Cohaerentic - Exaktes Winkeldritteln

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Winkeldritteln mit Zielgestaltkohärenz

1. Grundgedanke

In der cohaerentischen Geometrie wird erkannt, dass eine exakte Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal nur durch konstruierte Grenzprozesse möglich ist.
Die klassische Beschränkung Euklids (ca. 330 v.u.Z.) auf nur endlich viele gezeichnete Objekte wird dabei verlassen. Stattdessen werden theoretisch unendliche Grenzprozesse zugelassen, die ein tieferes Verständnis geometrischer Zusammenhänge eröffnen.

Diese Vorgehensweise wird auf die drei klassischen Konstruktionsprobleme der Antike angewendet:

Winkeldritteln
Quadratur des Kreises
Volumendoppelung des Würfels

Bereits kurze, endliche Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten liefern dabei in der Praxis Genauigkeiten, die allen Anforderungen genügen.

2. Zielgestalt-Konstruktionen

Aus historischen Neusis-Konstruktionen werden in der cohaerentischen Geometrie tiefere Gemeinsamkeiten abstrahiert.
Die zentrale Idee: Zielgestalt-Konstruktionen arbeiten mit einem gegebenen Winkel α und dessen Vielfachen (z. B. 3α).
Durch rückwärts gerichtete Betrachtung ergibt sich eine Kohärenz zur gesuchten Drittelgröße.

Erkennungskriterium:

Ein charakteristischer Streckenzug im Kreis aus vier aufeinanderfolgenden Segmenten, wobei die 1. und 3. sowie die 2. und 4. Strecke jeweils parallel sind.

Vorgehensweise:

Drehung der Lösungsgestalt um den Scheitelpunkt des zu drittelnden Winkels.
Ziel ist die Gestalt-Übereinstimmung mit der Zielgestalt.
Bei Erreichen der zweifachen Parallelität ist der Drittelwinkel gefunden.

3. Kreuzschleifenbalken-System

Eine verallgemeinerte Zielgestalt ist der Kreuzschleifenbalken, dessen Länge dem Durchmesser des Grundkreises entspricht.
Er gleitet mit seinen Endpunkten auf den orthogonalen Achsen X und Y, während sein Mittelpunkt M den Grundkreis beschreibt.

Der zu drittelnde Winkel wird durch eine grüne Radiusstrecke markiert.
Die Drehung des Kreuzschleifenbalkens stimmt stets mit der Drehung dieser Radiusstrecke überein.
Für alle Quadranten gilt: Ziel ist die kongruente Überdeckung von Lösungsgestalt und Zielgestalt.

Zum tieferen Verständnis tragen noch vier weitere Bilder bei. Hier markiert die blaue Radiusstrecke die zu drittelnden Winkelgröße und die grüne Radiusstrecke den gesuchten Drittelwinkel. Der 3-er Zusammenhanng ist hier anhand der beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke (rot und grün) anschaulich nachvollziehbar.

4. Abgrenzung zu Archimedes

Im Unterschied zur historischen Neusis-Konstruktion von Archimedes (287–212 v.u.Z.) erfolgt die notwendige Bewegung hier rein durch Drehung, nicht durch eine Kombination aus Drehung und Verschiebung.

5. Rolle der Grenzprozesse

Euklid erwähnte in den Elementen keine konstruierten Grenzprozesse – vermutlich eine Ursache, warum diese Ansätze in der späteren Literatur fehlen.
In der cohaerentischen Geometrie jedoch:

Grenzprozesse sind unabdingbar.
Mit jedem Zyklus nähert sich die Konstruktion dem exakten Drittelpunkt.
Bereits mit 4 konstruierten Objekten lassen sich 4 korrekte Nachkommastellen erreichen.
Mit 14 Objekten liegen die Abweichungen im subatomaren Bereich (> 20 Nachkommastellen).

6. Kritik am „Unmöglichkeitsbeweis“

P. Wantzel (1837) zeigte, dass eine Winkeldrittelung mit endlich vielen Kreis- und Geradenkonstruktionen nicht möglich ist, da hierfür Gleichungen 3. Grades gelöst werden müssten – was klassisch nicht möglich ist.
Die cohaerentische Sicht präzisiert jedoch:

Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für Konstruktionen auf Basis endlicher Gleichungssysteme 3. Grades.
Grenzprozesse umgehen diese Einschränkung, da sie auf Annäherung statt auf einmalige exakte Konstruktion setzen.

