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1er Duplikate und 2er Potenzen

Für Lernende sind die Potenzdarstelllungen 2⁰ =3⁰=4⁰=...=1 eine gewisse Verständnishürde. Diese Zuordnungen können nicht elementar nachvollzogen werden. Genau so dann bei √2=2^0,5 = 1,4142135... und 2=2¹ usw. Eine solche Hürde gibt es beim Betrachten der Binär-Logarithmen nicht, wenn sie als Duplikate betrachtet werden. Als Basis-Duplikand d_B wird vorzugsweise die Recheneinheit 1 und ein Basis-Duplikator d_B zwischen d=-1, Null und d=+1 gewählt. Darüber hinaus wird mit Viefach-Doppelungen und Halbierungen gearbeitet. Die Recheneinheit 1 bleibt beim Doppeln mit Duplikator d=0 unverändert beim Duplikat-Wert 1. Wird der Duplikand 1 mit einem Basis-Duplikator d_B=0,5 gedoppelt, ergibt sich: 1^^(0,5)=(√2 =1,4142... ). Das Zeichen "^^" wird hier für den Operator "Doppeln" verwendet. Die Einser-Duplikate stimmen mit ihren Zuordnungspaaren von Duplikator und Duplikat mit den Zuordnungspaaren von Exponent und Potenz der Zweierpotenzen überein. Diese spielen heute bei der Zahlendarstellung in modernen Rechenmaschinen eine dominierende Rolle. Die Notation wird hier zu 1^^1=2¹ und 1^^1,5=2^1,5=2,82842... und 1^^2 =2²= 4 usw. gewählt.

Duplikate sind mit ihrer Verwandtschaft zu Zweierpotenzen für Lernende interessant, da es hierzu nachvollziehbare klassisch konstruierte Kohärenz-Modelle gibt.

Kohärenz-Modell für ganzfache Doppelungen

Das folgende Kohärenz-Modell zur Duplikation ist für ganze Duplikatoren gezeichnet. Da kommt sofort die Frage auf, wie werden die zwischenliegenden Duplikate mit gebrochenen Duplikatoren berechnet?

Die Duplikate |AB|^^N wachsen/ schrumpfen hier sprunghaft, so wie die Duplikator-Grösse von N zu den benachbarten N+1 und N-1 springt. Dieses Kohärenzmodell legt es nahe, danach zu fragen, warum Duplikate bisher nur für ganzvielfache und nicht auch für die zwischenliegenden Duplikator-Grössen berechnet werden? Eine gleichhohe Bedeutung hat hier auch die Anti-Duplikation. Bei dieser wird zu einer gegebenen Duplikat-Grösse diezugehörige Duplikator-Grösse berechnet. Hat ein solches Berechnen überhaupt einen Sinn? Ja, hat es. Durch die Verwandschaft von Einer-Duplikationen zu Zweierpotenzen werden fundamentale natürliche Zusammenhänge des Berechnens verständlich. Diese werden durch die Gleichung 1^^d=2^d beschrieben.

Wie wird zu den gezeichneten bildlichen Kohärennzsystemen gelangt? Der erste Schritt dazu setzt voraus, die Erwartung muss positiv sein, dass für die fundamentalen Urberechnungen auch natürlich erfahrbare Rechenzusammenhänge gefunden werden können, die mit Sequenzen zusammenhängend gezeichneter Kurvenstücke von Kreis und Gerade zugänglich werden.

Kohärenz-Modell für nichtganzfache Doppelungen

In der historischen und auch heutigen Mathematik endet die Betrachtung zu Duplikationen (Doppeln und Halbieren) mit ganzzahligen positiven und negativen Duplikatoren. Im Internet sind bislang keine Betrachtungen zu klassisch gezeichneten Berechnungen für die Duplikation zu finden, bei der auch mit gebrochenen und beliebigen Duplikator-Grössen gerechnet wird. Mit den Cohaerentic Kalkulationen zur Duplikation werden nun auch zwischenliegende Duplikator-Grössen betrachtet. Die folgenden Beispiel bringen hier schnell mehr Klarheit. Als Basiszahl = Basisduplikand wählen wir vorzugsweise die Einheit = 1. Für den Zusammenhang zur Zweierpotenz gilt

Duplikat D = 1^^(±d) = 2^±d

Das Neue bei einer gezeichneten Cohaerentic Kalkulation "Duplikation" ist, die Kohärenzgrundlage ist hier keine numerische Reihen-Formel sondern ein erfundenes klassisch gezeichnetes Kohärenzsystem. Mit diesem kann anschaulich nachvollziehbar erkannt werden, wie die niederen und höheren Rechenoperationen und trigonometrischen Kohärenzen mit den Urkurven Kreis, Gerade, Hyperbel und Rechteck mit seiner symmetrischen Ausprägung Quadrat zusammenhängen und durch diese geprägt werden.

Um mit der Rechenart Duplikation vorteihaft Divisionen und Potenzen und Wurzeln berechnen zu können, muss immer erst zu einer gegebenen Duplikat-Grösse die zugehörige Duplikator-Grösse ±d berechnet werden, was ähnlich dem Berechnen des Exponenten zu einer gegebenen Potenz ist. Formeln zu Rechengängen mit Zahlen sind hierzu bekannt. Diese Berechnungen sind aber nicht sehr effizient. Hier stellt sich die Frage, kann die Grössenermittlung des Duplikators ±d auch durch klassisch gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen erreicht werden? Das hier vorgezeigten gezeichnete Kohärenzsystem zur Duplikation reicht hierzu noch nicht aus. Es fehlt eine Kohärenzkurve (Siehe Abschnitt "Kohärenz-Kurven"), die Duplikator- und Duplikat-Grösse eindeutig miteinander verknüpft.

Im Buch Cohaerentic sind hierzu verschiedene Möglichkeiten aufgezeigt.

Kassisch konstruierte Kohärenz-Modelle

_{Variante 1: Ellipse als genäherte Kohärenzkurve}

Die blaue Strecke ist die Ergebinis-Strecke zum Duplikat D=1^^d bzw. zur gleich großen Binärpotenz D=2^d.

Die rote Strecke ist die Strecke für den Duplikator = Dopplungsfaktor, die, wie das konstruierte Kohärenz-System zeigt, die Basis Einheit=1 zu D doppelt. Für d=0 ergibt sich D=1 und für d=0,5 ergibt sich D=√2, sowie für d=1 ergibt sich D=2.

Variante 2: Kreis als genäherte Kohärenzkurve

Hier wird im nächsten bildlichen Kohärenzsystem zur Duplikation mit einer ausserhalb der Kreiskurve liegenden Kohärenz-Kurve (unten links) gearbeitet wird.

Die Punkte der dup-Kohärenz-Kurve, unten links, entstehen als Schnittpunkte der Strahlen, die von den dup-Teilungspunkten auf der Kreiskurve ausgehen und durch die zugegeordneten lin-Teilungspunkte gelegt sind. Die dup-Teilingspunkte sind das Ergebnis einer Unterteilungssequenz, wie sie das vorhergehende Bild mit der roten Hyperbelkurve ziegt. Die lin-Teilungspunkte werden durch fortfolgendes Halbieren erzeugt und markieren die Grösse der jeweiligen Duplikator-Grösse, dargestellt als rote Strecke p2. Wie das gezeichnete Kohärenzsystem zeigt, wächst mit der Duplikator-Grösse d von Null bis Eins die Duplikat-Grösse von 1 bis 2 und umgekehrt. Mit der Duplikatorgrösse 1/2 hat das Duplikat die Grösse 1, 4142...= 2^0,5. Hier ist diese dup-Kohärenzkurve einer Kreiskurve sehr ähnlich und kann daher abschittsweise gut durch eine Kreiskurve ersetzt werden, was ein schnelles Berechnen gegenüber anderen Kurventypen ermöglicht. Die bei einem solchen Duplikator-Rechnen geforderte Genauigkeit entscheidet über den zu treibenden Aufwand., sprich die erforderliche Anzahl der Punkte für die dup-Kohärenzkurve. Der spezielle Zusammenhang zur dup-Kohärenz-Kurve stützt sich besonders auf Symmetrie. Der mit dem gezeichneten dup-Kohärenzsystem dargestellte Berechnungszusammenhang ermöglicht ein exaktes Berechnen der Dupliakat-Grösse bei vorgegebener Duplikator-Grösse und umgekehr, da theoretisch endlos viele dup-Kohärenzkurven-Punkte gezeichnet berechnet werden können.

Das nachfolgende Video unterstützt anschaulich das Verstehen des elementar gezeichneten dup- Kohärenzsystems zur stetigen Duplikation.

