Kreisverhältnis mittels cohaerentisch konstruierter Grenzprozesse
1. Einführung
Für Lernende und Laien stimmen elementare, cohaerentische Berechnungslonstruktonen, ohne Zahlen und nur nur mit Kreis- und Gerade-Objekten ausgeführt, oft mit ihrem Alltagsverständnis überein. Heute lassen sich solche cohaerentisch Konstruktionen besonders gut mit Computerprogrammen wie GeoGebra darstellen. Dabei wird – wie früher mit Zirkel und strichlosem Lineal – ausschließlich aus Kreisen und Geraden eine Abfolge (Sequenz) von Objekten konstruiert, die geometrisch-mathematische Zusammenhänge Schritt für Schritt bildhaft sichtbar, Logisch nachvollziehbar macht, ohne daß dabei Zahlen im Spiel sind.
Die vom Computer gezeichneten Kurven sind in Wirklichkeit nur dicht gesetzte Punkte. In der Vorstellung und auf dem Bildschirm wirken sie jedoch als zusammenhängende „Spurkurven“.
2. Cohaerentisch konstruierte Punkte
Pünkte sind hier meist Schnittpunkt zweier sich schneidender Linien (z.B. x- und y-Achse). Weitere Punkte entstehen als klassisch konstruierte Schnittpunkte. In der Mathematik werden solche Punkte als konstruierbare Zahlen verstanden. Eine typische Konstruktion ist eine Rektifikation. Dabei entstehen schrittweise Punkte, die Endpunkte von immer stärker „gerade gebogenen“ gleichlangen Kreisbögen sind. Diese Punkte streben mit dem Grenzfall dem exakten Grenzpunkt auf der y-Achse zu. Der Grenzfall-Abstand vom Nullpunkt entspicht exakt der Länge des Kreisumfangs. Die Folge der Zwischenergebnispunkte ist endlos fortsetzbar; wobei der Abstand zwischen aufeinanderfolgenden Punkten immer kleiner wird. Im gedachten Grenzfall wird der Abstand Null erreicht..
3. Grenzen klassischer euklisischer Konstruktionen
Für die Verhältnisgröße 2 𝜋 = Kreisumfang / Kreisdurchmesser gibt es keinen letzten Punkt und damit keine vollständig diskrete Darstellung mit endlich vielen Konstruktionsschritten. Das führt bei euklisicher Konstruktion zu einem grundsätzlichen Widerspruch:
- Einerseits verlangt man ein endgültiges Strecken- bzw. Zahlenergebnis.
- Andererseits liefert die eukliische Konstruktion nur ein nicht vollständig zusammegesetztes Ergebnis.
- Die Menge der konstruierbaren Punkte füllt eine ebenes Objekt niemals lückenlos aus – selbst bei beliebig vielen Schritten bleiben immer Abstände.
4. Nicht konstruierbare Zahlen
Ein beliebig platzierter Punkt in der Ebene kann nicht exakt durch eine klassische Konstruktion erzeugt oder ausgemessen werden. Solche Punkte entsprechen nicht konstruierbaren Zahlen.
Dies betrifft auch berühmte Probleme wie die euklidische:
- Winkeldrittelung
- Quadratur des Kreises
- Würfelverdopplung
Oft wird „Unmöglichkeit“ so interpretiert, als gäbe es keinerlei exakten, sondern bloß genäherte Konstruktionsprozesse. Das ist irreführend: Für exakte Grenzprozesse kann formuliert werden,
daß deren Ergebnisse sich beliebig genau annähern lassen und mit nur endlich vielen Schritten immer nur unvollständig dargestellt werden.
5. Cohaerentisch konstruierte Grenzprozesse
Definition: Eine klassisch konstruierte Folge von Punkten (Schnittpunkten), die sich gesetzmäßig (autokonvergent, ohne Probieren) einem Grenzpunkt in Abstand, Drehung oder Lage annähert.
Beispiele:
- Rektifikation des Kreisbogens zur Bestimmung von π.
- Abrollen des Kreisbogens zur Bestimmung von π.
- Winkeldrittelung durch autokonvergente Prozesse ohne probierende Schritte im Ablauf.