7. Effizienz statt Endlichkeit

Die antike Forderung nach einem exakten Ergebnis in endlich vielen Schritten wird ersetzt durch die Forderung nach hoher Effizienz.
Das Ziel ist ein praktisch exaktes Resultat mit minimalem Konstruktionsaufwand.

8. Mehrfache Winkeldrittelungen

Es lassen sich auch gesetzmäßige 3er-Winkelkohärenzen im Viertel-, Halb- und Vollkreis darstellen.
Diese Kohärenzsysteme stärken die Überzeugung, dass das klassische Winkeldritteln durch konstruierbare Systeme möglich ist.

Falls du magst, kann ich den Text zusätzlich in eine leicht verständliche, populärwissenschaftliche Version umschreiben, die auch Laien anspricht – oder in ein knappes, wissenschaftliches Abstract für eine Publikation.
Möchtest du, dass ich diesen nächsten Schritt mache?

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Winkeldritteln mit Zielgestaltkohärenz

Im Rahmen der cohaerentischen Geometire wird erkannt, daß das mit einer Sequenz von Kreis und-Gerade-Objekten konstruierte Winkeldritteln unabdingbar nur mit konstruierte Grenzprozesse gelöst werden kann. Dazu wird die von Euklkis (ca. 330 v.u.Z) in seinem Werk ELEMENTE praktizierte willkürlikche Beschrängkung auf nur endlich viel gezeichnete Objekte verlassen. Mit den klassich konstruierten, theoretisch endlosen Grenzprozessen wird das Verständis für grundlegende Zusammenhänge in der Geometrie erweitert. Die wird deutlich an den cohaehentischen Lösungsrealisierungen mit konstruierten Grenprozessen, welche zu den drei klassichen Konstruktionsproblemen der Antike, das Winkeldritteln, die Quadratur des Kreises und die Volumendoppelung des Würfels.betrachtet werden.

. Überraschend ist, daß insgesamt dabei bereits mit kurzen endlichen Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte zu Ergebnissen gelangt wird, welche bereits mit geringen Ausfwand alle in der Praxis vorkommenden Anfoderungen an die Genauigkeit erfüllen.

Aus der historischen Fachliteratur sind unterschiedlichen Ausprägungen überlieferter Neusis-Konstruktionen bekannt, auch zum Winkeldritteln. Bei diesen erkennen wir gemeinsame tiefer liegenden Zusammehänge und abstrahieren daraus, es wird mit Kohärenzmodellen gearbeitetm die wir Zielgestalt"-Konstruktion nennen. Diese Zielgestalt-Konstruktionen weisen immer einen gegebenen Winkel α und vervielfachte dazu auf, z.B. 3α.

Bei rückwärts gerichteter Betrachtung gibt es somit auch eine Kohärenz zur abgeleiteten Winkeldrittelgröße. Die Lösungsgestalt-Konstruktion für das gesuchte α ist am Ziel, wenn sie mit der Zielgestalt in konformer Gestalt-Übereinstimmung gebracht ist. Wie das funktioniert, zeigt das nächste Bild mit einer Zielgestalt-Konstruktion, die einen besonderen, schwarz gezeichneten Streckenzug aufweist, welcher das Erkennungskritrium zur angestrebteb Gestalt-Übereinstimmung ist. Dieser Streckenzug besteht aus vier aufeinander folgenden Strecken in einem Kreis, wobei jeweils zwei Strecken zueinander parallel sind. Die erste Strecke ist es zur dritten und die zweite ist es zur vierten Strecke..