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Winkeldritteln mit Zielgestaltkohärenz

1. Grundgedanke

In der cohaerentischen Geometrie wird erkannt, dass eine exakte Winkeldrittelung mit Zirkel und Lineal nur durch konstruierte Grenzprozesse möglich ist.
Die klassische Beschränkung Euklids (ca. 330 v.u.Z.) auf nur endlich viele gezeichnete Objekte wird dabei verlassen. Stattdessen werden theoretisch unendliche Grenzprozesse zugelassen, die ein tieferes Verständnis geometrischer Zusammenhänge eröffnen.

Diese Vorgehensweise wird auf die drei klassischen Konstruktionsprobleme der Antike angewendet:

Winkeldritteln
Quadratur des Kreises
Volumendoppelung des Würfels

Bereits kurze, endliche Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten liefern dabei in der Praxis Genauigkeiten, die allen Anforderungen genügen.

2. Zielgestalt-Konstruktionen

Aus historischen Neusis-Konstruktionen werden in der cohaerentischen Geometrie tiefere Gemeinsamkeiten abstrahiert.
Die zentrale Idee: Zielgestalt-Konstruktionen arbeiten mit einem gegebenen Winkel α und dessen Vielfachen (z. B. 3α).
Durch rückwärts gerichtete Betrachtung ergibt sich eine Kohärenz zur gesuchten Drittelgröße.

Erkennungskriterium:

Ein charakteristischer Streckenzug im Kreis aus vier aufeinanderfolgenden Segmenten, wobei die 1. und 3. sowie die 2. und 4. Strecke jeweils parallel sind.

Vorgehensweise:

Drehung der Lösungsgestalt um den Scheitelpunkt des zu drittelnden Winkels.
Ziel ist die Gestalt-Übereinstimmung mit der Zielgestalt.
Bei Erreichen der zweifachen Parallelität ist der Drittelwinkel gefunden.

3. Kreuzschleifenbalken-System

Eine verallgemeinerte Zielgestalt ist der Kreuzschleifenbalken, dessen Länge dem Durchmesser des Grundkreises entspricht.
Er gleitet mit seinen Endpunkten auf den orthogonalen Achsen X und Y, während sein Mittelpunkt M den Grundkreis beschreibt.

Der zu drittelnde Winkel wird durch eine grüne Radiusstrecke markiert.
Die Drehung des Kreuzschleifenbalkens stimmt stets mit der Drehung dieser Radiusstrecke überein.
Für alle Quadranten gilt: Ziel ist die kongruente Überdeckung von Lösungsgestalt und Zielgestalt.

Zum tieferen Verständnis tragen noch vier weitere Bilder bei. Hier markiert die blaue Radiusstrecke die zu drittelnden Winkelgröße und die grüne Radiusstrecke den gesuchten Drittelwinkel. Der 3-er Zusammenhanng ist hier anhand der beiden aneinander gefügten gleichschenkligen Dreiecke (rot und grün) anschaulich nachvollziehbar.

4. Abgrenzung zu Archimedes

Im Unterschied zur historischen Neusis-Konstruktion von Archimedes (287–212 v.u.Z.) erfolgt die notwendige Bewegung hier rein durch Drehung, nicht durch eine Kombination aus Drehung und Verschiebung.

5. Rolle der Grenzprozesse

Euklid erwähnte in den Elementen keine konstruierten Grenzprozesse – vermutlich eine Ursache, warum diese Ansätze in der späteren Literatur fehlen.
In der cohaerentischen Geometrie jedoch:

Grenzprozesse sind unabdingbar.
Mit jedem Zyklus nähert sich die Konstruktion dem exakten Drittelpunkt.
Bereits mit 4 konstruierten Objekten lassen sich 4 korrekte Nachkommastellen erreichen.
Mit 14 Objekten liegen die Abweichungen im subatomaren Bereich (> 20 Nachkommastellen).

6. Kritik am „Unmöglichkeitsbeweis“

P. Wantzel (1837) zeigte, dass eine Winkeldrittelung mit endlich vielen Kreis- und Geradenkonstruktionen nicht möglich ist, da hierfür Gleichungen 3. Grades gelöst werden müssten – was klassisch nicht möglich ist.
Die cohaerentische Sicht präzisiert jedoch:

Der Unmöglichkeitsbeweis gilt nur für Konstruktionen auf Basis endlicher Gleichungssysteme 3. Grades.
Grenzprozesse umgehen diese Einschränkung, da sie auf Annäherung statt auf einmalige exakte Konstruktion setzen.

7. Effizienz statt Endlichkeit

Die antike Forderung nach einem exakten Ergebnis in endlich vielen Schritten wird ersetzt durch die Forderung nach hoher Effizienz.
Das Ziel ist ein praktisch exaktes Resultat mit minimalem Konstruktionsaufwand.

8. Mehrfache Winkeldrittelungen

Es lassen sich auch gesetzmäßige 3er-Winkelkohärenzen im Viertel-, Halb- und Vollkreis darstellen.
Diese Kohärenzsysteme stärken die Überzeugung, dass das klassische Winkeldritteln durch konstruierbare Systeme möglich ist.

Falls du magst, kann ich den Text zusätzlich in eine leicht verständliche, populärwissenschaftliche Version umschreiben, die auch Laien anspricht – oder in ein knappes, wissenschaftliches Abstract für eine Publikation.
Möchtest du, dass ich diesen nächsten Schritt mache?

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Winkeldritteln mit Zielgestaltkohärenz

Im Rahmen der cohaerentischen Geometire wird erkannt, daß das mit einer Sequenz von Kreis und-Gerade-Objekten konstruierte Winkeldritteln unabdingbar nur mit konstruierte Grenzprozesse gelöst werden kann. Dazu wird die von Euklkis (ca. 330 v.u.Z) in seinem Werk ELEMENTE praktizierte willkürlikche Beschrängkung auf nur endlich viel gezeichnete Objekte verlassen. Mit den klassich konstruierten, theoretisch endlosen Grenzprozessen wird das Verständis für grundlegende Zusammenhänge in der Geometrie erweitert. Die wird deutlich an den cohaehentischen Lösungsrealisierungen mit konstruierten Grenprozessen, welche zu den drei klassichen Konstruktionsproblemen der Antike, das Winkeldritteln, die Quadratur des Kreises und die Volumendoppelung des Würfels.betrachtet werden.

. Überraschend ist, daß insgesamt dabei bereits mit kurzen endlichen Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte zu Ergebnissen gelangt wird, welche bereits mit geringen Ausfwand alle in der Praxis vorkommenden Anfoderungen an die Genauigkeit erfüllen.

Aus der historischen Fachliteratur sind unterschiedlichen Ausprägungen überlieferter Neusis-Konstruktionen bekannt, auch zum Winkeldritteln. Bei diesen erkennen wir gemeinsame tiefer liegenden Zusammehänge und abstrahieren daraus, es wird mit Kohärenzmodellen gearbeitetm die wir Zielgestalt"-Konstruktion nennen. Diese Zielgestalt-Konstruktionen weisen immer einen gegebenen Winkel α und vervielfachte dazu auf, z.B. 3α.

Bei rückwärts gerichteter Betrachtung gibt es somit auch eine Kohärenz zur abgeleiteten Winkeldrittelgröße. Die Lösungsgestalt-Konstruktion für das gesuchte α ist am Ziel, wenn sie mit der Zielgestalt in konformer Gestalt-Übereinstimmung gebracht ist. Wie das funktioniert, zeigt das nächste Bild mit einer Zielgestalt-Konstruktion, die einen besonderen, schwarz gezeichneten Streckenzug aufweist, welcher das Erkennungskritrium zur angestrebteb Gestalt-Übereinstimmung ist. Dieser Streckenzug besteht aus vier aufeinander folgenden Strecken in einem Kreis, wobei jeweils zwei Strecken zueinander parallel sind. Die erste Strecke ist es zur dritten und die zweite ist es zur vierten Strecke..

Die cohaerentische Lösungsgestalt-Konstruktion zum Winkedritteln ist somit durch entsprechende Drehung im Punkt des zu drittelnden Winkels am Ziel, wenn ihre Gestalt mit der Zielgestalt übereinstimmt. Dies ist der Fall, wenn im Streckenzug die erste und dritte schwarze Strecke und die zweite und vierte schwarze Strecke zueinander parallel sind. Erreicht wird die Annäherung der Lösungsgestalt-Konstrution indem der vom Punkt D₁ des zu drittelnden Winkels ausgehende Strahl D₁M im Punkt D1 am grünen Dreieck gedreht und zwar in Richtung der Zielgestalt. Bei Gestalt-Übereinstimmung ist der angestrebte gedrittelte Winkel erreicht. Der gefundene Zusammenhang endet nicht am ersten Quadranten sondern gilt auch über den vierten Quadranten hinaus, wie es am folgende unteren Bild nachvollzogen werden kann.

Die cohaerentische zielführende Neusisbewegung ist eine reine Drehung und keine kombinierte Bewegung, die als "Drehung" und "Verschiebung ausgeführt wird, wie es bei dem Winkeldrittelverfahren des Archimedes (287-212 v.u.Z.) der Fall ist..