Solche konstruierte Grenzprozesse sind nicht in Euklids Elementen enthalten. Auch in heutigen Lehrbüchern oder auf Wikipedia finden sich dazu kaum Einträge. Die euklidische Tradition hat zu einer gewissen „Betrachtungsblockade“ geführt.
6. Vergleich zu Zahlen-Grenzprozessen
In der modernen Mathematik werden Grenzprozesse fast nur als Folgen von Zahlen beschrieben (Reihen, Produkte, Funktionen). Die cohaerentische Geometrie erweitert diesen Blick und zeigt: Grenzprozesse können auch rein geometrisch ausgeführt werden, ohne Zahlen und symbolisches Rechnen, nur mit Zirkel und Lineal.
Beispiele:
Rektifikation des ganzen Kreisbogens zur Bestimmung von π.
Zwei simultan gezeichnete Grenzprozesse biegen den gesamten Kreisumfang (rot und schwarz) exakt gerade.
Die Summe der beiden Längen bleibt konstant, egal wie der Radius gedreht wird. Das nächste Bild ziegt den konstrueirten Grenzprozess noch etas mehr im Detail.
Die Kreisbogenlänge bleibt erhalten, wenn zu vorher der Restwinkel bis zur Y-Achse halbiert und derKreisradius verdoppelt wird.
Dynamische Konstruktion des Kreisverhältnisses
Abrollen des halben Kreisbogens zur Bestimmung von π.
Gezeigt wird hier ein cohaerentisch konstruierter Grenzprozess, der das im Erfahrungsraum gesammelte geoemtrische Kohärenz-Wissen nutzt. Es überrascht, was schon mit geringe Eckenanzahl erreicht wird. Deshalb wird mit Vielecken von minimaler Anzahl der Ecken begonnen. Schon damit kann das Ende der Abroll-Streckenlänge für den Halbkreisumfangs als Grenzpunkt/Grenzwert-Ergebnis erzeugt werden. Wesentliche Lösungsgrundlage ist hier die Kontinuität geometrische Kohärenzen, sodaß mit Kruvenfortsetzung gearbeitet werden kann. So schneidet im Ergebnisgebiet (nahe Endlos, nahe Unendlich) die als Kreiskurve kontinuierlich fortgesetzte Kohärenzkurve die Mittelpunktlinie des Abrollkreis, welche parallel zur Abrolllinie verläuft.. Das vorgezeigte anschaulich bildliche Kohärenzsystem macht die gesetzmäßigen Zusammenhhänge des Vieleck-Abrollens, das bis hin zum Kreis relisiert werden kann, nachvollziebar.
7. Konsequenzen für „unmögliche“ Konstruktionen
Die obigen Bilder zeigen, dass das klassisch exakte Geradebiegen eines Kreisbogens bzw. sein Abrollen prinzipiell möglich ist. Die vollständige Quantisierung (numerische Darstellung) der Kreisbogenlänge ist vom Prinzip her ohne Ende. Sie endet real aber immer nach endlich vielen Schritten und einen prinzipiellen Ergebnisfehler, der mit mehr Schritten immer mehr abnimmt. Dies trifft für Aufgaben zu, wie:
- Abrolllänge eines Kreises
- Rektifikation des Kreisbogens
- Flächenberechnung von Kreisen und Segmenten
- Winkeldrittelung usw,
Cohaerentisch konstruierte Grenzprozesse sind hier eine geeignete nachvollziehbare Lösungsmethode.
8. Fehlende Überlieferung
Lexika und Internetquellen führen „klassisch konstruierte Grenzprozesse“ kaum auf. Die historische Entwicklung konzentrierte sich auf numerische Grenzprozesse.
Schon Antiphon (5. Jh. v. u. Z.) hatte erkannt, dass das Kreisverhältnis π zwar exakt definierbar, aber nicht vollständig als zusammengesetzte Größe darstellbar ist.
Hilbert nahm wie Euklid keine geometrisch konstruierten Grenzprozesse in seine Werk "Grundlagen der Geometrie" auf. Dadurch haben sie bis heute einen geringen Stellenwert in der akademischen Mathematik.
9. Transformation von Rechengrößen
In der cohaerentischen Geometrie werden Rechengrößen als Verhältnisse von Ausdehnungen betrachtet:
- Streckenverhältnisse
- Bogenverhältnisse
- Drehungsverhältnisse
Wichtig ist die Transformation zwischen diesen Arten, z. B. Drehung ↔ Strecke.
