei Winkelhalbe gibt es nach  einer Verzweifachung, sowie auch nach einer Zwei-Teilung. Die Winkelverdreifachung   gibt es nach endlich vielen Schritten. Das gesuchte Winkeldrittel gibt erst am gedanklichen Ende eine endlosen Drittelprozesses.  
 
Winkeldritteln nach Archimedes (287-212 v.u.Z.)  
Zur Abgrenzung zu den eingangs beschriebenen schrittweis konstruierten  Neusisbewegungen    sprechen wir bei der Archimedes-Konstruktion, mit mechanisch analogem Neusisbewegen, wohl vom bekanntes Winkeldritteln in der Geometrie.    Er ist aber  nicht  der älteste Versuch.  Mit dem  folgenden  Bild wird die Aufgabe der  analogen Neusisbewegung  vom Prinzip her verständlich.  
Archimedes Lineal WDT
 
Archimedes (287-212 v.u.Z.) erkannte, das Winkeldritteln ist exakt gelöst, wenn die  konstruierte Lösungsgestalt der Zielgestalt-Konstellationen bis hin zur Deckung zustrebt. Dann haben die  zwei aufeinander folgenden Dreiecke  gleiche Schenkelgrößen. so wie sie das kleine Bild, links oben für die  Zielgestalt-Konstruktion zeigt. Dei Lösungsgestalt-Konstruktion erfüllt bei Deckung dann auch den exakten 3-er Winkelzusammenhang.  Mit der Lösungsgestalt-Konstruktion wird der Zielgestalt-Kosruktion durchh die Neusisbewegung näher gekommen, die bei -Archimedes durch  eine entsprechen Linealbewegung realisiert wird. Archimedes  fügte dem  Lineal zwei Striche bzw. die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K)  mit dem   Abstand  der Radiusgröße = /M,S(XxK)/ hinzu. Wird das  auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt  es eine Drehung im zu drittelnden Winkelpunkt S(6KxK). Der   gesuchte exakte  Drittelwinkel ist erreicht, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt. Real kann dies aber nie exakt erreicht werden, sondern nur gedanklich.   Für die angestrebte Gestalt-Übereinstimmung müssen die aufeinander folgenden zwei Dreiecke  jeweils  Schenkel-Seiten  mit gleicher Größe erreichen.  Die Betrachtungsrichtung für die Dreieckfolge bestimmt,  ob ein Vervielefachen zum Großen hin oder ein  Vervielfachen zum Kleinen hin betrachtet wird.  Auch für das Winkedritteln mit einer Zielgestalt-Konstruktion nach Archimedes ist unsere schrittweis konstruierte Neusisbewegung möglich. 
 
 
 

Winkeldreiteilen mit Ellipse

 
Winkeldreiteilen mit gezeichneter, aber auch ohne gezeichnete Hyperbel
Ausgangspunkt für das Verstehen des Winkeldrittelzusammenhangs ist wieder die konstruierte Zielgestalt aus zwei gleichgroßen gleichschenkligen Dreiecken,  rot und grün, wie es das Bild zeigt. Dabei wird vom gegebenen, von A ausgehenden  Radiusstrahl des zu dtrittelnden Winkels ausgegangen. Aus Symmetriegründen kann der Neusis-Schiebeprozeß primär mit Punkt T auf der X-Aches und symmetrisch nachfolgend mit Punkt Z erfolgen oder auch umgekehrt.
Wie der manuell schwierige Schiebeprozeß als Sequenz klassich konstruierter Kreis- und Gerade-Objekte im Einzelnen ausgeführt wird, haben wir  bereits weiter oben schon beschrieben.  
 
 
 