Die cohaerentische Lösungsgestalt-Konstruktion zum Winkedritteln ist somit durch entsprechende Drehung im Punkt des zu drittelnden Winkels am Ziel, wenn ihre Gestalt mit der Zielgestalt übereinstimmt. Dies ist der Fall, wenn im Streckenzug die erste und dritte schwarze Strecke und die zweite und vierte schwarze Strecke zueinander parallel sind. Erreicht wird die Annäherung der Lösungsgestalt-Konstrution indem der vom Punkt D₁ des zu drittelnden Winkels ausgehende Strahl D₁M im Punkt D1 am grünen Dreieck gedreht und zwar in Richtung der Zielgestalt. Bei Gestalt-Übereinstimmung ist der angestrebte gedrittelte Winkel erreicht. Der gefundene Zusammenhang endet nicht am ersten Quadranten sondern gilt auch über den vierten Quadranten hinaus, wie es am folgende unteren Bild nachvollzogen werden kann.

Die cohaerentische zielführende Neusisbewegung ist eine reine Drehung und keine kombinierte Bewegung, die als "Drehung" und "Verschiebung ausgeführt wird, wie es bei dem Winkeldrittelverfahren des Archimedes (287-212 v.u.Z.) der Fall ist..

Die cohaerentische Geometrie ermöglicht Zielgestalt-Konstruktionen auch für beliebig große zu drittelnde Winkel. Mit weiterer Abstraktion zur Ziegestalt mit zweifachem parallelen Streckenzug wir zu einer Ziegstalt-Konstruktion gelangt, die wir mit Kreuzschleifenbalken-System bezeichnen. Im folgenden Bild hat der Kreuzschleifenbalken die Größe des Durchmesser vom Grundkreis und gleitet mit seinen Endpunkten auf den orthogonalen Achsgeraden X und Y.

Dabei rotiert der Mittelpunkt M des Kreuzschleifenbalkens um den Ursprungspunkt U, welcher Schnittpunkt der Koordinatenachsen X und Y ist. Der Mittelpunkt M zeichnet dabei als Spurkurve den Grundkreis. Die grüne Radiusstrecke r mit den Endpunkten U und D1 markiert den zu drittelnden Winkel, der von der positen x-Achse bis zur grünen Radiusstrecke reicht.

Besonderes Merkmal unseren Zielgestalt-Konstruktionen mit Kreuzschleifenbalken ist, daß dessen Drehung immer mit der Drehung der Radiusstrecke des Winkedrittels überein stimmt.

Mit den 4 Bildern wird der besagte geoemtrische Winkelzusammenhang für unterschiedlich große zu drittelnde Winkel demonstriert. Der grüne Radiusstrahl UD₁ für den zu drittelnden Winkel liegt hier jeweils in den Quadranten 1 bis 4.

Die notwendige Neusis-Bewegung zum Erreichen der Gestalt-Überdeckung ist hier als eine reine Drehung des Strahls D₁M in Punkt D1 ausgeführt. Strahl D₁M schließt dabei den Kreuzschleifen-Balken, der zwischen Achsgerade X und Y gleitet, ein. Diese Neusis-Drehung ist am Ziel angelangt, wenn die konstruierte Lösungsgestalt mit der Zielgestalt in konkruenter Gestaltübereinstimmung angelangt ist. Dies ist der Fall, wenn besagter Streckenzug die zweifache Streckenparallelität erreicht hat. Simultan dazu hat dann auch die im gedrehten Strahl eingeschlossene Strecke zwischen den Achsgeraden die Größe des Grundkeisdurchnessers erreicht.

Bei den bekannten überlieferten historischen Neusis-Konstruktionen bleibt offen, wie die notwendige exakte Neusisbewegung realsiert wird, sie bleibt ein Gedanke. Anders bei den cohaerentischen Winkeldrittelungen. Hier wird die notwenige Neusisdrehung des in Punkt D1 zu drehenden Strahls D₁M als kostruierter autokonvergenter Grenzprozeß realisiert. Dazu werdenspäter noch die notwendigen Details mitgeteilt.. Aus der Literaturüberlieferung sind diese cohaerentischen Lösungsansätze mit Grenzprozessen nicht bekannt. Ursache ist auch eine von Euklid (ca 330 v.u.Z.) ausgehende "Denkblockade" zu mit Zirkel und Lineal konstruierten Grenzprozessen. Solche fehlen in den Euklids Elementen, von denen eine große Vorbildwirkung ausgeht. Deshalb fehlen sie auch in der späteren Literatur.

Wie wird das Problem der notwendigen unendlich vielen Schritte für Naususbewegung gelöst?