Die zentrale Rechengröße ist das Kreisverhältnis 𝜋 = gestreckte Kreisumfanglänge / Kreisdurchmesser
Die numerische Annäherungen πZahl ist vom jeweils aktuell geometrisch konstruierten Kreisverhältnise πgeo abgeleitet.
10. Zusammenfassung
Cohaerentisch konstruierten Grenzprozesse liefern exakte geometrische Zwischenergebnisse, sind endlos fortsetzbar und ermöglichen Lösungen „unmöglicher“ Aufgaben in gezeichneter bildhaft nachvollziehbaren Konstruktionen. Sie wurden historisch vernachlässigt. Sie eröffnen neue Perspektiven für die Grundlagen der Geometrie.
Die Cohaerentic-Methode schließt hier eine Lücke, indem sie elementare, rein geometrische Rechenprozesse formalisiert und zeigt, wie fundamentale Größen wie π als durchgehend konstruierte Strecken aus Grenzprozessen hervorgehen können.
Damit rückt wieder in den Blick, dass Geometrie nicht nur statische Figuren, sondern auch dynamische, unendliche Prozesse umfasst – und dass diese Prozesse für das Verständnis von Maß, Verhältnis und Form ebenso grundlegend sind wie Zahlenfolgen in der Analysis.
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Phönomen - Autokonvergente Grenzprozesse zum Winkedritteln
a) Cohaerentisch konstruierte Grenzprozesse
Sie sind klassisch konstruierter Folgen von Schnittpunkten, die einem geometrischen/r Grenzpunkt /Grenzwert /Grenzlage von Abständen, Drehungen und Translationen zustreben. Das folgende Bildbeispiel zum Winkeldritteln
zeigt meinen erfundenen, klassisch, mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten gezeichneten Grenzprozess. Sein Grenzpunkt des gedanklichen Grenzfalls markiert das exakte Winkeldrittel im Gesamtsystem der Winkelkohärenzen. Es handelt sich hier um einem autokonvergenten Grenzprozess, bei dem im Prozessverlauf keine prozessbeeinflussenden Entscheidungen für Probierschritte getroffen werden müssen.
b) Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen
Hier sind die Rechengrössen, das sind endlos viele Zahlen, mit elementaren Rechenoperatoren verknüpft. Bei den unendlichen Reihen dominieren die Operatoren „Plus“ und „Minus“. Bei den unendlichen Produkten sind es die Operatoren „Multiplikation und „Division“.
Heute werden beim Recherchieren nach Grenzprozessen und ihren Grenzwerten nur solche gefunden, deren Zusammenhänge Funktionen und Zahlen betreffen. Wir wissen bereits, der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat endlose Prozesse nicht in sein richtungsweisendes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen, obwohl seit Antiphon und Dinostratos (beide 5.Jh.v.u.Z.) schon Wissen zu endlosen Rechenprozessen bekannt war. Für gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen werden wir nun abweichend zur euklidischen Tradition auch endlose, elementar mit Kreis- und Gerade- Objekten konstruierte Berechnungsprozesse betrachten. Mit dem anderen Paradigma der Cohaerentic wird über die euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen, wie sie aus den Konstruktionen in den ELEMENTEN gefolgert werden können.
Beim nächsten Bild wird quasi mit zwei simultan gezeichneten Grenzprozessen, die gesamte Kreisumfangkurve (rot und schwarz) gerade gestreckt. Anhand eines späteren Videos wird es gut nachvollziehbar, dass die gestreckte Länge des Kreisumfangs als Summe von rot und schwarz immer gleich gross ist, unabhängig von der Drehposition der roten Radiusstrecke im Kreis.
Dabei wird mit immer mehr ausgeführten Schritte-Zyklen (Durchmesser verdoppeln und Winkel halbieren) einem Ergebnis als Grenzwert zugestrebt, ohne diesen jemals endgültig zu erreichen. Wir erkennen an diesem Beispiel, Grenzprozesse gibt es nicht nur für Lösungsberechnungen auf arithmetisch-algebraischer Grundlage sondern auch auf der Grundlage erfahrbarer kontinuierlicher räumlischer Kohärenz.
