Winkeldritteln  mit der Grenzprozess-Methode  von   F i a l k o w s k i

 

Fialkowski nennt seine Winkeldreiteilen durch Halbieren eine Näherung und bleibt damit  "quasi in der amtlichen" Begriffswelt der Mathematik. Tatsächlich geht es hier aber um einen klassich  exakten Grenzprozeß, dessen aktuelle Zwischenergebnisse unbeschränkt dem Grenzpunkt = exakter Winkeldrittelpunkt zustreben. Die Bezeichnung der Mathematik "Näherung" ist hier deshalb  etwas widersprüchlich und weniger zutreffend als der Begriff exakter Grenzprozeß. Bei diesem ist das gedachte exakte Grenzpunkt-Ergebnis = Winkeldrittelpunkt  in Gedanken, sprich theoretisch,  nach  endlos vielen Schritten  erreicht. 

Die Ergebnis-Darstellung ist hier mit endlich vielen Schritten niemals ganz vollständig als Zusammensetzung erzeugbar. Trotzem ist ihr Erzeugungsprozeß ein exakter unbeschränkter Konstruktionsprozeß und kein genähert beschränkter, wie die  häufig zitierte  Streckenkonstruktion des genäherte Kreisverhältnisses π,  die vom polnischen Mathematiker Adam Kochanski (1631-1700) im Jahre 1647  veröffentlicht wurde.

Zum besseren Verständnis müssen wir hier auch das Problem der Quantisierung betrachten. Dazu ist bei Wikipedia _7.11.2024  unter Suchwort " "Quantisierungsabweichung"  zu lesen:

"Die Quantisierungsabweichung oder der Quantisierungsfehler ist die Abweichung, die bei der Quantisierung von analogen Größen entsteht (z. B. bei der Analog-Digital-Umsetzung). Während analoge Signale dem Wertebereich der reellen Zahlen genügen, werden in der digitalen Darstellung nur diskrete Werte verwendet.

Fialkowski erkennt ganz klar, sein Winkelteilen ist quasi ein konstruiertes exaktes  Berechnen, bei dem mit mehr Schritten die Ergebnisgenauigkeit unbeschränkt erhöht werden kann. Er schreibt hierzu:

"Mann kann durch fortgetztes Halbiren  der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".

Leider trägt Fialkowski    selbst  zu einem  schnelles Vergessen seines  erfundenen exakten Winkeldrittel-Grenzprozesses  bei.  Er schreibt hierzu:

"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen  diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Theoriefindung zum Halbierungs-Winkeldritteln 

Bei der   Theoriefindung zum Winkeldritteln nennt  Fialkowski  in seinem Buch auch den  Nikomedes (ca 4.Jhd. v.u.Z.), der  eine Konchiode für das Winkeldritteln  ins Spiel bringt.  Auf Seite 6 seines Buches schreibt Fialkowski  dann:

 

„Wird nämlich der gegebene Winkel in 4 gleiche Theile getheilt, der 4te Theil wieder in 4, der 16te wieder in 4 u.s.w. gleiche Theile getheilt, so hat man:       ...     α (1/4+1/4²+1/4³+ 1/4⁴ + ... ins ∞ ) = α /3“

 

Schliesslich leitet Fialkowski  daraus die  1/3-Reihe " 1/3=1-1/2+1/4-1/8+1/16- ... u.s.w.;"   her und schreibt:

     " ... dies ist nun die Reihe die uns durch Halbierungen auf die Trisection des Winkels führt"

 

Verkürzte Halbierungs-WDT durch nachgeschaltetes konstruiertes  Dritteln

Das  Verfahren von Fialkowski, welches die 1/3-Reihe nutzt, kann um  eine nachgeschaltetes   klassisch konstruiertes  Dritteln verkürzt und damit effizienter gemacht werden. Das folgende  Bild zeigt einen hierfür  genutzten  Zusammenhang.

In aufeinander folgenden Teilrechengängen (Zyklen) werden stufenweise immer genauere Berechnungen ausgeführt. Die elementar konstruierte  Dreiteilungsberechnung kann hier bis ins Endlos fortgetzt werden.

Geometrische Konstruktion als Berechnungsplan  

Als konstruierten Berechnungsplan verstehen wir auch die Sequenz der klassiche konstruierten Kreis- und Gerade-objekte, die durch Wiederholaktionen bis ins Endlose reichende Aktionen beschreiben kann. Die Gesamtheit der  Teilrechengänge sind  als   endloser Grenzprozeß zu verstehen, bei dem  ein Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zugestrebt wird.  Durch ein   hierzu analoge gezeichnetes Prozeßvorgehen kann auch für Kreisbögen bzw. Winkel  zu einem klassisch konstruierten  Grenzprozeß zum Dritteln gelangt werden. Voraussetzung hierfür ist,  der Radius muß viel größer als die Bogenlänge sein. 

Eine real ausgeführte Konstruktion zu einem exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan, denn sie beschreibt alle Schritteaktionen bis ins Endlose vollständig. Möglich wird dies erst mit der   Nutzung von sich wiederholenden Schritteaktionen (Teilsequenzen). Da dieses Fortsetzen theoretisch endlos möglich ist, gibt es keine  Beschränkung, ist unbeschränkt.     Beim folgenden Bild endet das Fortsetzen  schon nach 7 Halbierungen.

 

Beim  nächsten Bild  werden von innen nach außen geometrischen Drittelungen vorgenommen, die mit diagonal gezeichenten Strecken realisiert werden.  Zuerst nach 3 Halbierungen, dann nach  4 und außen nach 5.   