 
Cohaerentic-Sichtweise zum "unmöglichen Winkeldritteln"
Was   wird mit der Cohaerentic-Sichtweise angestrebt?  Es sind  anschaulich zugleich logisch nachvollziehbare exakt zutreffende  Rechenzudammenhänge. Auch solche, die stringent dem Winkelldrittel zustreben und dabei eine anschaulich  nachvollziehbare   Konvergenz aufweisen. Unser gefundenes  Ergebnis  überrascht. Schon mit weniger als 20 kohärent konstruierten Kreis und Gerade-Objekten  wird ein für alle praktischen Aufgaben ausreichend genaue reproduziebare Darstellung der Ergebnisgröße erreicht, deren Fehler im subatomaren Bereich liegt. Die Größenodrnung für ein Atom liegt bei 10-10 m.  
Wir  geben uns hier mit einer letztlich  praktisch immer genauer erzeugbaren  und nur gedanklich vollständig erzeugten  exakten Winkeldrittelgrösse  zufrieden. Bei diesem Sachverhalt  ist es angebracht   sich   an Euklid (ca. 330 v.u.Z.) und auch an Hilbert (1862-1943) zu erinnern. Deren   definierte   Zusammenhänge  für die Geometrie-Grundlagen sind rein gedanklich  abtrahierte Konstrukte. Sie gehen  von der Erfahrung mit realen Objekten aus. Wir sehen deshalb unser angestrebtes Winkeldrittel-Ergebnis als erreicht, da unsere Prozessbeschreibung mit den nachvollziehbar kohärenten Objekten von Kreis und Gerade  bis zum endlos fernen Schritt reicht.  Dabei spielen Wiederholungen von Teilsequenzen eine wichtige Rolle.  Wir sehen es als unzutreffend  und verwirrend an, die exakten Grenzprozesse zum  Winkeldritteln als grundsätzlich  falsch darzustellen, da die Erwartung auf einen endlichen Prozeß nicht erfüllt wird.  Unbetrachtet  dazu bleibt der Sachverhalt, daß mit  immer höherer Zahl der Schritte die konstruierten Winkeldrittel-Grenprozesse einem immer kleineren   Ergebnisfehler zustreben. Wegen dieses Sachverhaltes ist es schon seit der Antike sinnlos und falsch,  für das Winkeldritteln  einem klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen, der schon nach endlich vielen zusammensetzenden Schritten eine diskrete, vollständig konstruierte Darstellung der Lösungsgröße  ohne Restfehler erzeugt.
 
Wir fragen hier, warum wurde in der Antike  das Wissen zum Quantisierungsfehler ausgeblendet? Waren die ererbten Erwartungen auf ganze Zahlen gerichtet? Offenbar fehlte einfach noch das besagte Wissen zur Quantisierung? 
Unsere Cohaerentic-Sichtweise gibt sich mit einem praktikablen immer weiter verringerbaren Quantisierungsfehler  zufrieden, so auch beim  klassisch konstruierten Winkeldritteln. Die tatsächlich zu lösende Aufgabe war und ist es hier,  nach  best effizienten   Lösungswegen zu forschen.  Schon in der Antike wäre es sinnvoll und richtig gewesen  nach einem solchen klassich konstruierten Lösungsprozess zu suchen. Anstelle dessen wurde zu klassich konstruierten Grenzprozessen  immer mehr ein Denkverbot  aufgebaut.  Es fehlte offenbar die motivierende Erwartung.   Daran hat sich offenbar, bis auf das hier abweichende Interesse der Amateure, bis heute nicht viel geändert. Die Ansätze zu den umfassenderen  Dreier - Winkelzusammenhang finden wir schon in  Rene Descartes (1596-1650) Buch "Geometria", welches      im Jahre 1637 veröffentlicht wurde.
Wantzel kannte offenbar das Buch "Geometria" von Descartes nicht, denn in seinen Betrachtungen zum unmöglichen Winkeldritteln kommt er zu der Einsicht, erst eine Gleichung vom dritten Grad beschreibe  den Winkeldrittel-Zusammenhang exakt. Das Problem sei nicht auf eine Gleichung vom 2. Grad rückführbar.  Daher sei eine Auflösung  mit  einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten  unmöglich. Diese Argumentation findet sich auch bei heutigen verkürzten "Unmöglich"-Beweisen, die für einen zu drittelnden Winkel vom konstruierbaren Winkel von 60 Grad geführt werden. (D.Laugwitz, Eine elementare Methode für die Unmöglichkeitsbeweise bei Konstruktionen mit Zirkel und Lineal, In Elemente der Mathematik, 17 / 1962 S 54...). Diese Argumenten  widerspricht der von Descartes beschriebene Konstruktion zum exakten Winkedritteln, welche   mit einer Parabelkurve  vom 2. Grad auskommt.  Heute gilt in der Fachwelt,  die descartsche Lösung sei zwar ein exakter Lösungszusammenhang mit leztlich nur endlich vielen Schritten. Sie verstösse aber mit einer  vorab gegebenen Parabel (Schablone)   gegen  die geforderte Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und Lineal. Heute wisse wir,  alle Punkte einer quadratischen Parabel sind allein nur mit Zirkel und Lineal bzw. Kreis- und Gerade-Objekten klassich konstruierbar.  Daß die quadratische Parabelkurve vorab als unzulässiges Hilfswerkzeug "Schablone" gegeben sein muß, fällt somit heute weg. Unsere  folgende Konstruktion, die später noch ausführlich betrachtet  wird,  zeigt hierzu eine vollständige  klassiche Konstruktion. Bereits nach  wenigen Schritten sind  drei aktuelle Parabelpunkte für den Parabel-Krümmungskreis k4 im Ergebnisbereich konstruiert,  welcher die Kreiskurve k3 schneidet. Auch hier wird  wird bereits mit einer überschaubaren Anzahl konstruierter Objekte ein aktueller Quantisierungsfehler im subatomaren Grössenbereich erzielt.
 