Im mathematischen Sinne verstehn wir eine Folge nun nicht nur als eine Aufzählung von Zahlen, sondern auch ein aufeinander folgendes Erzeugen von Punkten (Schnittpunkten), die als Punktekurve einen Grenzpunkt mit einem Grenzabstand zustreben und so die Merkmale für einen Grenzprozess erfüllen, der als klassisch Konstruktion ausgeführt wird.
Anhand der beiden obigen letzten Bild-Beispiele stellt sich die Frage, ob das dazu heute Gelehrte noch voll zutrifft? Bei Wikipedia steht unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal"/ "Unmögliche Konstruktionen" geschrieben,
"Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden" wozu auch die "Quadratur des Kreises " zählt.
Die obigen beiden Bilder stehen in einem gewissen Widerspruch zu dieser allgemein akzeptierten Einsicht. Diese Bilder demonstrieren ein klassich konstruiertes Geradebiegen des Kreisbogens bei gleicher Länge. Dieses Wissen ist eine Vorassetzung, um die Quadratur des Kreises als dynamische klassische Konstrktion ausführen zu können. Das Geradebiegen wird mit einem exaktem klassisch konstruiertem Grenzprozess ausgeführt und mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis - und Gerade-Objekte realisert. Hier handelt es sich um einen exakten klassischen Konstruktionsprozess bei dem das erzeugte Ergebnis "Kreisbogenlänge" der erwarteten Grenzwert-Grössse mit mehr aufgewendeten Schritten immer mehr zustrebt. Die Schritt um Schritt fortschreitende exakte Konstruktion ist tatsächlich sinnfällig nachvollziehbar. "Unmöglich" ist hingegen, eine vollständige Darstellung der zusammengesetzten Ergebnisgrösse, wie sie bei den notwendigen endlosen Grenzprozesses vom Prinzip her auftreten.
Für folgende Uraufgaben sind gezeichnete Grenzprozesse für die gezeichneten Lösungsberechnungen erforderlich:
- Abroll-Länge vom Kreis,
- Länge des gerade gestreckte Kreisbogen (Rektifikation),
- ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)
- Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung
- Verhältnis-Transformation Strecke<->Kreisbogen
Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte Grenzprozesse, die durch eine verbesserte Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.
Überlieferungs-Situation zu klassich konstruierten Grenzprozessen
Die Suche in Lexika und auch im Internet nach klassich konstruierten Grenzprozessen liefert kein direktes Ergebnis. Hingegen gibt es viele Treffer für Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen. Etwas näher dran ist da ein Annähern der Kreisfläche mit Grenzprozessen (https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie_II/sicher_geoII_06_07/Kapitel_2_06-07.pdf). Hierbei kann aber von einem klassich konstruiertem Grenzprozess keine Rede sein. Insbesondere wird da keine gezeichnete Ergebnisgrösse als Strecke erzeugt, die zweifelsfrei das Verhältnis π bildlich abbildet (π=gestreckter Kreisumfang /Kreisdurchmesser = Kreisfläche / Quadratfläche über dem Radius). Dabei wird sich für das Berechnen der Kreiszahl πnum im Rahmen des bekannten und heute gelehrten Wissens bewegt.
Das elementar gezeichnete Kalkulieren mit einem konvergentem Grenzprozess, der einem Grenzwert zustrebt, ist wie eingangs schon angesprochen, vom Prinzipiellem her mindestens seit dem griechischen Sophisten Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) angedacht. Man erkannte, das gezeichnet berechnete Verhältnis πgeo und sein abgeleitetes πnum sind zwar exakt berechenbare, aber nur unvollständig zusammensetzbare Ergebnisgrössen.
Mit der veränderten Sichtweise für die Cohaerentic-Kalkulationen wird der klassich konstruierte Grenzprozess des Antiphon als ein elementares exaktes Berechnen der Kreisfläche verstanden. Hierzu gibt es keine Alternative eines noch elementareren Berechnens. Die Ergebnisdarstellung als Rechteckfläche bildet den Grenzwert Kreisfläche mit immer mehr Aufwand beim Berechnen immer genauer ab. Die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung ist an den Umfang der hierfür geleisteten Schritte gebunden.