Die cohaerentische Geometrie ermöglicht Zielgestalt-Konstruktionen auch für beliebig große zu drittelnde Winkel. Mit weiterer Abstraktion zur Ziegestalt mit zweifachem parallelen Streckenzug wir zu einer Ziegstalt-Konstruktion gelangt, die wir mit Kreuzschleifenbalken-System bezeichnen. Im folgenden Bild hat der Kreuzschleifenbalken die Größe des Durchmesser vom Grundkreis und gleitet mit seinen Endpunkten auf den orthogonalen Achsgeraden X und Y.

Dabei rotiert der Mittelpunkt M des Kreuzschleifenbalkens um den Ursprungspunkt U, welcher Schnittpunkt der Koordinatenachsen X und Y ist. Der Mittelpunkt M zeichnet dabei als Spurkurve den Grundkreis. Die grüne Radiusstrecke r mit den Endpunkten U und D1 markiert den zu drittelnden Winkel, der von der positen x-Achse bis zur grünen Radiusstrecke reicht.

Besonderes Merkmal unseren Zielgestalt-Konstruktionen mit Kreuzschleifenbalken ist, daß dessen Drehung immer mit der Drehung der Radiusstrecke des Winkedrittels überein stimmt.

Mit den 4 Bildern wird der besagte geoemtrische Winkelzusammenhang für unterschiedlich große zu drittelnde Winkel demonstriert. Der grüne Radiusstrahl UD₁ für den zu drittelnden Winkel liegt hier jeweils in den Quadranten 1 bis 4.

Die notwendige Neusis-Bewegung zum Erreichen der Gestalt-Überdeckung ist hier als eine reine Drehung des Strahls D₁M in Punkt D1 ausgeführt. Strahl D₁M schließt dabei den Kreuzschleifen-Balken, der zwischen Achsgerade X und Y gleitet, ein. Diese Neusis-Drehung ist am Ziel angelangt, wenn die konstruierte Lösungsgestalt mit der Zielgestalt in konkruenter Gestaltübereinstimmung angelangt ist. Dies ist der Fall, wenn besagter Streckenzug die zweifache Streckenparallelität erreicht hat. Simultan dazu hat dann auch die im gedrehten Strahl eingeschlossene Strecke zwischen den Achsgeraden die Größe des Grundkeisdurchnessers erreicht.

Bei den bekannten überlieferten historischen Neusis-Konstruktionen bleibt offen, wie die notwendige exakte Neusisbewegung realsiert wird, sie bleibt ein Gedanke. Anders bei den cohaerentischen Winkeldrittelungen. Hier wird die notwenige Neusisdrehung des in Punkt D1 zu drehenden Strahls D₁M als kostruierter autokonvergenter Grenzprozeß realisiert. Dazu werdenspäter noch die notwendigen Details mitgeteilt.. Aus der Literaturüberlieferung sind diese cohaerentischen Lösungsansätze mit Grenzprozessen nicht bekannt. Ursache ist auch eine von Euklid (ca 330 v.u.Z.) ausgehende "Denkblockade" zu mit Zirkel und Lineal konstruierten Grenzprozessen. Solche fehlen in den Euklids Elementen, von denen eine große Vorbildwirkung ausgeht. Deshalb fehlen sie auch in der späteren Literatur.

Wie wird das Problem der notwendigen unendlich vielen Schritte für Naususbewegung gelöst?

Sind Grenzprozesse aus der Literatur für das Winkeldritteln bekannt? Klassisch konstruierte Grenzprozesse fehlen in den ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.). Wegen der Vorbildwirkung der ELEMENTE bleiben sie bis heute unbeachtet und nahezu unbetrachtet. So auch für das Winkeldritteln. Sie fehlen daher auch in der Internet - Enzyklopädie Wikipedia. Liegt es an einer geringen Effizienz der Grenzprozeßverfahren? Ist tatsächlich erst nach endlos vielen Schritten, bzw. zu konstruierende Kreis- und Gerade-Objekten, ein brauchbares Ergebnis verfügbar? Im Internet-Lexikon Wikipedia_23.02.2024 lesen wir:

"Was ist Effizienz? Effizienz bedeutet, Dinge „richtig“ zu machen. Das kann bedeuten, dass Sie schneller arbeiten, mit weniger Ressourcen auskommen, große Projekte mit einem geringem Aufwand umsetzen oder umgekehrt, „mehr“ mit „weniger“ schaffen".

Seit dem Jahr 1837, als P. Wantzel seinen berühmten Beweis zur Unmöglichkeit der klassisch konstruierten Winkeldreiteilung veröffentlichte, gilt es als erwiesen, daß es solche nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruierten Zusammenhänge nicht geben könne und ihre Betrachtung nur vergeudete Zeit ist. Wantzel erkennt, die Lösung kann nur auf der Basis einer Gleichung vom 3. Grad zustande kommen. Klassiche Kreis-Gerade-Konstruktionen können aber nur Gleichungen vom 2. Grad lösen.

Den heute gelehrten Wissensstand zum konstruktierten Winkeldritteln wird von den Hochschullehrerinnen Silke Hartlieb und Luise Unger wie folgt zusammengefasst:

"Leseprobe zum Kurs 01320 Algebra und ihre Anwendungen der Fakultät für Mathematik und Informatik der Fernuniversität Hagen (FernUni / Fakultät MI / Angewandte Mathematik / Studium und Lehre / Lehrveranstaltungen / Kurs 01320 Algebra und ihre An...)"

„Wir werden in dieser Kurseinheit zeigen, dass die klassischen griechischen Konstruktionsprobleme nicht lösbar sind. Mit anderen Worten, es gibt keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt. Solche Unmöglichkeitsbeweise sind für mathematische Laien nur schwer nachvollziehbar, und daher gibt es überraschend viele Leute, die einen Satzanfang der Form „Es ist nicht möglich,. . . “ als „Bis jetzt haben wir es noch nicht hingekriegt,. . . “ übersetzen. Es gibt also auch heute noch etliche Personen, die ihre vermeintlich geglückten Konstruktionen an mathematische Fachbereiche schicken, und dann sehr enttäuscht sind (oder sehr böse werden), wenn man ihnen mitteilt, dass man nicht gewillt sei, dies genauer anzusehen, da die Konstruktion sowieso falsch sein müsse."

Um hier nicht aneinander vorbei zu reden, erklären wir erst mal, warum wir mit dem gelehrten Wissensstand nicht zufrieden sind, was uns stört. Hier ist es: Der absolute, unbeschränkte Unmöglich-Anspruch für den kein Geltungsbereich genannt wird. So sollte für, " ...es gibt "keine wie auch immer gestaltete Konstruktion mit Zirkel und Lineal, die einen Kreis quadriert, einen Würfel dem Volumen nach verdoppelt oder einen 60 -Winkel in drei gleiche Teile teilt", das Folgende präzisiert werden. Unmöglich sind Drittelungslösungen auf der Grundlage von Gleichungssystemen vom 3.Grad, die P. Wantzel als unerläßlich fürs Dritteln sieht und deshalb diese Gleichungen zur Grundlage zu seinem "Unmöglichbeweis" machte. Für uns ist deshalb zum bewiesenen Unmöglich auch immer der konkrete Geltunsbereich zu nennen. Hier, auf der Grundlage der besagten Gleichungssysteme vom 3. Grad ist es mit endlich vielen Schritten unmöglich zum vollständigen Winkeldrittel zu gelangen. Zur Verwirrung trägt hier noch bei, das gelehrt wird, es gäbe wenige besondere Winkel, die mit endlich vielen Schritten gedrittelt werden können. Bei näherer Betrachtung zeigt sich, ihre Winkeldrittel sind nicht das Ergebnis eines Prozesses konstruierten Winkeldrittelns. Sie sind Ergebnis einer unabhängigen Grundkonstruktion. Die 30°-Konstruktion ist nicht abhängig und abgeleitet von 90°. Sie ist quasi eine elementar konsruierbare Grundgröße, wie auch 90° selbst. In der cohaerentischen Gepmetrie wird erkannt, kein Winkel kann mit einer endlichen Sequenz kosntruierter Kreis- und Gerade-Objekte, durch endlich viele Operation vollständig gedrittelt werden.

Sind dafür klassisch konstruierte Grenzprozesse, die im Grundlagenwerk ELEMENTEN des Euklid (ca. 330 v.u.Z.) fehlen, unerläßlich und notwendig? Da kommt die Frage auf, sind sie überhaupt möglich, denn sie fehelen auch heute immer noch? Auch bei Wikipedia fehlen sie? Betrachten wir den Satz "exakter Grenzprozess drittelt Winkel" tiefgehender, wird immer klarer, es handelt sich um einen dynamischen, endlos fortsetzbaren Prozeß, bei dem endlos einem Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt zugestrebt wird. Mit jedem weiteren Sequenzzyklus wird die Ergebnisgenauigkeit weiter erhöht. Da drängt sich die Frage auf, führt der konstrierte Grenzprozess tatsächlich zum exakten Ergebnis? Kann man den Schritt um Schritt logisch nachvollziehbarem Zusammenhangen trauen? In der cohaerentischen Geometrie wird im gedanklichen Grenzfall der Grenzpunkt=Winkeldrittelpunkt tatsächlich erreicht.