Wie wird die Fachwelt dazu argumentieren?  Dieser fehlerfreie  Lösungsprozeß sei zwar  sehr interessant,  aber doch  nicht  unsere  erwartete  Lösung. Es wird  eine fehlerfreie Größendarstellung des Winkeldrittels erwartet. Manchmal wird hier sogar behauptet, da  das erwartete Ergebnis mit endlich vielen Schritten nicht erreicht wird, müsse der Lösungsweg falsch sein, was nicht zutrifft. 
Die  vorgezeigten   Cohaerentic-Lösungsprozesse sind als klassisch klassich konstruierte Grenzprozesse  überraschend praktikabel. Die konstruierte  Ergebnisgröße  Winkeldrittel   ist hier der Grenzwert einer unendlichen Konstruktion und kann mit dieser  beliebig genau konstruiert berechnet werden.  
 
 
 

 

Paradoxe Situation 

Die drei klassischen Aufgaben der Antike,  die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens  berühren  Zusammenhänge grundsätzlicher  Berechungsprozesse. Diese werden erst durch  klassische Konstruktionen voll nachvollziebar.  Eine sehr fundamentale Aufgabe liegt dem folgenden konstruierten  Berechnen zugrunde: 

"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Verhältnis von Drehungen ist  in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis   überzuführen  und umgekehrt." 

Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis  mit dem Rad, dessen   Abrollweggröße für eine Umdrehung  interessiert? Ähnlich ist es mit  der länge eines  Seils, das  von einer  drehenden  Seiltrommel  abrollt.

Eine fundamentale Einsicht ist:

Für beliebig gegebenen Ausdehnungsgrößen  gibt es keine vollständig exakt abbildende Zahl, die nur endlich viele  wahren Nachkommastellen umfasst.

In der   frühen Antike ist die Erwartung , "alles ist Zahl". So werden  immer  diskrete  Ergebnisgrößen-Darstelliungen erwartet. Solche, die  nur durch endlich viel   konstruierte  Kreis-/Gerade-Objekte  erzeugt werden.    Verwirrend wird  es hier für die Lernenden, wenn die Größe des Kreisverhältnisses  π gleich der Kreiszahl gesetzt wird. Dies  widerspricht er obigen allgemeinen Einsicht. Eine reale Zahl als Größendarstellung für das Kreisverhältnis bleibt immer nur ein unvollständiges Größenabbild. Die Gleichsetzung von Kreisverhältnis und Kreiszahl birgt somit einen Widerspruch in sich. Aktuelle diskrete Kreiszahl-Abbilder sind entweder beschränkte oder unbeschränkte Näherungsdarstellungen, je nachdem,   ob sie aus einem   beschränkten oder unbeschränkten Erzeugungsprozeß hervorgehen.  Ein beschränkten Erzeugungsprozeß kann nur  eine bestimmte beschränkte Ergebnisgenauigkeit liefern. Diese kann  nicht weiter verbessert werden. Ein unbeschränkter Erzeugungsprozeß ist ein exakter Prozeß, bei dem mit mehr Aufwand die Ergebnisgenauigkeit immer  weiter verbessert werden kann, zumindest theoretisch.

 Ähnlich ist es mit der exakten Winkeldrittelgröße, die auch nur   mit   unendlich vielen Grenzprozeß-Zyklen (Schritten) vollständig ohne Restfehler dargestellt werden kann, was aber in der Wirklichkeit niemals erreicht wird. Und so mündet auch jedes Ausmessen des Kreisunfangs mittels arithmetischem oder konstruiertem  Berechnen des Kreisverhältnisses   in einem klassisch konstruierten endlosen Grenzprozeß.  

 
Trisections-Jäger
Die Aufgabenstellung zur Dreiteilung des Winkels kann einfach verstanden werden und ist damit  auch Amateuren zugänglich. So suchen Amateure trotz mathematisch bewiesener Unmöglichkeit einer Winkeldrittelkonstruktion weiterhin nach klassisch konstruierten Lösungen. Was sie vorzeigen bezeichnen sie oft auch als  exaktes Verfahren eines konstruierten Berechnens. Ihre Näherung nennen sie oft besonders effizient. Hier kommen  Trisektions-Jägern ins Spiel, welche die falschen Winkeldreiteilungen der Amateure aufdecken und  hier und da  auch etwas belustigende  Beurteilungen zu den Lösungsversuchen abgeben. Alles   mündet darin, daß wegen der "Unmöglich-Beweise"   alle  vorgezeigten Versuche ohne einzenle Nachprüfung mit falsch abgetan werden.   Es werden sogar Fahndungshinweise   gegeben, woran   naive und uneinsichtige Trisezierer  und Kreis-Quadrierer zu erkennen sind und wie  man  durch   Nichtbeachten  mit ihnen umgeht. Hier fällt auf, daß   bei den Trisections-Jägern   auch die klassisch konstruierten exakten Lösungsverfahren, wie das Parabel-Winkeldritteln von   Descartes und das Halbierungs-Winkeldrtteln von Fialkowski   unbetrachtet und unbeachtet bleiben.  So werden bis heute konstruierte Grenzprozeß-Verfahren nicht erfoscht, wohl auch wegen der Erwartung, daß  praktikable Genauigkeitsergenisse  erst nach nahezu endlos vielen Schritte erreicht werden.
 