Seit Alters her bis heute ist aus esoterischen, religiösen und noch anderen Erwartungen heraus das Interesse an diskret darstellbaren Zahlen grösser als an den zwischenliegenden, nicht diskret als Zahl dastellbaren Positionen. Eine solche zwischenliegende, nicht endgültig diskret darstellbare Rechengrösse ist auch die Verhältnisgrösse π=Kreisumfang/Durchmesser.
Für Hilbert (1864-1943) waren Berechnungen mit klassich konstruierten Grenzprozessen offenbar ein Problemfeld von geringer Bedeutung. Daher hat auch er, wie Euklid, sie nicht in sein grundlegendes Werke "Grundlagen der Geometrie" aufgenommen. Klassich gezeichnete Grenzprozesse haben bis heute in der Mathematik keine hohe Bedeutng erlangt. Es fehlt das breite Interesse daran, was fehlende Beiträge in Lehrbüchern, und heute auch im Internet, belegen.
Mit den gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen rücken nun auch Uraufgaben des Berechnen in den Blickpunkt des Interesses, deren Lösungen klassich konstruierte Grenzprozesse erfordern.
Mit konstruierten Grenzprzessen grundlegende Transfomatonen berechnen
Bei Cohaerentic Kalkulationen wird mit dem Begriff "Rechengrösse" gearbeitet. Im Erfahrngsraum ist eine Rechengrösse ein Verhältnis von Ausdehnungsobjekten gleicher Art. Strecken als Rechengrössen-Verhälrnis ist etwas anderes als , oder auch ein Kreisbögen bzw. eine Drehung als Rechengrößen-Verhältnis. Von besonderer Bedeutng ist hier das Umrechnen, die Transformation von einer Art von Rechengrösse-Verhältnis in eine andere Art, beispielsweise von einem Drehungen-Verhältnis auf ein Strecken-Verhältnis und umgekehrt.
Natürliche Verhältnisse und Zahl-Verhältnisse
Während jede Zahl ein Verhältnis ist, kann kein beliebig gegebenes Verhältnis durch eine Zahl ohne Restfehler abgebildet werden. Mit mehr investiertem Rechenaufwand (Aufwand zur Digitalisierung) kann der verbleibende Restfehler immer kleiner gemacht werden.
Eine der wichtigsten Rechengrößen ist das Verhältnis π = gestreckte Kreisumfanglänge / Kreisdurchmesser. Genäherte numerische Abbilder des Kreisverhältnisses werden mit Näherungs- Kreiszahlen πZahl. dargestellt, Die gesuchte elementar konstruiert berechnete Abbildgröße ist der rektifizierte Halbkreisbogen ist als Strecken-Verhältnis πgez.(Siehe Abschnitt Kreisverhältnis.. Die gezeichneter Kohärenzsysteme der folgenden bilder zeigen nachvollziehbar, wie Verhältnisse von Drehungen und systenkohärenten Verhältnissen von Strecken zusammen hängen. An den folgenden Bildern ist zu erkennen, bei den rot-lin- Transfomationen kommen schnell konstruierte endlose Grenzprozesse ins Spiel, insbesondere solche mit den Oparationen Doppel und Halbieren.
Bogen im Verhältnis teilen
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Sequentiell konstruierte Grenzprozesse modellieren höhere Rechenprozesse
Überblick
Neben den bekannten Grenzprozessen, die sich inhaltlich mit Umwandeln periodischer Zahlen in Brüche und reinperiodisch und gemischtperiodische Folgen, Rekursionen, sowie Strategien zur Grenzwertbestimmung befassen, gibt es die bei Euklid (ca.330 v.u. Z.) und bis heute unbetrachtet gebliebenen klassisch konstruierten Grenzprozesse, welche inhaltlich insbesondere auf das Berechnen der Länge von gerade gestreckten Kreisbögen, auf die Kreisfläche und auf elementare rotorisch <—> translatorische (rot-lin) Transformationenen gerichtet ist. Diese zweite andere Art von Grenzprozessen werden wir hier betrachten.
Historischer Abriß
In dem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE des Euklid um 330 v.u.Z.), das eine Sammlung mathematischen Wissens aus dem dem antiken Griechenland ist und auch später um das Jahr 1900 sind in Hilbert´s "Grundlagen der Geometrie" keine klassische Konstruktionen mit Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte aufgenommen, bei denen einem Grenzpunkt unbeschränkt zugestrebt wird. Hier ist zu fragen, warum fehlen diese konstruierten Grenzprozesse? Wurden und werden ihnen keine entsprechende mathematische Bedeutung beigemessen?