Gegen die historisch ererbte Erwartung, daß nach endlich vielen Schritten des exakte Ergebnis vollständig dargestellt sein muß, steht auch das Quantisierungsprinzip. Winkeldritteln ist ein endloser Prozeß mit endloser Vervollständigung der zusammmengesetzt dargestellen Ergenisgröße. Die Erwartung der Antike ist eine unerfüllbare Erwartung, und damit eine falsche Erwartung.

Effizenter Grenzprozess drittelt Winkel

Wie effizient ist unser gefundener Grenzprozeß bri der notwendigen Neususdrehung? Die hierzu ausgeführten klassichen Konstruktionen zeigen schon mit eine Gesamtsequenz von vier konstruierten Kreis- und Gerade-Urkurvenobjekten ist das erste brauchbare Zwischenergebnismit 4 wahren Nachkommastellen erzeugt. Mit 14 konstruierten Objekten sind die abweichungen bereits im subatomaren Bereich und umfassen mehr als 20 wahre Nachkommastellen. Das folgene Bild liefert einen Überblick dazu.

Keine Berücksichtigung findet bei Wantzel (1818-184.) die vom berühmten R.Descartes () in seinem Buch "La Geometria" von 1643 veröffentliche endliche Konstruktion zum Winkeldritteln. Heute wird hier als "Unmöglich-Kriterium" angeführt, daß die zur Lösung erforderlichen Punkte der quadratische Parabel im "Ergebnisbereich" nicht und schon gar nicht alle klassisch konstruiert werden können.

Widersprüche tun sich auch dazu auf, dass es einer schon gegebenen quadratischen Parabelkurve gar nicht bedarf. Unser folgendes Bild zeigt, wie die notwendige Parabelpunkte F, E, G rlrmrntar konstruiert werden, durch die dann ein Schmiegungskreis gelegt wird, der die Parabel im Ergebnisbereich annähert. Darüber wird später noch ausführlich berichtet.

Auch bei diesen Grenzprozessverfahren wird mit nur wenigen Schritten zu einer nahezu unendlich kleinen Ergebnisabweichung gelangt. Es ist kein riesiger unendlicher Aufwand erfoderlich, wie er beim "Verfahren der brutalen Gewalt" auftritt. Mit den konstruierten Grenzprozessen wandelt sich die Endlichkeitsforderung aus der Antike zur Forderung nach hoher Effizienz. Mit mit nur wenigen Schritten soll und wird bis zum befriedigend genauen Ergebnis gelangt.

Multifache Winkeldrittel

Hier wird erstmals ein klassisch konstruiertes Kohärenzsystem zu einer gesetzmäßigen 3er-Winkelkohärenz im Viertelkreis, Halbkreis und Vollkreis. Es stärkt die Gewissheit, daß es solche konstruierbare Kohärenzzsysteme auch für das klassisch konstruierte Winkeldritteln gibt. Die ersten beiden Bilder zeigen die Situation des Zusammenhängens von mehrfachen Winkel-Drittelungen (blaue, rote und grüne Kreise auf der Grundkreislinie für den Viertelkreis und den Halbkreis.

Je nach Betrachtung füllen zwei Blöcke ungleicher Winkelgrößen α und β den Viertellkreis aus. Die beiden Winkelgrößen werden in gleiche Winkelgrößen (1/3)α und (1/3)β unterteilt. Obige beiden Bilder sind dazu nahezu selbst erklärend. Die den Halbkreis ausfüllenden zwei Winkelblöcke haben jeweils Sektoren rot, grün und blau und schwach rot, schwach grün und schwach blau. Die Sektoren rot und schwach blau hängen über eine blaue Sehne zusammen, welche den innenliegenden roten Kreis von halber Radiusgröße des Grundkreises tangiert. Das folgende Bild zeigt, wie sich duch Symmetrie die Drittelung auch auch in dem unteren Halbkreis fortsetzt.

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Winkelverhältnis α /3

Das Winkelverhältnis α /3 ist als Ergebnis der Grenzpunkt eines klassisch, mit einer endlosen Sequenz von Kreis- und Grade-Objekten konstruierten Grenzprozesses.

Bis zu dieser Einsicht gab es einen langenWeg mit vielen verwirrenden Rätseln.

_{Einführung in das Problem des Winkeldrittlens}

Die Zahl "3" steht oft für ungelöste Fälle, auch für mysteriöse und religiöse Zusammenhänge. So wird in der Bibel die Umfanglänge eines kreisrunden Beckenrandes mit 3 mal größer als der Durchmesser angegeben. Ist dieses mitgeteilte Verhältnis ein Ergebnis eines Ausmessens? Offenbar nicht. Schon in der der Antike Versuche man, dieses Ergebnis ist eine Näherung, zum wahren Ergebnis, das etwas größer als 3 ist. Seitdem wurde die 3 in der Bibel nicht weiter präzisiert. Ein Grund hier zu zögern war wohl auch die Einsicht, daß ein ermitteltes Größenabbild nie ganz eindeutig eine ganzzahlige Vervielfachung eines kleinsten Maßes (Maßschrittes) ist. Dieses allgemeine Phänomen gibt es somit auch für das Kreisverhältnis sowie auch für die Winkelgrößen.

Der französische Mathematiker P. Wrantzel (1814-1848) ist mit einer anderen Betrachtung zu dem selben Ergebnis für die reprodutierbare Darstellung des Winkeldrittels gelangt. Er folgert daraus, mit einer nur endlich Sequenz gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte gibt es keinen vollständigen Konstruktionsplan. Deiser kann damit auch nicht zur vollständigen, exakte Darstellung des Winkeldrittels führen. Ist für Wrantzel hiermit bewiesen, was heute allgemein akzeptiert ist? Gibt es tatsächlch keinen zutreffenden natürlichen geometrischen Zusammenhänge für eine exakte Winkeldrittel-Konstruktion, die als Kohärenzmodell anschaulich logisch nachvollziehbar ist? So wird es heute zumindest gelehrt.

Bei diesen Voraussetzungen sind alle Versuche eines Winkeldrittlns mit klassich konstruierten Grenzprozessen unausgesprochen mit einer Art "Denkblockade" belegt. Denn, wenn hier die Lösungszusammenhänge fehlen. kömnnen auch alle Versuche mit klassich konstruierten Grenzprozessen keinen Erfolg haben.

Im gewissen Widerspruch dazu stehen die schon seit dem Altertum bekannten nichtklassischen Verfahren für ein exaktes Winkeldritteln. Sie erfordern weitere hinzu genommenen Hilfswerzeuge bzw, schon gegebenen höheren Kurven, wovon die Kegelschnittkurven Kreis, Hyperbel, quadr. Parabel und Ellipse die einfachsten sind. Warum Wrantzel bei seinem Unmöglich-Beweis diese Winkeldrittel-Kohärenzen unbetrachtet läßt, darüber kann nur spekuliert wedern?

Wie werden nachfolgend zeigen, daß es durchaus Sinn macht, diese alte Tradition der Denkblockade zu verlassen. Es zeigt sich dabei, ein klassisch konstruiertes exaktes Winkeldreiteilen über eine ganze Drehung ist, wie zutreffende natürliche geometrische Kohärenzen zeigen, mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sehr effizient zu realisieren. So werden schon mit weniger als 20 gezeichneten Objekten von Kreis und Gerade bereits solch hohe Genauigkeiten bei der konvergenten Ergebnisdarstellung erreicht, daß die alltägliche Anforderungen weit überschritten werden. Die ererbte uralte Erwartung, eine genaue Darstellung der Winkeldrittelgröße im subatomaren Bereich sei nur mit nahezu endlos vielen konstruierten Kreis- und Gerade-Objekten zu erreichen, erweist sich als Irrtum. Die auftretende extrem starke Konvergenz der effizienten autokonvergenten Grenzprozesse wurden und werden bis heute nicht erwartet.

_{Von der Antike bis heute}

Ausgehend von dem oben dargelegten Wissen suchen wir nicht nach einer konstruierten Zahl, welche den Drittelwinkel ohne Restfehler darstellt. Wir suchen nach exakten Kohärenz-Modellen, welche die Dreierkohärenz von Winkeln als klassisch konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten anschaulich nachvollziehbar darstellen. Ein erstes Kohärenz-Modell hierzu veröffentlichte bereits Archimedes (287-212 v.u.Z.). Es ist im folgenden Bild in der linken oberen Bildecke gezeigt. Das rechte Bild veranschaulicht die konkrete Lösungsumsetzung des Archimedes-Vorschlages.