Sind Grenzprozesse aus der Literatur für das Winkeldritteln bekannt? Klassisch konstruierte Grenzprozesse fehlen in den ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Wegen der Vorbildwirkung der ELEMENTE bleiben sie bis heute unbeachtet und nahezu unbetrachtet. So auch für das Winkeldritteln. Sie fehlen daher auch in der Internet - Enzyklopädie Wikipedia. Liegt es an einer geringen Effizienz der Grenzprozeßverfahren? Ist tatsächlich erst nach endlos vielen Schritten, bzw. zu konstruierende Kreis- und Gerade-Objekten, ein brauchbares Ergebnis verfügbar? Im Internet-Lexikon Wikipedia_23.02.2024 lesen wir:

"Was ist Effizienz? Effizienz bedeutet, Dinge „richtig“ zu machen. Das kann bedeuten, dass Sie schneller arbeiten, mit weniger Ressourcen auskommen, große Projekte mit einem geringem Aufwand umsetzen oder umgekehrt, „mehr“ mit „weniger“ schaffen".

Seit dem Jahr 1837, als P. Wantzel seinen berühmten Beweis zur Unmöglichkeit der klassisch konstruierten Winkeldreiteilung veröffentlichte, gilt es als erwiesen, daß es solche nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierten Zusammenhänge nicht geben könne und ihre Betrachtung nur vergeudete Zeit ist. Wantzel erkennt, die Lösung kann nur auf der Basis einer Gleichung vom 3. Grad zustande kommen. Klassiche Kreis-Gerade-Konstruktionen können aber nur Gleichungen vom 2. Grad lösen.

Den heute gelehrten Wissensstand zum konstruktierten Winkeldritteln wird von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammengefasst:

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"

„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."

Um hier nicht aneinander vorbei zu reden, erklären wir erst mal, warum wir mit dem gelehrten Wissensstand nicht zufrieden sind, was uns stört. Hier ist es: Der absolute, unbeschränkte Unmöglich-Anspruch für den kein Geltungsbereich genannt wird. So sollte für, " ...es gibt "keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt", das Folgende präzisiert werden. Unmöglich sind Drittelungslösungen auf der Grundlage von Gleichungssystemen vom 3.Grad, die P. Wantzel als unerläßlich fürs Dritteln sieht und deshalb diese Gleichungen zur Grundlage zu seinem "Unmöglichbeweis" machte. Für uns ist deshalb zum bewiesenen Unmöglich auch immer der konkrete Geltunsbereich zu nennen. Hier, auf der Grundlage der besagten Gleichungssysteme vom 3. Grad ist es mit endlich vielen Schritten unmöglich zum vollständigen Winkeldrittel zu gelangen. Zur Verwirrung trägt hier noch bei, das gelehrt wird, es gäbe wenige besondere Winkel, die mit endlich vielen Schritten gedrittelt werden können. Bei näherer Betrachtung zeigt sich, ihre Winkeldrittel sind nicht das Ergebnis eines Prozesses konstruierten Winkeldrittelns. Sie sind Ergebnis einer unabhängigen Grundkonstruktion. Die 30°-Konstruktion ist nicht abhängig und abgeleitet von 90°. Sie ist quasi eine elementar konsruierbare Grundgröße, wie auch 90° selbst. In der cohaerentischen Gepmetrie wird erkannt, kein Winkel kann mit einer endlichen Sequenz kosntruierter Kreis- und Gerade-Objekte, durch endlich viele Operation vollständig gedrittelt werden.

Sind dafür klassisch konstruierte Grenzprozesse, die im Grundlagenwerk ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.) fehlen, unerläßlich und notwendig? Da kommt die Frage auf, sind sie überhaupt möglich, denn sie fehelen auch heute immer noch? Auch bei Wikipedia fehlen sie? Betrachten wir den Satz "exakter Grenzprozess drittelt Winkel" tiefgehender, wird immer klarer, es handelt sich um einen dynamischen, endlos fortsetzbaren Prozeß, bei dem endlos einem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt zugestrebt wird. Mit jedem weiteren Sequenzzyklus wird die Ergebnisgenauigkeit weiter erhöht. Da drängt sich die Frage auf, führt der konstrierte Grenzprozess tatsächlich zum exakten Ergebnis? Kann man den Schritt um Schritt logisch nachvollziehbarem Zusammenhangen trauen? In der cohaerentischen Geometrie wird im gedanklichen Grenzfall der Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt tatsächlich erreicht.