Bei den heute bekannten numerischen Berechenprozessen mit Grenzprozessen, wie mit der Reihe
x = 1/2+1/4+1/8+1/16+---=2, sind die modellhaften Rechengrössen keine geometrischen Ausdehnungsgrößen sondern "
Zahlen" (
https://www.mathe-online.at/mathint/grenz/i.html). Hier, bei den
Cohaerentic-Betrachtungen werden nun auch klassisch konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekte betrachtet, die eine endlose Punkte-Folgen erzeugen. Dieses "klassich konstruierte" Vorgehen erzeugt
klassisch konstruierte Grenzprozesse. In dem berühmten Sammelwerk ELEMENTE von
Euklid (ca 330 v.u.Z.) werden keine solchen
klassisch konstruierter Grenzprozesse für das Lösen der drei klassischen Aufgaben,
Winkeldritteln, Quadrattur des Kreises und Würfeldoppelung, betrachtet. Auch in der Zeit danach sind in der Fachliteratur keine Überlieferungen dazu zu finden. Zu diesen besagten klassisch konstruierten Grenzprozessen wurde und wird bis heute nicht geforscht.
Die Cohaerentic-Betrachtungen sind hier auf klassisch konstruierten Grenzprozesse gerichtet, deren erzeugten Schnittpunkte-Folgen jeweils einem Grenzpunkt unbeschränkt zustreben. . Zu solchen konstruierten Grenzprozessen gibt es in Lehrbüchern und damit auch in den Lexika zur Mathematik keine Beiträge.
"Grenzprozesse (Grenzübergänge) und der Begriff des Grenzwerts (Limes) dienen dazu, das Unendiche in den Griff zu bekommen. Sie sind Errungenschaften der modernen Mathematik. Ihr Trick besteht darin, die Vorstellung von "unendlich klein", "unendlich groß" oder "unendlich nahe" als Prozess aufzufassen, bei dem eine Variable "beliebig klein", "beliebig groß" oder "beliebig nahe" zu etwas sind".
Mit den Cohaerentic-Betrachtungen zu den klassisch konstruierten Grenzprozeß- Kalkulationen wird das oben angesprochene Wissen zu Unendlich vervollständigt. Damit werden die im antiken Griechenland angestrebten anschaulichen schrittweise nachvollziehbaren Lösungszusammenhänge für klassischen drei Aufgaben möglich. Mit den erfundenen klassisch konstruierten Grenzprozessen kann das Ermitteln des Winkeldrittels, des Kreisverhältnisses π und der 3. Wurzel aus 2 für die Doppelung des Würfelvolumens unbeschränkt immer genauer konstruiert werden und damit theoretisch auch endlos viele wahre Nachkommastellen berechnet und dargestellt werden. Die hierbei erzeugte Folge von Schnittpunkten strebt als exakter Prozeß unbeschränkt seienem Grenzpunkt / Grenzwert zu. Dieser fällt exakt mit dem Punkt zusammen, der das Winkeldrittel ist bzw. es markiert, usw. Daß dies tatsächlich so ist, wird anhand zutreffender klassich konstruierten Kohärenz-Modellen (exakte Zeilgestalt) später noch gezeigt werden.
Realisierung
Die mit Zirkel und Lineal gezeichneten klassich konstruierten Grenzprozesse können heute sehr effizient mit einem DGS- Programm (DGS ... Dynamisches Geometrie-System) auf einem eltekronischen Rechner ausgeführt werden.
Dabei wird dem erwarteten wahren Ergebnis mit jedem weiteren Iterationszyklus noch näher gekommen. So wird nach und nach das wahre Ergebnis immer vollständiger dargestellt. Solche gezeichneten Grenzprozesse gibt es nicht nur für aufeinander folgende Punkte bei elementaren Kurven, sondern auch für ganze Figuren, wie Kreise, Dreiecke und auch für zusammegesetzte Kreis-Gerade-Objekte.