_{In diesem Beitrag werden die gezeichneten Objekte in ihrer Abfolge mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Zur eindeutigen Zuordnung sind die Zahlen noch um Buchstaben ergänzt, Ist das dezeichnete Ojekt ein Kreis kommt ein k oder K hinzu, Bei einer gerade/Strecke kommt ein g oder G. und bei einem Schnittpunkte ein S hinzu . Bei einem S3(k1xg3) symbolisiert "x" das Schneiden/Kreuzen der Objekte k1 und g3.}

Dieses klassich konstruierten Kohärenz-Modells macht mit seiner Sequenz der zusammenhängend konstruierten Objekte von Kreis und Gerade anschaulich nachvollziehbar, wie von einem kleinen gegebenen Winkel zu ganzzahlig vervielfachten Winkeln gelangt wird. Auch die umgekehrte Betrachtungsrichtung, vom gegebenen großen Winkel hin zum kleinen abgeteilten Winkel, ist möglich.

_{Vervielfachen}

Vervielfachen ist bei einem vorhandenen Kreis K mit einem eingezeichneten Winkels schon mit nur zwei weiteren aufeinander folgend konstruierten Kreisen möglich.

_{Vervielfachen zum Kleinen hin}

Das Dreiteilen des Winkels ist auch ein Vervielfachen, statt der vielen großen Teile gibt es hier nun vile kleine Teile. Der Strahlensatz, mit dem ein beliebiges Verviefachen einer Strecke zum Kleinen hin möglich ist, führt bei Drehungen/Winkeln nicht zum Ziel.

Einen für Winkel ersten Lösungsansatz hat bereits Archimedes (287-212 v.u.Z.) veröffentlicht. Bei seinem Winkel-Kohärenzmodell wird in der einen Betrachtungsrichtung ein vervielfachter Winkel erzeugt. Die aufeinander folgenden Dreiecke mit jeweils gleichlangen zwei Seiten zeigen Symmetrie. Für das Vervielfachen zum Kleinen hin wird mit der umgekehrten Betrachtungsrichtung gearbeitet. Das Lösungsprizip ist, die Lösungskonstruktion wird Schritt um Schritt mit der bekannten Zielgestalt des 3er-WDT-Kohärenzmodells zur Deckung gebracht. Die Schritt um Schritt herbei geführte Übereinstimmung mit der "Zielgestalt" ist erreichbar, kann aber real nicht eindeutig festgestellt werden. Die Überenstimmung wird nur als Gedanke realisiert.

Archimedes (287-212 v.u.Z.) fügte dem den Drittelwinkel markierendem Lineal zwei Striche durch die Punkte S(Xx2G) und S(2Gx3.1K) hinzu, mit einem Abstand von der Radiusgröße /M,S(XxK)/. Wird das auf der X-Achse und dem Punkt S(6KxK) aufliegende Lineal nach rechts verschoben, erfährt es eine Drehung gegenüber X- und Y-Achse und erreicht den gesuchten exakten Drittelwinkel, wenn der Punkt S(2Gx2.1K) auf dem Kreis K zu liegen kommt, was aber nur gedanklich erfüllt werden kann.

Mein klassisch konstruiertes WDT-Kohärenz-Modell (linke Bildhälfte) kombiniert das archimedes´sche Modell. Rechts im Bild wird ein extskter WDT-Grenzprozeß gezeigt, dessen klassich konstruierte Grenzprozeß schon nach wenigen konstruierten Objekten abgebrochen werden kann, da dann die gemessene verdreifachte Drittelwinkelgröße (rote Zahl) schon über 15 wahre Nachkommastellen mit denen der Startwinkelzahl übereinstimmen.

Gegeben Objekte sind:

- die Achsen X und Y, sowie der Grundkreis k0 um M

- der gegebene zu drittelnde Winkel ∠AMQ mit den Strecken MA und MQ

Die kurze konstruierte Sequenz umfasst folgende Objekte:

1. Strecke g1 parallel zur Y-Achse

2. Strahl g2, so in M gedreht, daß er g1 in M2 schneidet

3. Kreis k3 um M2 mit einem Radius = 2* MA

4. Strahl g4 parallel zur X-Achse Gerade durch Punkt Q, der den Kreis k3 im Schnittpunkt S4(k3×g4) schneidet.

5. blaue Strecke g5 = / M,S4(k3×g4) / schneidet Gerade g1 in Schnittpunkt S5(g1×g5)

6. Kreis k6 um S5(g1×g5) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S6(g5×k6) und S6.1(g4×k6).

7. Strahl g7= / M,S6.1(g4×k6) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S7(g1×g7) schneidet.

8. Kreis k8 um S7(g1xg7) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S8(g7×k8) und S8.1(g4×k8).

9. Strahl g9 = / M,S8.1(g4×k8) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S9(g1×g9) schneidet.

10. Kreis k10 um S9(g1×g9) mit Radius = 2* MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S10(g7×k10) und S10.1(g4×k8).

11. Strahl g11 = / M,S10.1(g4×k10) / der Gerade g1 in Schnittpunkt S11(g1×g11) schneidet.

12. Kreis k12 um S11(g1×g11) mit Radius=2*MA, der zwei Schnittpunkte erzeugt, S12(g11×k12) und

S12.1(g4×k12).

13. Kreis k13 durch die drei Punkte S8(g7×k8); S10(g7×k10) und S12(g11×k12), der auf Gerade g4 den Schnitt-

punkt S13(g4×k13 ) erzeugt, welcher das erreichte Zwischenergebnis für den Drittelwinkel markiert.

-14. Strahl g14 durch den Schnittpunkt S13(g4×k13) markiert den gesuchten Drittelwinkel ∠AMD.

Zum Zweck eines einfacheren Nachprüfens und Vergleichens der digitalen Ergebnisgenauigkeit ist der erzeugte Drittelwinkel mit den inneren roten Kreisen verdreifacht.

_{Kreuzschleifen-WDT- Kohärenzmodell}

Bei dieses etwas abstrakteren WDT-Kohärenzmodell bewegt sich der Mittelpunkt C einer Strecke EF auf einer Kreiskurve um Mittelpunkt M, wenn die Strecke mit ihren Endpunkten E und F an den orthogonalen Achsen X un Y entlang gleitet.

Anhand der zwei Paare paralleler Strecken im Kreis um M ist gut zu erkennen, daß diese Konstellation auch ein Merkmal für eine vorhandene Winkeldreierkohärenz ist.

Aus dem Sachverhalt, daß das Zurechtschieben bis zur Deckung / Übereinstimmung mit der Zielgestalt nur theoretisch erfüllbar ist, erwächst der Wunsch, zu einem Schritt um Schritt nachvollziehbaren autokonvergenten Prozeß des "Zurechtschiebens" zu gelangen. Ein Prozeß, der nur mit den Objekten Kreis und Gerade konstruiert werden kann. Von der Antike bis heute sind in der Fachliterarur keine solchen Lösungen zu finden. Mit dem folgendes Bild lasse ich den abstrakten Zusammenhang nochmals deutlich hervortreten.

Ein Dreierzusammenhang auf der Kreiskurve ist dann gegeben, wenn der schwarze zusammenhängende Streckenzug im Kreis aus 4 Strecken, je nach Betrachtungsstartpunkt,

alternierend zwei paralle Strecken hat.

Dieses klassich konstruierte WDT-Kohärenzmodell leistet in der einen Betrachtungsrichtung ein Verdreifachen des gegebenen Winkels bzw. Kreisbogens (rotes Dreieck), ohne daß das allgemein bekannte Verdreifachens zum Einsatz kommt. In der andereen Betrachtungsrichtung ist mit den zurecht gerückten zwei parallelen Strecken im Kreis das gesuchte Drittel des Kreisbogens markiert.

Oben wurde schon gezeigt, wie der Prozeß des Zurechtschiebens (Neusis-Prozeß) in einen nur mit den Objekten von Kreis und Gerade konstruierten autokonvergenten Grenzprozeß übergeführt werden kann. Es folgen nun weitere Beispiele dazu:

In der vorigen Konstruktion geht die nicht eingezeichnete Lösungskurve (Trisektrix-Kurve) durch die nacheinander erzeugten Punkte D; C; K usw. Sie schneidet schießlich im Grenzpunkt = Ergebnispunkt den um Mittelpunkt M verlaufenden Kreis k1. Die Strecke zwischen Kreiskurve im 2. Quadranten und Y-Achse hat dann die gleiche Größe erreicht, wie der Kreisradius =MA.

Beim nächsten Bild wird bei der Neusis-Einschiebung mit der ganzen Kreuzschleifen-Streckenlänge gearbeitet. die dann von der Größe des Kreisdurchmessers von k2 ist. Diese größere Länge verbessert die Konvergenz.