Gegen die historisch ererbte Erwartung, daß nach endlich vielen Schritten des exakte Ergebnis vollständig dargestellt sein muß, steht auch das Quantisierungsprinzip. Winkeldritteln ist ein endloser Prozeß mit endloser Vervollständigung der zusammmengesetzt dargestellen Ergenisgröße. Die Erwartung der Antike ist eine unerfüllbare Erwartung, und damit eine falsche Erwartung.

Effizenter Grenzprozess drittelt Winkel

Wie effizient ist unser gefundener Grenzprozeß bri der notwendigen Neususdrehung? Die hierzu ausgeführten klassichen Konstruktionen zeigen schon mit eine Gesamtsequenz von vier konstruierten Kreis- und Gerade-Urkurvenobjekten ist das erste brauchbare Zwischenergebnismit 4 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit 14 konstruierten Objekten sind die abweichungen bereits im subatomaren Bereich und umfassen mehr als 20 wahre Nachkommastellen. Das folgene Bild liefert einen Überblick dazu.

Keine Berücksichtigung findet bei Wantzel (1818-184.) die vom berühmten R.Descartes () in seinem Buch "La Geometria" von 1643 veröffentliche endliche Konstruktion zum Winkeldritteln. Heute wird hier als "Unmöglich-Kriterium" angeführt, daß die zur Lösung erforderlichen Punkte der quadratische Parabel im "Ergebnisbereich" nicht und schon gar nicht alle klassisch konstruiert werden können.

Widersprüche tun sich auch dazu auf, dass es einer schon gegebenen quadratischen Parabelkurve gar nicht bedarf. Unser folgendes Bild zeigt, wie die notwendige Parabelpunkte F, E, G rlrmrntar konstruiert werden, durch die dann ein Schmiegungskreis gelegt wird, der die Parabel im Ergebnisbereich annähert. Darüber wird später noch ausführlich berichtet.

Auch bei diesen Grenzprozessverfahren wird mit nur wenigen Schritten zu einer nahezu unendlich kleinen Ergebnisabweichung gelangt. Es ist kein riesiger unendlicher Aufwand erfoderlich, wie er beim "Verfahren der brutalen Gewalt" auftritt. Mit den konstruierten Grenzprozessen wandelt sich die Endlichkeitsforderung aus der Antike zur Forderung nach hoher Effizienz. Mit mit nur wenigen Schritten soll und wird bis zum befriedigend genauen Ergebnis gelangt.

Multifache Winkeldrittel

Hier wird erstmals ein klassisch konstruiertes Kohärenzsystem zu einer gesetzmäßigen 3er-Winkelkohärenz im Viertelkreis, Halbkreis und Vollkreis. Es stärkt die Gewissheit, daß es solche konstruierbare Kohärenzzsysteme auch für das klassisch konstruierte Winkeldritteln gibt. Die ersten beiden Bilder zeigen die Situation des Zusammenhängens von mehrfachen Winkel-Drittelungen (blaue, rote und grüne Kreise auf der Grundkreislinie für den Viertelkreis und den Halbkreis.

Je nach Betrachtung füllen zwei Blöcke ungleicher Winkelgrößen α und β den Viertellkreis aus. Die beiden Winkelgrößen werden in gleiche Winkelgrößen (1/3)α und (1/3)β unterteilt. Obige beiden Bilder sind dazu nahezu selbst erklärend. Die den Halbkreis ausfüllenden zwei Winkelblöcke haben jeweils Sektoren rot, grün und blau und schwach rot, schwach grün und schwach blau. Die Sektoren rot und schwach blau hängen über eine blaue Sehne zusammen, welche den innenliegenden roten Kreis von halber Radiusgröße des Grundkreises tangiert. Das folgende Bild zeigt, wie sich duch Symmetrie die Drittelung auch auch in dem unteren Halbkreis fortsetzt.