Für die drei klassischen Aufgaben der Antike
Winkeldreiteilung
Quadratur des Kreises
Volumendoppelung des Würfels
treffen die jeweils aktuell erreichten Zwischenergebnisse (Zustände) immer für die n-aktuell aufgewendeten Schritte zu. Die dabei erzeugten Schnittpunkte, Strecken, Kreisbögen und Figuren einer Folge weisen in ihrem Verlauf insgesamt einen stetigen Trend, eine bemerkenswerte Kontinuität auf.
Erstes Beispiel "Klassisch konstrierter Grenzprozess für Abrolllängen von Vielecken bis zum Kreis"
Gezeigt wird hier ein klassisch konstruierter Grenzprozess, der das im Erfahrungsraum gesammelte Kohärenz-Wissen nutzt. Begonnen wird mit Vielecken von minimaler Anzahl der Ecken. Schon damit kann das Ende der Abroll-Streckenlänge für den Halbkreisumfangs als Grenzpunkt/Grenzwert-Ergebnis erzeugt werden. Meine hierzu erfundene klassich konstruierte Schnittpunkte-Folge nähert sich im Ergebnisgebiet (nahe Endlos, nahe Unendlich)als fortgesetzte Kohärenzkurve immer mehr einer Kreiskurve, die mit dem Zirkel durch die drei letzten Zwischenergebnispunkte konstruierbar ist. Möglch ist dies, durch die kontinuierlichen Zusammenhänge im Erfahrungsraum. Das vorgezeigte anschaulich bildliche Kohärenzsystem macht die Zusammenhang- Gesetzmässigkeiten des Vieleck-Abrollens bis hin zum Kreis nachvollziebar.
Die Merkmale eines Grenzprozesses bei dem eine konstruiert konvergente Folge von Schnittpunkten einem einem Grenzpunkt zustrebt, werden erfüllt..
Die erste Überlegungen zu solchen fundamentalen Berechnungsprozessen, die das Endlos einschliessen, stammen von Antiphon und von Hippias von Elis ( alle 5. Jh. v.u.Z.). Ihre Wissensansätze zu klassisch konstruierten Grenzprozessen, die endlos fortgesetzt werden können, passten nicht so recht in die Vorstellungswelt des alten antiken Griechenlandes. So kam es in der Wissensübelieferung zum bewussten Auslassen schon bekannten Wissens. Besonders deutlich zeigt sich dies bei Euklid (ca 330 v.u.Z.). In seinen ELEMENTEN sparte er somit schon bekanntes Wissen aus.
Das Wissen zur fundamentalen Kurve Trisectrix = Quadratrix oder auch das Wissen zur Berechnung der Kreisfläche nach dem Vorschlag von Antiphon nimmt Euklid nicht in sein berühmtes Sammelwerk ELEMENTE auf, in welchem er das damals bekannte und akzeptierte mathematische Wissen dargestellte. Die Ansichtsweise zur Kurve Tresectrix und Kreisunfang /Kreisfläche passte nicht zu seinen Erwartungen.
Das von Euklid mit den ELEMENTEN geschaffene Vorbild wirkt quasi bis heute fort. Im modernen richtungsweisenden Werk zur Elementargeometrie, D.Hilbert, Grundlagen der Geometrie, B.G.Teubner Verlagsgesellschaft Stuttgard 1962, werden keine klassisch konstruierten Grenzprozesse und Schnittpunkte-Folgen erörtert. Im Internet allgemein, aber auch beim Portal Wikipedia werden unter dem Suchbegriff "mathematischer Grenzprozess" immer nur solche Prozesse erörtert, bei denen die Rechengrössen Zahlen sind.
Für Lernende und Laien decken sich die elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen mit ihrem Erfahrungswissen. Heute helfen hier besonders die klassischen Konstruktionen mit dem Computer. . Es wird quasi nur mit einem Zirkel und und einem strichlosen Lineal gearbeitet. Es sind die konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang ausgehend vom Raumzusammenhnag nachvollziehbar machen. Heute werden diese Sequenzen mit dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die so gezeichneten Kurven sind nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve.
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der Schnittpunkt zweier orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere davon ausgehende "klassisch konstruierte Schnittpunkte" werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden. Sie sind als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade anschaulich nachvollziehbar.
Das folgende Bild-Beispiel zeigt, wie eine Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte) leichter.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind.