_{Multifache 3er-Winkelkohärenz}

Überraschend ist, es gibt nicht nur die einzelne 3er-Winkelkohärenz, sondern eine multifache 3er-Kohärenz im Gesamtsystem, wie folgendes Bild zeigt. Mit den angebrachten Objektkennzeichnungen kann die Sequenz der erzeugten Objekte Kreis und Gerade wieder leichter nachverfolgt werden.

_{Elementare geometrischen Kohärenzen und ihre Darstellung mit klassischen Konstruktionen}

_{Dreiteilung des Kreises}

Wir beginnen diese Betrachtungen mit einem einfachen Kohärenzsachverhalt. Mit ihm wird ein Dreiteilen schon mit einer Sequenz zusammenhängend konstruierter zwei gleich großer Kreise und einer Geraden durch den Kreismittelpunkt M erreicht. Dieses Dreiteilen kommt ganz ohne Kenntnis von Zahlen und einem Rechnen mit ihnen zustande. Das "gelbe gleichseitige Dreieck" ist das Ergebnis einer Sequenz zusammenhängender Objekte von Kreisen und Geraden.

In der folgende Abfolgeliste sind die gezeichneten Objekte Kreis k, Gerade g, und Schnittpunkt S(k1xg3) entsprechend ihrer Aufeinanderfolge angeordnet und benannt:

beliebig liegende Gerade g1 im ebenen R^2-Erfahrungsraum
gezeichneter, beliebig liegender Punkt M=S2 auf der Geraden g1
schwarzer Kreis k3 um den Mittelpunkt S2=M, der zwei Schnittpunkte S3-1 und S3-2 auf der Geraden g1 erzeugt
um Punkt S3-1 konstruierter roter Kreis k4, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S4-1 und S4-2 auf k3 erzeugt.
gelbes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-1; S4-1 und S4-2
um Punkt S3-2 konstruierter roter Kreis k6, der gleich groß zu Kreis k3 ist, und zwei neue Schnittpunkte S6-1 und S6-2 auf k3 erzeugt, .
rotes gleichseitiges Dreieck durch die Punkte S3-2; S6-1 und S6-2, welches mit seinen Seitenstrecken die des gelben Dreiecks schneidet und so weitere innen liegende 6 Schnittpunkt als Teilungspunkte S7-1; S7-2; S7-3; S7-4; S7-5; S7-6 erzeugt.

Auf dem schwarzen Kreis k3 gibt es 6 reguläre Teilungspunkte S3-1; S3-2; S4-1; S4-2; S6-1; S6-2 und noch 6 innen liegende Schnittpunkt S7-1 bis S7-2 der Seitenstrecken der Dreiecke gelb und rot. Diese erhöhen auf eine reguläre Zwölf-Teilung des Kreises. Die Operationen des Dreiteilens produzieren auf der Grundlage der systematische Kohärenz im euklid´schen R^2 -Raum (ebener Raum) zugleich duale Vervielfachungen hin zum Großen und hin zum Kleinen. Das Große sind die Anzahl 12 der Kreissegmente und das Kleine ist die Flächengröße der erzeugten, hier nicht eingezeichneten, Kreissegmente.

Der nächst naheliegenden Frage wurde schon im Altertum nachgegangen. Kann der Winkel zwischen den Teilungspunkten rot und gelb in gleich einfacher Vorgehensweise ausgeführt werden? Hierzu gibt es schon seit der Antike mehrere Ansätze zu Lösungen. Allerdings gibt es zum Winkeldreiteilen bis heute gewisse Unklarheiten und auch Mißverständnisse. Diese Situation mündet in Streit, der auch den sogenannten Grundlagenstreit der Mathematik berührt, welcher in den zwanziger Jahren des 20. Jahrhunderts besonders heftig ausgetragen wurde.

Wir sehen wir das Ganze. Da gibt es Mißverstämdnisse zu den im 19. Jahrhundert geführten arithmetisch-algebraischen Beweisen der Mathematik, denn exakte Prozesse eines exakt konstruierten Winkeldreiteilens werden als "unmöglich" gelehrt. Dazu ist im Lexikon Wikipedia unter Dreiteilung des Winkels im Abschnit "Klassische Probleme" _{https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)}geschrieben:

Eine allgemeine Dreiteilung ist daher nur möglich, wenn neben Zirkel und Lineal auch zusätzliche Hilfsmittel Verwendung finden, etwa eine Trisektrix, oder wenn auf dem Lineal Markierungen angebracht werden. Andererseits sind mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen darstellbar (siehe Abschnitt Näherungsverfahren).

Hier werden zwei verschiedene Arten von Dreiteilungen angesprochen. Die erste Art produziert dann theoretisch exakte Drittelwinkel-Lösungen, wenn zusätzliche Hilfsmittel und Werkzeuges hinzu genommen werden die noch notwendigen "Prozesse des exakten Einpassungen und Platzierens". Es wird einfach vorausgesetzt, daß dies mit theoretischer Exaktheit ausgeführt wird. Die hinzu genommenen Hilfswerkzeuge können ein Rechtwinkelhaken, ein Tomahawk oder auch eime Schablonen zu verschiedenen Zusammenhangkurven (Kohärenzkurve) sein. Schon Archimedes (287-212 v.u.Z.) veröffentlichte eine solchen exakten Lösungsprozeß mit dem Hilfswerkzeug "Lineal mit Mass-Strichen", siehe oben. Bei der zweiten Art der beliebig guten Näherungslösungen ist noch zu unterscheiden zwischen:

beschränkter Konvergenz, die für Näherungsverfahren zutrifft.
unbeschränkte Konvergenz, die für klassisch konstruierte Grenzprozesse zutrifft. Dieser Prozeß des Zustrebens kann theoretisch ohne Ende fortgesetzt werden. Eine gegebene starke natürliche Konvergenz macht dies überflüssig.

In der Fachwelt werden die verschiedene Typen von Kohärenzkurven unter dem Sammelbegriff Trisektrix angesprochen. Viele dieser Kurven sind vom 2. Grad. Die älteste bekannte Kohärenzkurve ist die Trisektrix des Hippias (5. Jhd.v.u.Z.), auch als Quadratrix des Dinostratos (4.Jhd.v.u.Z.) bekannt. Sie wird als Spurkurve durch simultane zwei Bewegungen erzeugt, die Rotation der schwarzen Radiusstrecke NR um Punkt M und die Translation der Balkenstrecke AB in Achsrichtung CM, wie es das folgende linke Bild zeigt. Der Schnittpunkt zeichnet dann die Quadratrix als Spurkurve. Das rechte Bild zeigt, wie die Trisektrix des Hippias auch mit quasi simultannen fortwährenden Halbierungen des Kreisbogens CD und der Achsstrecke CM als exakte Punktekurve CQE konstruiert werden kann.

Mit der Kohärenzkurve CQE wird nicht nur eine spezielle 3-er Kohärenz modelliert, sondern eine allgemeine proportionale bidirektionale Kohärenz zwischen der Rotatation um M und Translation zwischen C und M.

_{Exakte WDT mit gegebener Parabel nach Descartes (1596-1750)}

Lange Zeit unbetrachtet blieben WDT-Lösungen mit einer Parabel als Trisektrixkurve. Der berühmte Descartes (1596-1750) war der Erste, der diesen Lösungszusammenhang gefunden hat und in seinem Buch "La Geometrie" im Jahre 1637 veröffentlichte. Im Internet-Lexikon Wikipedia _{https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)} bleibt diese exakte WDT gegenüber den anderen nichtklassischen Lösungsverfahren mit Trisektrixkurven nur sehr kurz erwähnt und bleibt unterbewertet. Da dazu kein Bild gezeigt wird, gibt es bei Wikipedia keine tiefer gehende Erörterung der 3er-Zusammenhänge. Ein Grund für das geringe Interesse an der Parabel-WDT mag auch darin liegen, daß Descartes mit seinem beigefügten Bild seine Winkeldreiteilung nicht ausreichend anschaulich nachvollziehbar erklärte.

Die von Descartes an den beiden linken und rechten Teilbildern angebrachten Buchstaben finden sich im jeweils anderen Teilbild nicht wieder. Insgesamt ist das Bild wenig selbsterklärend.

Mit den geometrischen Kalkulationen der Cohaerentic werden auch die Punkte von Parabeln im karthesischen Koordinatensystem effizient konstruierbar. Sie können so beliebig dicht benachbart konstruiert und dadurch immer genauere Schmiegungskurven für den Grenzbereich der geometrischen Grenzprozesses erzeugt werden. Auf diese Weise wird die Dreiteilung des Winkels nach Descartes durchgehend mit einer Autokonvergenz klassich konstruierbar. Dem descartes´sche Verfahren kommt daher eine besondere Bedeutung zu. Sie ist der Grund für uns, die von Descartes mit einer quadratischen Parabel als Kohärenzkurve aufgezeigten Zusammenhänge ausführlicher als bei Wikipedia zu betrachten. Als Grundlage dafür nehmen wir unsere folgenden klassichen Konstruktionen, die als anschaulich nachvollziehbare Sequenzen von Kreis und Gerade-Objekten ausgeführt werden.