Was wirkt sich  noch auf das Verständnis zu konstruierten Grenzprozesse aus?
Die im  Wikipedia-Lexikon praktizierte  Sichtweise, die Neusis-Konstruktionen  als exakte vollständigen Lösungsweg zu betrachten,  übertragen wir auch auf unsere "klassisch konstruierte" Kreuzschleifen-Winkeldreiteilung. Den letzten notwendigen  Schritt bis zum exakten Ergebnis vollziehen wir nun auch, wie bei den bekannten originalen Neusis-Prozessen,  gedanklich. 
Wir erkennen auch, den Rechenoperationen des Teilens geht immer erst ein entsprechendes Verfielfachen voraus. Eines das quasi die Zielgestalt erzeugt, wie auch bei den Teilungen mit dem Strahlensatz.  
Die heute praktizierte Beschränkung auf Winkeldrittelkonstruktionen mit nur endlich vielen Schritten ist nicht zu rechtfertigen, denn   eine solche Beschränkung gibt es nicht für das  algebraisch-arithmetischen Berechnen der   Dezimalzahl-Darstellung 0.333...!
Als Grund für die fefoderte Beschränkung wird oft angeführt, daß das Teilen  eines Winkels durch 2 oder 4 usw.  mit einer endlichen Sequenz  konstruierter Objekte doch möglich sei. Deshalb könne doch erwartet werden, daß auch das Dreiteilen eines Winkels mit einer endlichen Sequenz konstruierter Objekten möglich sein müsse.
Der  im Jahre 1837 vom französischen Mathematiker Pierre Wantzel (1814-1884) veröffentlichte Beweis zur Unmöglichkeit der Dreiteilung des Winkels verbessert hier die Situation nicht wirklich. Die  wanzelsche Beweiseinsicht ist, die erwartete Ergebnisgröße könne  keine konstruierbare Zahl sein.  Richtig. Aber warum ein mit Kreis und Gerade-Objekten konstruierter Lösungsweg, wie immer er auch gestaltet sei, immer nur falsch sein könne und kein gesetzmäßiges Konvergieren  zum exakten Ergebnis möglich sein soll, bleibt unbetrachtet?
 
Die Problematik des  fehlerbehafteten  Größen-Darstellens einer beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße  ist von allgemeiner Natur und trifft daher auch auf die anderen beiden klassichen Aufgabenprobleme der antiken Geometrie zu. Die häufig zitierten  Näherungskonstruktion für das Kreisverhältnis π  von Adam Kochanski (1631-1700) erreicht  nach einer endlichen Sequenz  konstruierter  Kreis- und Gerade-Objekte  eine Ergebnis-Genauigkteit mit 4 wahren dezimalen Nachkommastellen. Diese  Näherungsgenauigkeit kann durch mehr konstruierte Objekte  zu keiner höheren Ergebnisgenauigkeit  für die Kreiszahl gelangen.
Für das vollständige Abbild des Kreisverhältnisses π hat die Mathematik  die Kreiszahl als Idee erfunden. Ihr wird gleichfalls wie dem Kreisverhältnis das abstrakte  Buchstabensymbol π zugewiesen. Tatsächlich kann es hier aber immer nur eine digitalisierte Größe  Kreiszahl  πZahl.   geben, welche die exakte Größe des Kreisverhältnisses π  mit der Darstellungssystematik der Dezimalzahlen immer nur unvollständig  abbildet.    Deshalb ist es nicht ganz korrekt, wenn  folgendes   Gleichsetzen vorgenommen wird:    
Kreisverhältnis  π = Kreiszahl  =  πZahl.     
Zutreffender  wäre es hier,  
Kreisverhältnis πgenähert  = Kreiszahlgenähert  πZahl   
oder   
Kreisverhältnis π  = Kreiszahl  π∞      
zu schreiben.
Zu weiteren Erklärungen zur Problematik "Alles ist Ansichtssache" und   konstruierte  Grenzprozesse  wird   auch auf den Disput unter https://www.matheboard.de/archive/596651/thread.html verwiesen.
 
 
 
 
 
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