 

 

Beim folgenden Bild erleichtert  die von Innen nach Außen gezeichnet  Zick-Zack-Linie das Nachverfolgen der nacheinander konstruierte Halbierungen. Bei diesem konkreten Bild  gibt es keine nachgeschaltetes  geometrisches  Dritteln. So wird   hier erst nach  11 Halbierungen   eine praktikable Winkeldrittel-Abweichung von  wenigel als   1/1000 Grad erreicht.  

 

 

Zusammefassend schreibt Fialkowski zu seinen Winkeldrittelungen durch Halbieren:

 

"... die Trisection eines Winkels, die direkt durch Kreis und gerade Linie nicht zu erreichen ist, doch ohne etwas anderes, als diese Hilfsmittel zu gebrauchen, so nahe, wie man will zu kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als die kleinste möglicher Weise angebbare Grösse wird, oder als verschwindend zu betrachten ist."

 

Wegen der nur schwachen Konvergenz hält Fialkowski er aber nicht viel von seiner Methode. Er schreibt hierzu: 

„Allein diese Construction hat für das praktische Zeichnen gar keinen Wert; erstens weil man zu viele Halbirungen vornehmen muss, und zweitens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist.“

Die  von Fialkowski vorgezeigte Methode und  noch andere weitere, die mit klassisch konstruierten Grenzprozessen über die  von Euklid vorgezeigten Konstruktionen  hinaus gehen, führt zu  folgender Einsicht. Das im 19. Jahrhundert bewiesene  "Unmöglich" trifft  für elementare Konstruktionen zu, wie sie Euklid versteht.     Konstruktionen, die mit klassisch konstruierten  Grenzprozessen über die von Euklid praktizierten  Beschränkungen  hinaus gehen, liegen somit nicht mehr im Gültigkeitsbereich für das  besagte bewiesene "Unmöglich".  Die von Fialkowski vorgezeigte Methode ist mit ihrem  klassich konstruiertem  Grenzprozess ein exakter Erzeugungsprozess für das Winkeldrittel. Fialkowski war der feine Unterschied  zwischen seinem möglichem exaktem Winkeldritteln und dem unmöglichem exaktem Darstellen des Winkeldrittels bewusst, das mit einer endlichen Sequenz von Kreisen und Geraden bzw, mit einer Notation als Dezimalzahl erfolgen soll. 

 Das vorherige Bild und  auch das nächste   leiten   zu einem Beschleunigen des Grenzprozesses  über. Die Beschleunigung bringen hier   einfach  und mehrfach ausgeführtes   Mitteln,  wie es die  Bilder im Einzelnen zeigen. 

Die gleiche 2/3 und 1/3 Zerteilung wie im Quadrat-Bild links findet auch bei der rechten Kreis-Bildhälfte für einen Winkel von 60° statt. Durch meine hinzugefügte Massnahme zum Beschleunigen der Konvergenz werden bereits nach 8 Halbierungschritten schon  7 wahre Nachkommastellen erzeugt.  Hingegen werden beim originalen Fialkowski-Winkeldritteln mit 11 Halbierungschritten gerade mal 3 wahre Nachkommastellen erzeugt.

Gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, wird nun bereits  nach  nur  8 Schritten des Halbierens  eine erzeugtes Zwischenergebnis vom Drittelwinkel mit  20,0000000° gemessen. Ausgeführt ist diese Urberechnung "Winkeldritteln" mit dem DGS-Programm Geogebra.

Zu  klassisch konstruierten   Grenzprozessen für das Winkeldritteln und zu Massnahmen zum Beschleunigung der Konvergenz  sind bisher keine Forschungen und auch keine Beiträge in  Lehrbüchern bekannt geworden.  

Ein noch genaueres Winkeldritteln

Ausgangspunkt  für den fortgesetzten Rechengang  ist  die zuvor vorgestellte Vorgehensweise mit einer  einfach verbesserten Konvergenz für den  1/3-Grenzprozess. Nun wird auch das Wissen zu den  systematischen Fehlern der erreichten 1/3- und 2/3-Ergebnisdarstellungen, sowie zu den  Symmetriegesetze im Erfahrungsraum hinzu genommen und berücksichtigt.  Als gemessene Grössen stellen sich, wegen   gesetzmässiger Symmetrie, die klassich konstruierten 1/3- und die  2/3 -Ergebnisse mit einem  systematischen Winkelfehler f°  wie folgt dar:

(20°-f°)= 19,999955372318773°

und

(40°+f°)= 40,0000446276812°

Mit dem blauen Kreis wird die Drehung 19,999955....° verdoppelt und ergibt 39,99991074463748°=(40°-2f°). Um zum erwarteten Ergebnis 40° zu gelangen muss nun der Drehungsabschitt von (40°-2f°) bis (40°+f°) noch einmal dreigeteilt werden. 

Geschieht dies mit der bekannten Vorgehensweise (Bild, wie es die Vergrösserung im vorherigen Bild zeigt, wird insgesamt schon nach wenigen Schtitten ein Ergebnis erreicht, das mehr als 15  wahre Nachkommastellen "Null" aufweist. Vom PC wird die gemessene, zuvor berechnete  Drehungsgrösse mit 40° angezeigt, was ausführlich dargestell 40,000000000000000° bedeutet. Theoretisch kann mit mehr Rechenaufwand dieses genaue Ergebnis natürlich immer   weiter verbessert werden, da dafür ein vollständiger und exakter Konstruktionsplan (=Rechenplan) bekannt ist.

Diese hier vorgezeigten Rechengänge zum Winkeldritteln (WDT) sind besser zu verstehen, wenn  diese Schritt um Schritt  nachgezeichnet und dabei ihre Sinnfälligkeit nachvollzogen wird.

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