Im Interesse einea besseren Durchblicks ist im obigen linken Bild zunächst nur das klassische konstruierte Kohärenzsystem mit der Parabel gezeigt. Im rechten Bild sind die gezeichneten Objekte in ihrer Abfolge wieder mit laufenden Nummern und Buchstaben versehen. Auf diese Weise wird die Konstruktion als Sequemz gezeichneter Objekte mit ihren angebrachten Kennzeichnungen zur Objektfolge und Objektart besser verständlich. Bei den nun folgenden Bilder wird zwecks eines bessren Durchblicks nur die Sequenz für die einfache 3er-Kohärenz betrachtet.

Im linkenTeilbild wird mit Hilfe der gezeichnet gegebenen Trisektrix-Kurve y=x² (quadratischen Parabel p7 ) der gegebene Winkel ∠(B,M,S3) zum gesuchten Drittelwinkel ∠B,M,S8 dreigeteilt. Hingegen wird im rechten Teilbild ohne gegebene Parabel mit nur einem kostruierten Parabelpunkt S9(g5xg9 ) der gegebene Winkel ∠(B,M,S4) zum gesuchten verdreifachten Winkel ∠B,M,S12(k1xg12) vervielfacht. Der Schnittpunkt S12(k1xg12) wird in der sequentiellen Abfolge der Objekte mit Strecke g12 erzeugt.

_{Wie können Trisektrix-Kohärenzkurven klassisch konstruiert werden?}

In der Neuzeit werden die Punkte von Kurven mit Hilfe von Zahlen mit Computern berechnet und dann Punkt um Punkt eine Punktekurve gezeichnet. Mit immer mehr, schließlich endlos dicht benachbarten Punkten geht die Punktekurve in eine gedanklich geschlossene Spurkurve über. Für die gezeichnete Erzeugung der Kegelschnittkurven Hyperbel, Parabel und Ellipse sind schon seit der Antike Fadenkonstrktionen und auch mechanische Geräte/Werkzeuge bekannt. Theoretisch werden auf diese Weise ideale exakte Kurven erzeugt, was in der alltäglichen Praxis aber nicht zutriffft. Hier macht die Mathematik der Antike einen gedanklichen Sprung und setzt einfach voraus, daß die verschiedenen, quasi mechanisch erzeugten Trisektrixkurven, als exakte Kurven einfach vorhanden sind. Auf dieser Grundlage können dann exakte Dreiteilungszusammenhänge elementar konstruiert werden.

Mit nicht idealen Kurvenverläufen und nicht idealen Platzierungen der Kurven und Hilfswerkzeuge wird trotz eines exakten Lösungs-Zusammenhangs nur zu beschränkt genäherten Ergebnissen gelangt. Die in der Literatur zitierten Näherungsverfahren sind von dieser Art des beschränkten Konvergierens. Ein erreichter kleinster Fehlerabstand zum wahren Ergebnis kann hier mit mehr Konstruktionsaufwand nicht weiter abgenaut werden.

Anders bei den Lösungsverfahren mit exakten Trisektrixkurven vom 2. Grad, deren Punkte klassich konstruiert werden können. Dann ist mit einem klassich konstruierten Grenzprozeß ein unbeschränktes Konvergieren an den wahre Ergebnispunkt = Grenzpunkt möglich. Die Abweichung des letzten Zwischenergebnisse zum wahren Ergebnis können hier mit immer mehr betriebenem Konstruktionsaufwand immer weiter verkleinert werden. Allerdings erwartet die Fachwelt, seit der Antike bis heute, sehr sehr viele, quasi endlos viele zu zeichnenden Objekte aa<erwartet, ehe mit dem letzten Winkel-Zwischenergebnis zu einer für die Praxis befriedigenden Genauigkeit gelangt wird, beispielsweise 15 wahre Nachkommastellen bei der Winkelgröße. Anders fomuliert, es wurde und wird hier keine starke Konvergenz erwartet. Die mangelnde Motivation führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade. Über einen sehr langen Zeitraum fehlte die Motivation zu exakten Lösungsverfahren mit Hilfe von klassisch konstruierten Grenzprozessen zu forschen.

Das folgende Bild zeigt ein WDT-Verfahren bei dem keine gegebene Parabelkurve erforderlich ist. Es wird hierbei im Ergenisbereich ein Stück Parabelkurve als Schmiegungskreis konstruiert, der durch 3 kostruierte exakte Parabelpunkte im Grenzpunktbereich = Ergebnisbereich definiert ist.

Die praktische Tauglichkeit dieser Grenzprozeß-Lösung zeigt sich schon nach dem ersten konstruierten roten rechten Konvergenzzyklus mit seinem Zwischenergebnis für den Drittelwinkel mit 14 wahren Nachkommastellen. Die Sequenz des 1. Konvergenzzyklus liefert mit den rechten roten Objekten ein 1. Zwischenergebnis, welches dann Ausgangspunkt für den 2. Komvergenzzyklus (linke blaue Objekte) ist. Zwecks einer besseren Vergleichbarkeit werden die verdreifachten Zwischenergebnise des Drittelwinkels vom 1. und 2. Zyklus mit dem Startwinkel ∠AMB verglichen.

_{Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z))}

Weitere WDT-Kohärenzkurven sind die Spirale des Archimedes (3.Jhd.v.u.Z)) und auch die Hyperbel, deren erste Benutzung Pappos (4.Jhd.v.u.Z.) zugeschrieben wird.

_{Konchoide des Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.)}

Die in der Fachliteratur häufig zitierte Konchoide des Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) ist gleichfalls eine Trisektrix.

https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Maclaurin_trisectrix.svg#/media/Datei:Maclaurin_trisectrix.svg.

_{Trisektrix von Colin Maclaurin (1698-1748)}

Die Trisektrix von Colin Maclaurin (1698-1748) ist eine spezielle Ausbildung der Konchoide, die als Kurventyp schon seit Nikomedes ( 280-210 v.u.Z.) bekannt ist. Eine Auflistung zu weiteren Trisektrix-Kohärenzkurven ist im Internet-Lexikon Wikipedia unter dem Suchwort Trisektrix zu finden.

_{Was ist effizienter, die "try and error" Konvergenz oder die Autokonvergenz der Grenzprozeß- Verfahren?}

Im Internet-Lexikon Wikipedia _{https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels (23.11.2023)} wird im Abschnitt Näherungsverfahren sinngemäß geschrieben, daß solche gezeichnete beliebig genaue Näherungen auch allein mit Kreisen und Geraden ausgeführt werden können. Welche Art der Näherung sind mit dem Wikipedia-Aufsatz angesprochen? Sind es Näherungen, wie sie vom Schneidermeister Kopf für die Ermittlung des Winkeldrittelns oder wie sie vom polnischen Mathematiker A.Kochanski (1631-1700) für die Ermittelung des Kreisverhältnisses π veröffenlicht wurden? Nein, diese sind damit offenbar nicht gemeint, denn sie enden nach wenigen Schritten. Lösungen mit klassisch konstruierten Grenzprozessen sind es offenbar auch nicht. Solche sind in der historischen Literatur und auch im Internet-Lexikon Wikipedia nicht zu finden.

Naheliegend ist das übertragen von arithmetischen Vorgehensweisen auf klassische Konstruktionen. Bein arithmetischen Teilen wird ein erster verbleibender noch ungeteilter Rest nachfolgend auch noch geteilt usw. Diese Rest-Teilungsergebnisse werden jeweils dem vorangegangenen Teilungsergebnis zu einem aktuellen Summen-Ergebnis zuaddiert. Dieses Aktionenszyklen können immer weiter fortgesetzt werden, zumindest theoretisch. In der Praxis wird der endlos mögliche Prozeß beendet, wenn ein gewählter Abstand zum wahren Ergebnis unterschritten wird. Ein Vorgehen, wie es beim Teilen einer Zahl mit arithmetischen Rechengregeln ausgeführt wird, läßt sich also auch auf ein klassisch konstruiertes Berechnen übertragen. Solche klassische durch Schritte geprägte Konstruktionen sind bei Wikipedia nicht zu finden. Das Hintereinanderschalten des Kopfschen Näherungsverfahrens, bei dem die ungeteilten Reste immer wieder geteilt werden usw, wäre ein Beispiel dazu.

Die interessante Frage zu exakten Winkeldreiteilungen ist nach den obigen Darlegungen nicht mehr die seit der Antike verfolgte Frage, ob die Teilung mit den bekannten natürlichen geometrischen Kohärenzen exakt möglich ist oder nicht, sondern mit welchen Verfahren das Winkeldreiteilen am effizientesten möglich ist? Sind es die "try and error" konvergierenden Verfahren oder die autokonvergenten Grenzprozeß-Verfahren?

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Effizientestes Winkeldritteln

Gegenüber dem von Wantzel (1837) für das Winkeldritteln veröffentlichten Unmöglichbeweis gibt es noch eine allgemeinere Unmöglich-Einsicht. Es kann zu keinem gegebenen beliebig großen Winkel mit einer konstruierten Sequenz aus zusammenhängenden endlich vielen Kreis- und Geraden-Objekten nur eine unvollständige zusammengesetze Größe des gesuchten Winkeldrittels erzeugt werden. Hier gilt, wenn es für ein beliebig großen zu drittelnder Winkel kein quantisiertes vollständig zusammengesetztes Größenabbild gibt, gibtes dieses auch nicht für das Winkeldrittel.

Für das immer weiter zu vervollständigende Größenabbild der Winkeldrittelröße bedarf es hier endlose Grenzprozesse. . Unsere effizient konstruieten Grenzprozesse zum Winkeldrittelm, die mit der Zielgestalt "Kreuzschleifen-Konstruktion und Neusis-Bewegung arbeiten, sind in unterschiedlichen Ausprägungen möglich. Welchen ist der Vorzug zu geben? Natütlich den effizientesten. Beim Internet-Lexikon Wikipedia_23.02.2024 lesen wir zu Effizienz:

Für uns bedeutet es, nach einer konstruierten Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekte zum Winkeldritteln zu suchen, welche dem Grenzpunkt=exakter Winkeldrittel-Punkt auf dem Grundkreis mit den wenigsten Schritten bzw. Objekten am nahesten kommt.

Winkeldritteln mit konstruierten Objekten im Inneren des Grundkreises

_{Halbbalken-Verfahren mit Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstruktion und Neusis-Bewegung}

Um den Umfang der Berechnungs-Sequenzen (iterierende Zyklen) vergleichbar zu halten, sind die konstruierten Objekte im obigen Bild fortlaufend nummeriert. Gestartet wird mit dem Freigwählten Startpunkt C1 auf der X-Achse,dann folgt Strahl g2. Für den im 3-ten Schritt erzeugten Kreis ist die Bezeichnung k3 und für die im nächsten Schritt erzeugte Gerade gi+1=g4. Die erste Teil-Sequenz umfasst hier die Objekte Gerade g2 und Kreis k3, dann folgen (g4;k5) und (g6;k7) usw. Die Radiusgrössen der Kreisbögen k3 ; k5; k7 ... sind alle gleichgroß zur Radiussrecke MA des Grundkreises k1. Die konstruierten Punkte D; G; K usw. bilden eine gesetzmäßige Punkte-Folge zu einer gedachten "Trisectrix-Kohärenzkurve ". Diese Folgepunktkurve strebt autokonvergent dem Winkeldrittelpunkr auf der Grundkreiskurve k1 zu. Diese Näherung beschleunigen wir, indem durch drei Folgepunkte, die am nächsten der Kreiskurve k1 liegen, eine Schmiegekreiskurve k_x gezeichnet wird , welche dann den Grundkreis k1 schneidet und mit dem Schnittpunkt den genaueren, verbesserten Winkeldrittelpunkt liefert.

Mit der schrittweise sequenziell konstruierten Neusisdrehung in Punkt B wird quasi der halbe Kreuzschleifen-Balken zwischen Y-Ache und Grundkreis k1 eingepasst.

Winkeldritteln mit konstruierten Objekten auch außerhalb des Grundkreises

_{Ganzbalken-Verfahren auf der Grundlage einer Kreuzschleifen-Zielgestalt-Konstellation}

Die folgenden zwei Bilder zeigen unserere effizienten Winkeldrittelungen in den Ausprägungen Halbbalken-Verfahren, links, und Ganzbalken-Verfahren, rechts. Bei beiden Verfahren liegen die zu drittelnden Winkel im ersten Quadranten. Die schrittweise konstruierten zwei Neusisdrehung streben mit einer autokonvergenten Sequenz der Kreis- und Gerade-Objekte (g2; k3, usw.) der jeweiligen Zielgestalt (rotes und grünes Dreieck zu).

Im linken Bild wird der halbe Kreuzschleifenbalken als dicker gezeichneter Halbbalken von g2 zwischen Y-Achse und Kreislinie eingepasst. Neusisbewegun ist hier eine schrittweise Drehung, wodurch der Ziel-Gestalt mit zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecken nahe gekommen wird. Im rechten Bild wird der ganze Kreuzschleifenbalken zwisch Y- und X-Achs, und Mittelpunkt auf dem Grundkreis, eingepasst, wodurch als Ziel-Gestalt wieder die zwei zusammenhängenden gleichschenkligen roten und grünen Dreiecke entstehen.

Das

Ganzbalken-Verfahren ist gegenüber dem Halbbalen-Verfahren effizienter, da eine bestimmte Genauigkeit schon mit deutlich weniger Schritten erzielt wird. Zur Abgrenzung von einem quasi analogen Neusisbewegen sprechen wir nun von einem "schrittweise konstruierten Neusisbewen. Bei beiden Varianten wird Schritt um Schritt mit jedem Wiederholungszyklus aus Strecke- und Kreis-Objekten dem Grenzpunkt = Winkeldrittelpunkt auf der Kreislinie unbeschränkt zustrebt.

Die Abläufe unserer beiden hier gzeigten Winkeldrittel-Grenzprozesse konvergieren also unterschiedlich schnell zum exakten Winkeldrittelpunkt. Rechts wird bereits nach 5 "Gerade-Kreis-Teilsequenzen eine Übereinstimming des verdreifachten Ergebniswertes (rote Winkelzahl) mit dem Startwinkelwert (schwarze Zahl) von 10 wahren Nachkommastellen erreicht. Hingegen werden links mit dem weniger stark konvergierenden Grenzprozess erst nach 7 "Gerade-Kreis-Sequenzen 3 wahre Nachkommastellen erzielt. Unsere beiden Grenzpozess-Winkeldreilungen arbeiten als autokonvergente Grenzprozesse, die von beliebig großen Startwerten allein mit den Urkurven Kreis und Gerade zum exakten Winkeldrittelpunkt führen. Hierbei sind die in der Antike gefoderte Beschränkung auf die Werkzeuge Zirkel und strichloses Lineal bzw. Kreis- und Gerade-Objekte eingehalten.

Die Lösung der Aufgabe eine beliebige Winkelgröße zu dritteln, ändert sich vom mathematisch bewiesenem „unmöglich“ in „möglich“, sobald das Wissen zur Quantisierung (heute wird hier meist von Digitalisierung gesprochen) einbezogen wird. So ist heute algemein bekannt, für beliebig große zu drittelnden Winkel gibt es keine vollständige quantisierte klassich konstruierte Größendarstellung ohne Restfehler. Diese Tatsache trifft damit auch auf die vom Startwinkel abgeleiteten 1/3-Winkel zu.

Bekannt ist auch, dass ein exakter Grenzprozess zum Winkeldritteln den gedachten endlosen Umfang der Operationen nicht vollständig abarbeiten kann. Bleibt die Frage, führen unsere konstruierten Grenzprozesse tatsächlich, wenn sie endlos fortgeführt werden könnten, zum erwarteten vollständigen Größenabbild des Winkeldrittels? Nach den Schlüssen, welche aus dem wantzelschen Beweis gezogen werden, gibt es keine zutreffenden Zusammenhänge, die allein mit endlich vielen Kreis- und Gerade-Objekten auskommen. Daher stempelt die "amtliche Mathematik" alla Winkeldrittelversuche, die sich nicht an die antike "Endlich-Forderung" halten, ohne jede weite Überprüfung als falsch ab. Heute wird dazu gelehrt, für die Überwindung des Unmöglich-Problems brauche es zusätzliche Hilfsmittel, die über Kreis- und Gerade-Kurve hinaus gehen. So kann bei Wikipedia https://de.wikipedia.org/wiki/Dreiteilung_des_Winkels dazu nachgelesen werden:

"Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien und Werkzeugen, wie eines markierten Lineals, als sogenannte Zielgestalt-Konstruktion mit Neusisbewegung vollzogen werden"

Hier schafft die analoge Neusisbewegung die letztlich endlos genaue Verschiebung mit einem quasi letzten endlos kleinen Schritt nicht real, sondern nur in Gedanken. Es wird zu den exakten Verfahlen eingeordnet, denn der Zielgestalt-Lösungszusammehang kann anschaulich logisch, Schritt um Schritt, nachvollzogen werden. Gleiches zum Zielgestalt-Lösungszusammenhang trifft auch für unsere effizienten Winkeldrittelungen mit klassich konsruierten Grenzprozessen zu, so daß auch sie zu den exakten Verfahren einzuordnen sind.

Tatsache ist, zwei Winkelhalbe gibt es nach einer Verzweifachung, sowie auch nach einer Zwei-Teilung. Die Winkelverdreifachung und drei Winkeldrittel gibt es nach einer Verdreifachung. Das gesuchte Winkeldrittel gibt es immer erst am gedanklichen Ende eine endlosen Drittelprozesses.

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